сборник олимпиад для 7 класса по математике
олимпиадные задания по алгебре (7 класс) по теме

Школьная математическая олимпиада по математике 2012-2013 учебный год.

7 КЛАСС

1. Даны числа 1, 2, 3,4,5,6. Разрешено к любым двум из них прибавить по единице. Можно ли за несколько шагов уравнять эти числа?

Решение. Прибавление к числу единицы меняет его чётность. Прибавление по 1 к двум числам меняет чётность двух чисел. Если это были два чётных числа, то чётных

 чисел станет на два меньше, если два нечётных, то чётных станет на два больше. А если одно было чётное, а другое нечётное, то количество чётных чисел не изменится. В любом случае чётность числа чётных чисел не изменится. Другими словами, здесь чётность числа чётных чисел - инвариант. Но если в шестерке все числа станут одинаковые, чётных среди них станет 0 или 6 - чётное число.Ответ. Нельзя.

2. Играют двое. Первый называет произвольное целое число от 2 до 9. Второй умножает это число на произвольное целое число от 2 до 9. Затем первый умножает результат на любое целое число от 2 до 9, и так далее. Выигрывает тот, кто первым получит произведение больше 1 000. Кто при правильной игре выигрывает — начинающий или его партнёр?

Ответ. Победит начинающий. Решение. Очевидно, игрок, перед ходом которого получилось число, не меньшее 112 (но меньшее 1000), выигрывает. Значит, игрок, начинающий с числа, не меньшего 55, но меньшего 112, проигрывает (любой его ход даст число в промежутке от 112 до 999). Теперь те числа, из которых одним ходом можно получить число от 56 до 111 (включительно), являются выигрышными. Это числа от 8 до 55. Наконец, числа от 4 до 7 — проигрышные. Таким образом, первый игрок может назвать одно из чисел от 4 до 7, и при правильной игре выиграет.

3. В конференции участвовало 100 человек – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше среди остальных участников – химиков или алхимиков?» Когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервался. Алхимики всегда лгут, а химики всегда говорят правду. Сколько химиков среди участников?

Все химики должны ответить одинаково, и все алхимики – тоже. Если больше химиков, то химики так и скажут, но среди 51 опрошенных обязан найтись химик – противоречие. Если же больше алхимиков, то все они соврут, т. е. скажут, что больше химиков, то опять-таки среди 51 опрошенных хотя бы один – алхимик. Значит, химиков и алхимиков поровну.

4. Дорожки в зоопарке образуют равносторонний треугольник, в котором проведены средние линии. Из клетки сбежала обезьянка. Её ловят два сторожа. Смогут ли они поймать обезьянку, если все трое будут бегать только по дорожкам, скорость обезьянки и скорости сторожей равны и они видят друг друга?

Ответ: да, смогут.

Решение Опишем, как могут действовать сторожа, чтобы поймать обезьянку. Пусть сначала первый сторож прибежит в вершину B, а второй — в вершину C. Если обезьянка оказалась на одной из сторон треугольника ABC, то сторожа идут навстречу друг другу и ловят обезьянку.   Пусть этого не случилось. Без ограничения общности можно считать, что обезьянка находится в правой половине зоопарка, т. е на одной из сторон треугольника CEF. Далее первый сторож бежит в вершину E, а второй сторож ведёт себя следующим образом: пока обезьянка находится вне отрезков BD и DE, он стоит в вершине C, а когда обезьянка находится на одном из этих отрезков, он стоит так, чтобы расстояние от него до вершины B было равно расстоянию от обезьянки до этой вершины. Когда первый сторож добегает до вершины E, второй перебегает в ту из вершин B, C, которая лежит в той же половине зоопарка, что и обезьянка.

 В результате либо сторожа стоят в вершинах C и E, а обезьянка находится на одной из сторон треугольника CEF, либо сторожа стоят в вершинах B и E, а обезьянка находится на одной из сторон треугольника BDE. В обоих случаях сторожа ловят обезьянку.

Примерные задания школьного тура математической

олимпиады

7 класс

1. Иван Иванович купил собаку. Саша думает,

что эта собака – черный пудель, Паша

считает ее белой болонкой, а Маша –

черным бультерьером. Известно, что каждый

из ребят верно угадал либо породу, либо

цвет шерсти собаки. Назовите породу собаки и цвет ее

шерсти.

2. Одну даму спросили: «Сколько вам лет?». Дама вздохнула

и ответила: «Ближе к сорока, чем к тридцати». Сколько лет

могло быть даме?

3. Банка, наполовину наполненная молоком, весит 1570 г.

Когда Миша выпил четверть всего имеющегося в банке

молока, она стала весить 1270 г. Сколько весит пустая

банка?

4. a, b, c – три различные цифры. Если сложить все шесть

двузначных чисел, которые можно записать с их помощью,

не повторяя одну и ту же цифру дважды в одном числе, то

получится 528. Найдите эти цифры.

5. Найдите 6 способов разрезания квадрата 4 × 4 на

одинаковые части так, чтобы линия разреза шла по

сторонам клеток (способы считаются различными, если

части, получающиеся при одном способе, не равны

частям, получающимся при другом способе).

6. В 100-этажном доме установлен лифт с двумя кнопками.

Если нажать на первую кнопку, мы поднимемся на 7

этажей вверх, если нажать на вторую – спустимся на 9

этажей вниз. Как попасть с 1-го этажа на 72-й?

