Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему
РЕЦЕНЗИЯ
на урок математики с использованием информационных технологий
в 8 классе.
Учитель Брусенко В.В.
Тема урока «Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения».
Цель урока: «открыть» эту связь. Таким образом, урок с самого начала нацелен на творческую работу учащихся, их самостоятельность как исследователей, так как материал данной темы по программе носит ознакомительный характер. Пробуждению интереса к изучаемой теме служит и то, что урок начинается с отрывка из стихотворения, посвященного теореме Виета.
В соответствии с поставленной целью я выбираю и тип урока. Это урок-исследование, на котором учащиеся учатся анализировать, систематизировать, обобщать знания, овладевают способами самостоятельной деятельности, навыками работы с компьютером.
Для актуализации знаний и умений, учащихся я строю повторение материала на основе дифференциации заданий. Более сильные ученики самостоятельно работают с тренировочными заданиями с помощью компьютера, отправляя их на принтер учителя для проверки правильности своих решений и оценивание. Остальные ученики работают вместе с учителем.
Постановка проблемных вопросов позволила перейти к основной теме урока. Использование слайдов с заданиями по теме урока дает установку на более глубокое изучение и прочное запоминание материала, так как учащиеся анализируют, рассуждают и знакомятся с правильностью и доказательством данных на слайдах утверждений на сайте в Интернете. Таким образом, на уроки учащиеся развивают информационные компетенции.
Кроме того, на уроке развиваются и коммуникативные компетенции учащихся. Организуется работа в малых группах и парах сменного состава. Применение такого способа обучения позволяет учителю выйти с традиционного уровня общения «учитель-ученик» на оптимальный – «ученик-ученик», «ученик-учитель», «ученик – учебный материал»; учащиеся показали умение сотрудничать и работать в группах.
На уроке прослеживаются межпредметные связи с литературой и историей. Через работу с Интернетом учащиеся знакомятся с исторической справкой о Франсуа Виете, со стихотворением, отрывок из которого послужил эпиграфом к уроку. Один из учащихся создает собственный слайд с использованием данного стихотворения.
Самостоятельная работа учащихся в конце урока направлена на закрепление полученных на уроке знаний. Домашнее задание носит творческий характер, является продолжением, углублением и закреплением усвоенных на уроке знаний и их применения в условиях решения нестандартных задач. При этом задания строго дозированы и не вызывают перегрузки учащихся.
Все этапы урока взаимосвязаны, логически последовательны. Переход от одного этапа к другому осуществляется проблемными вопросами, побуждая учащихся к мыслительной деятельности, развивая такие психические процессы, как память, внимание, мышление.
Урок носит воспитывающий и обучающий характер, способствует развитию личности ребенка.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 statya.doc.doc | 64 КБ |
 prilozhenie_no1.ppt | 104.5 КБ |
| prilozhenie_no2.doc | 27 КБ |
Предварительный просмотр:
План проведения урока
эпиграф к уроку (на доске): По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Тема: Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Цель урока: «открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений;
развитие информационно-аналитических компетенций и умений учебного труда (умение работать в должном темпе);
воспитание добросовестного отношения к учебному труду.
Материалы и оборудование урока: проектор, слайд-фильм, компьютерный класс с выходом в интернет.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Класс: 8.
Продолжительность: 2 урока.
Ход урока (урок сопровождается слайд-фильмом, приложение №1):
I. Проверка домашнего задания, актуализация и коррекция опорных знаний учащихся (используется метод фронтальной беседы и устный опрос)
Для сильных учащихся предлагается тест в электронном варианте (приложение №2) (работа на 5 минут, остальные учащиеся работают с учителем).
На прошлых уроках мы познакомились с новыми уравнениями.
Назовите их и дайте определение.
В зависимости от наличия коэффициентов, в квадратном уравнении как оно называется?
Дайте определение приведенного квадратного уравнения.
Также познакомились с формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.
Какую связь устанавливают формулы корней квадратного уравнения?
Какую зависимость устанавливает значение дискриминанта?
(при ответах учащиеся делают записи на доске)
А как вы думаете: все ли связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения мы рассмотрели?
II. Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация учебной деятельности школьников, постановка проблемы.
Слайд №1
Исследование связи между корнями
и коэффициентами квадратного уравнения.
Открыть тетради записать число и тему урока. Обратимся к домашней работе. Дома вы решали 4 уравнения и заполняли таблицу.
Слайд №2.
III. Восприятие и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения (Применяются следующие методы: 1. работа с таблицей, самостоятельная работа в группах с интернетом с целью восприятия нового материала; 2. беседа с целью проверки и коррекции первичного осознания и воспроизведения учащимися знаний).
