Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы.
методическая разработка по алгебре по теме

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

(ГБОУ КГИС №1)

Методические рекомендации

по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

Практическое занятие №2. Матричные уравнения.

Вычисление обратной матрицы.

Автор-составитель:

преподаватель Пархоменко Е.А.

2012

Практическое занятие №2.

Тема: Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению обратной матрицы, нахождению алгебраических дополнений, вычислению определителя, решению матричных уравнений. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Щипачев В.С.  Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2009 -   480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

 по решению задач.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

        Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

        Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

        Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E  , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0,                      i  j,

eij = 1,                       i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

        Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

        Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1

   x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Cвойства обратных матриц.

        Укажем следующие свойства обратных матриц:

(A-1)-1 = A;

     2) (AB)-1 = B-1A-1

     3) (AT)-1 = (A-1)T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А3.

А2 = АА =  = ;            A3 = = .

        Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

Пример.    Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

› Выполнить самостоятельную работу по решению матричных уравнений, вычислению обратной матрицы.

› Контрольные вопросы:

1.Сформулировать свойства определителя. 

2.Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования. 3.Вычисление определителя с использованием метода Гаусса. 

4.Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений.

5. Приёмы решения матричных уравнений различных типов.

› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.