Олимпиадные задачи для 7 класса 

Сумма двух чисел равна 13,5927. Если в большем из них перенести запятую на один знак влево, то получим меньшее число. Чему равны эти числа?

Вычислите: 2379 • 23782378 - 2378 • 23792379.

Один из четырёх гангстеров украл чемодан с деньгами. На допросе Алекс сказал, что чемодан украл Луи, Луи утверждал, что виновник Том, Том заверял следователя, что Луи лжёт. Жорж настаивал только на том, что он не виноват. В ходе следствия выяснилось, что только один из гангстеров сказал правду. Кто украл чемодан?                                                                          

Найдите площадь закрашенной фигуры:    

В каждой клетке шахматной доски 5x5 сидит жук. В некоторый момент по команде все жуки переползают на соседние (по горизонтали или по вертикали) клетки. Докажите, что при этом одна из клеток обязательно останется пустой.

Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99 % сосен. Мы будем рубить только сосны. После их вырубки останется 98 % от всех деревьев». Какая часть леса будет вырублена?

Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца - за 60 дней, овца и коза - за 90 дней. За сколько дней съедят воз сена коза, овца и корова вместе?

Делится ли число  44444...44 на 8?

       2005штук

Докажите, что число 2 делится на 9.

Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям - один со скоростью 60 км\ч, а другой со скоростью 80 км\ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 с. Какова длина первого поезда?

Магазин продал третью часть полученных апельсин и ещё 32 кг, третью часть остатка и ещё 32 кг отпустил школьной столовой, третью часть нового остатка и ещё 32 кг передали детскому саду, после чего осталась третья часть нового остатка и ещё 32 кг. Сколько кг апельсин было в магазине первоначально?

Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластинку?

В приёмной 10 кресел. Сколькими способами в них могут разместиться 4 посетителей?

У звезды ACFBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах F и С, а также длины отрезков АС и ВF. Докажите, что AD = BD.                                                  

Малыш и Карлсон поочерёдно берут конфеты из одного пакета. Малыш берёт    одну конфету, Карлсон - две, затем Малыш берёт 3 конфеты, Карлсон - 4, и так далее. Когда количество оставшихся в пакете конфет станет меньше необходимого, тот, чья очередь наступила, заберёт все оставшиеся конфеты. Сколько конфет было в пакете первоначально, если у Малыша в итоге оказалось 101 конфета?

Вычислите: ;

Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?

В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас, вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остаётся 50 % их массы, а при сушке остаётся 10 % массы обработанных грибов?

Углы 60° и 40° имеют общую сторону. Найдите отношение меры угла, образованного не общей стороной угла 40° и биссектрисой большего угла, к мере большего угла.

Сколько рыб в пруду? Некий ихтиолог хотел определить, сколько в пруду рыб, годных для улова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив её, обнаружил 30 рыб, отметил каждую из них меткой и бросил в пруд. На другой день забросил ту же самую сеть и поймал 40 рыб, на 2 из которых были его метки. Как по этим данным он приблизительно вычислил сколько рыб в пруду?

 Найти все такие целые числа х и у,  такие   что    (1 +у)(ху - 1) = 3.

Число х при делении на 10 даёт в остатке 3, а число у при делении на 10 даёт в остатке 2. Доказать, что сумма (х + у) делится нацело на 5.

Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?

В комнате стоят табуретки и стулья, у каждой табуретки 3 ножки, у каждого стула 4 ножки. Когда на всех табуретках и стульях сидят люди, в комнате 39 ног. Сколько стульев и табуреток в комнате?

Теплоход проходит путь от А до В по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время путь от А до В преодолевает плот?

Решите уравнение:  || х - 674| -1| = 4.

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «3» 19 человек, по математике - 17 человек и по физике - 22 человека. Только по одному предмету имеют «3»: по русскому языку - 4 человека, по математике - 4 человека и по физике 11 человек. Семь человек имеют «3» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «3» и по русскому языку. Сколько человек учатся без троек?

В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая - с пятой, третья - с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Докажите, что если треугольники АВМ и АВМ равны, то треугольники CDMи CDM тоже равны.

Олимпиада, 7 класс, "Турнир им. Ломоносова", 2007 год

1. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 12, делится на 12 и имеет сумму цифр, равную 12.

2. Шнур длиной 64 метра сгибают пополам и разрезают в месте сгиба, затем полученные куски снова сгибают пополам и одновременно разрезают. Так делают до тех пор, пока не получат куски шнура длиной 2 метра. Сколько раз нужно согнуть и разрезать шнур?

3. Отец и сын решили измерить расстояние между двумя деревьями, решив идти одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца 70 см, сына – 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, если каждый прошел целое число шагов и следы их совпали ровно 10 раз. Следы, которые совпали у первого дерева, не считаются. (Ответ дать в метрах)

4. Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть 60 км не более чем за три часа? Известно, что скорость пешехода – 5 км/ч, а мотоцикла – 50 км/ч.

5. Найдите все решения арифметического ребуса ПЧЕЛКА 7 = ЖЖЖЖЖЖ (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

6. В кружке занимаются 23 школьника, каждому из которых 10, 11, 12 или 13 лет. Вместе им 253 года. Сколько в кружке 12-летних, если известно, что их в полтора раза больше, чем 13-летних?