Проверьте свою работу по таблице. А теперь посмотрите внимательно, что интересного вы заметили? Обсудите это в парах и попытайтесь сформулировать предположение (выслушиваем предположения). Действительно, вы правы, существует такое утверждение.
Слайд 3.
Утверждение №1:
Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2+ pх + q = 0.
Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами:
х1+х2= -p, х1х2=q
Утверждение № 2:
Пусть числа х1,х2,p,q связаны равенствами х1+х2= -p, х1х2=q.
Тогда х1 и х2 – корни уравнения х2+ pх + q=0
Записываем в тетрадях утверждение №1. Знакомство с доказательство утверждения происходит на сайте по адресу:
http://www.postupi.ru/ucheb/math/math_alg_uravn01.html
(в процессе доказательства обратного утверждения получается равенство:
х2 + рх + q = (х-х1)(х-х2))
Итак, мы познакомились с доказательством теоремы Виета. Запишите ее в тетрадях.
Слайд №4
Теорема Виета:
Числа х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения
х2 + pх + q = 0 тогда и только тогда, когда х1+х2= -p, х1х2=q.
Следствие: х2 + pх + q=(х-х1)(х-х2).
Как вы догадались, данная теорема носит имя автора. Кем же был Франсуа Виет, и когда была доказана эта теорема?
Слайд №5
Франсуа Виет
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.
Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.
Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру.
Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.
Итак, какие связи между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения мы обнаружили? Чем интересно полученное следствие? Где это можно использовать?
Подумайте и ответьте: где, в каких ситуациях можно воспользоваться теоремой и следствием?
Свои предположения обсудите в парах, и полученные ситуации запишите в тетрадь.
(выслушиваем то, что получилось, обсуждаем)
Давайте, сравним ваши предположения с предлагаемыми ситуациями.
Слайд №6
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.
Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного уравнения.
Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения.
Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Самостоятельная работа учащихся.
Выполним задания.
Слайд №7
Решите следующие задания:
Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения
х2 - 22х + 105 = 0?
Определите знаки корней уравнения х2 + 5х – 36 = 0.
Найдите устно корни уравнения х2 - 9х + 20 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3.
Разложите квадратный трехчлен на множители х2 + 2х - 48.
Учащиеся решают в группах, полученные решения представители от групп объясняют у доски.
Постановка новой проблемы.
Используя ответ задания №4, сначала переходим к квадратному уравнению с целыми коэффициентами, а затем задается вопрос: будет ли верна теорема Виета для данного неприведенного квадратного уравнения?
Учащиеся в парах обсуждают возникшую проблему, пробуют сформулировать по аналогии обобщенную теорему Виета. Обсуждаем полученные варианты ответов. Затем выясняем, как бы выглядело следствие для таких уравнений. Сравниваем со следующим слайдом.
Слайд №8
Обобщенная теорема Виета:
Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 тогда и только тогда, когда
х1+х2= -b/а, х1х2=с/а.
Следствие: ах2 + bх + c = а(х-х1)(х-х2).
VI. Обобщение и систематизация знаний учащихся осуществляются на основе
решения задач.
Учащимся предлагается применить полученные знания в следующих ситуациях.
Слайд №9
Решите следующие задания:
В уравнении х2 + pх – 32 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
Один из корней уравнения 10х2 - 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
Разность корней квадратного уравнения х2 - 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
Определите знаки корней квадратного уравнения ( если они существуют), не решая уравнения: 5х2 – х – 108 = 0.
Найдите b и решите уравнение (b-1) х2 - (b+1)х = 72, если х1 = 3.
Учащиеся решают в парах, полученные решения объясняют у доски.
V. Подведение итогов урока и сообщение домашнего задания.
Учащимся предлагается обратиться к сайту в интернете по адресу
http://mathem-poem.narod.ru/nach/uchen/uchg.htm -
для ознакомления со стихотворением, две строки которого вынесены эпиграфом в начало урока.
(один из учеников читает стихотворение)
Слайд №10
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого –
Умножить ты корни, и дробь уж готова:
В числителе «с», в знаменателе «а».
И сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь та, ну, что за беда:
В числителе «в», в знаменателе «а».
Вопросы к учащимся: что нового узнали на уроке? что необходимо хорошо запомнить и понять?
Оценка работы всего класса и отдельных учащихся (выставление оценок за работу с тестом)
Слайд №11
Домашнее задание:
Стр.121 – 124 прочитать, выучить теоремы и следствия.
№575(а, в, д), 577.
По желанию: при каких а уравнение ах2 – 6х + а = 0 имеет один корень?
Для учащихся I группы (сильных), решить уравнение:
2006х2 - 2007х + 1 = 0
(используя следствия теоремы Виета)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Утверждение №1: Пусть х 1 и х 2 – корни уравнения х2+ p х + q = 0. Тогда числа х 1 , х 2 , p , q связаны равенствами: х 1 + х 2 = - p , х 1 х 2= q Утверждение № 2: Пусть числа х 1 , х 2 , p , q связаны равенствами х 1 + х 2 = - p , х 1 х 2= q . Тогда х 1 и х 2 – корни уравнения х2+ p х + q =0
http://www.postupi.ru/ucheb/math/math_alg_uravn01.html
Теорема Виета: Числа х 1 и х 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 + p х + q = 0 тогда и только тогда, когда х 1 +х 2 = - p , х 1 х 2 = q . Следствие: х2 + p х + q =(х-х 1 )(х-х 2 ).
Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году. Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. 1. Проверка правильности найденных корней. 2.Определение знаков корней квадратного уравнения. 3.Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. 4.Составление квадратных уравнений с заданными корнями. 5.Разложение квадратного трехчлена на множители.
Решите следующие задания: 1.Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения х2 - 22х + 105 = 0? 2.Определите знаки корней уравнения х2 + 5х – 36 = 0. Найдите устно корни уравнения х2 - 9х + 20 = 0. 3.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3. 4.Разложите квадратный трехчлен на множители х2 + 2х - 48.
Обобщенная теорема Виета: Числа х 1 и х 2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 тогда и только тогда, когда х 1 + х 2 = - b /а, х 1 х 2 = с/а. Следствие: ах2 + b х + c = а(х-х 1 )(х-х 2 ).
Решите следующие задания: 1.В уравнении х2 + p х – 32 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p . 2.Один из корней уравнения 10х 2 - 33х + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с. 3.Разность корней квадратного уравнения х2 - 12х + q = 0 равна 2. Найдите q . 4.Определите знаки корней квадратного уравнения ( если они существуют), не решая уравнения: 5х2 – х – 108 = 0. 5.Найдите b и решите уравнение ( b -1) х2 - ( b +1)х = 72, если х 1 = 3.
http :// mathem - poem . narod . ru / nach / uchen / uchg . htm -
По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого – Умножить ты корни, и дробь уж готова: В числителе «с», в знаменателе «а». И сумма корней тоже дроби равна, Хоть с минусом дробь та, ну, что за беда: В числителе «в», в знаменателе «а».
Домашнее задание: Стр.121 – 124 прочитать, выучить теоремы и следствия. №575(а, в, д), 577. По желанию: при каких а уравнение ах2 – 6х + а = 0 имеет один корень? Для учащихся I группы ( сильных ), решить уравнение: 2006х2 - 2007х + 1 = 0 (используя следствия теоремы Виета)
Предварительный просмотр:
Тест №11
Ф.И.___________________________
1. Решите уравнение х2 + 18 = 10 – 6х и выберите верный ответ
▢ 1) - 4; - 2;
▢ 2) 4; - 3;
2. При каких х верно равенство (13 - 5х)2 = (х + 4)2?
3. При каком с уравнение 4х2 + сх – 16 = 0 имеет корень
4?
При х равном
если другой ответ, укажите какой
4. Найдите сумму корней уравнения 2х2 – 5х + 2 = 0
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Конспект урока по теме "Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения" - урок обобщения знаний. Содержит различные виды и формы работ. Основной форм является мини - исс...
Самостоятельная работа (5-10 мин.) "Коэффициенты квадратного уравнения"
Самостоятельная работа (5-10 мин.) "Коэффициенты квадратного уравнения" к УМК Алимова...
"Свойства и коэффициенты квадратного уравнения" алгебра 8 класс
Материал для открытого урока в 8 классе по алгебре...
Итоговый контроль по темам № 1, 2, 3, 4: «Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена»
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации (ГИА) и единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, ...
Открытый урок «Квадратное уравнение и его корни. Решение полных квадратных уравнений»
Открытый урок для учеников 8 класса «Квадратное уравнение и его корни. Решение полных квадратных уравнений»...
Открытый урок по теме "Исследование соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения".
Представлен конспетк урока "открытия" нового знания (ФГОС). Рассмотрены этапы мотивации к учебной деятельности, актуализации и пробного учебного действия, выявления места и причины затруднен...
Свойство коэффициентов квадратного уравнения в заданиях ЕГЭ
Применение свойства коэффициентов квадратного уравнения обеспечивает более высокий уровень воспроизведения учебной деятельности. Одним из пунктов формирования метапредметных результатов, при вне...