«Решение уравнений методом оценки (подготовка к ЕГЭ)»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме
Цели урока: 1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки;
2) научить заменять сложные конструкции более простыми моделями;
3) научить решать уравнения методом оценки.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 102.5 КБ |
Предварительный просмотр:
План-конспект урока по алгебре и началам анализа
11 а, классы (гибкий состав класса, учащиеся интересующиеся математикой)
Тема: «Решение уравнений методом оценки (подготовка к ЕГЭ)»
Учитель:Понамарева Е.В.
Цели урока: 1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки;
2) научить заменять сложные конструкции более простыми моделями;
3) научить решать уравнения методом оценки.
Ход урока
Учитель: Завершая изучение школьного курса алгебры и математического анализа, мы повторили и обобщили методы решения различных уравнений. Сегодня остановимся на одном из них – методе оценок. Вам придется с ним столкнуться на экзамене в задании С2.
Если уравнение f(x) = g(x) можно решить методом оценки, т.е. если можно оценить значения функций f(x) и g(x), то какими свойствами должны обладать данные функции?
Учащиеся: Они должны быть ограниченными.
Учитель: Совершенно верно. Приведите примеры ограниченных функций.
Учащиеся:
1) y = cos x ; | 5) y = arcsin x ; |
2) y = sin x ; | 6) y = arcos x ; |
3) y = ax2 + bx + c ; | 7) y = |
4) | 8) y = f 2n(x). |
Учитель: Вы правы, но не учли того, что если дана сложная функция, которая при сведении к элементарной, является неограниченной, а ее аргумент задан ограниченной функцией, то полученная функция будет ограниченной.
Например: Элементарная функция y = logaх является неограниченной, а сложная функция
y = loga(ax2 + bx + c) – ограничена, т.к. ее аргумент , элементарная квадратичная функция
t = ax2 + bx + c, ограничен. Таким образом ,можно сказать, что если неограниченная функция зависит от ограниченной, то она тоже становится ограниченной.
Итак, метод оценки используется в уравнениях вида f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции, и на ОДЗ данного уравнения наибольшее значение (А) одной из них равно наименьшему значению (А) другой. Тогда исходное уравнение равносильно системе уравнений:
Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать решить методом оценки.
1) ; | 5) log 1/3 x = x2 + x – 13 ; |
2) 2x = x + 1 ; | 6) |
3) | 7) cos x + sin = 1 ; |
4) cos(2x) = x2 – 2x + 2; | 8) |
Учащиеся: 1, 4, 5 и 6 уравнения.
Учитель: Согласна с тем, что 2-е уравнение нельзя решить методом оценки, т.к. …?
Учащиеся: функция у = х + 1 неограниченна.
Учитель: Но не согласна с тем, что 5-е уравнение можно решить методом оценки, т.к. …?
Учащиеся: функция у = log1/3x неограниченна.
Учитель: А вот уравнения (3) и (7) можно попробовать решить этим способом, т.к. их можно свести к виду f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции. В самом деле:
3)
7) cos x + sin = 1 ; cos x = - sin + 1.
Согласны? Кстати, неравенство (8), тоже можно решить данным методом.
Решим уравнение (4) ( решает учитель):
4) cos(2x) = x2 – 2x + 2 , модель: f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2x) и g(x) = x2 – 2x + 2.
f(x)= cos(2x) - определена и непрерывна на R, Е( f ) = ;
g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна на R, ;
наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение g(x) = 1, значит исходное уравнение равносильно системе уравнений: корнем второго уравнения является значение х=1, подставим данное число в первое уравнение: cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а следовательно и исходного уравнения.
Ответ: 1.
Учитель: Кто попробует решить уравнения (3) и (6)?
Примерный вариант решения:
3) составим упрощенную модель уравнения: . Очевидно, что и при всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю и равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно системе уравнений:
х = 1 является решением второго уравнения . Проверкой убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.
Ответ: 1
(6)
Модель: рассмотрим функции и f = 3 + log14/2 (g).
E(y) = [0;3], E(f)[3; +) , т.к. E(log14/2 ( g ) )[0; +) (в данном случае можно не находить правую границу множества значений функции f(g) ). Наибольшее значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части, следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:
Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0, x2 – x + 1 = 1, x2 – x = 0, x( x – 1) = 0,
Подставим найденные значения в первое уравнение:
Х = 0, не является корнем исходного уравнения;
Х = 1, - верно, значит, х = 1 – корень исходного уравнения.
Ответ: 1
Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:
- В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические и т.п.);
- Эти функции ограничены;
- На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой.
Примерная схема решения уравнений методом оценки:
- Свести уравнение к виду f(x) = g(x);
- Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;
- Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему значению другой, то составить систему уравнений
- Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе уравнение, те значения переменной х , которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.
Запишите домашнее задание:
Задачник А.Г.Мордковича, алгебра и начала анализа, 10-11, № 1744(б) и неравенство (8).
Урок окончен. Всем спасибо.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/03/11/picture-8529.jpg)
Тесты по информатике и ИКТ для оценки качества подготовки выпускников основной школы
Представлено 6 вариантов итоговых тестов по оценке качества подготовки выпускников основной школы. Каждый вариант содержит по 24 вопроса, с помощью которых учитель может проверить качество усвоения ма...
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/19/picture-34773.jpg)
Выступление на августовской конференции Внешняя оценка качества образовательной подготовки учащихся как один из путей повышения эффективности обучения.
Российское общество предъявляет сегодня к школе новые требования. Важнейшим социальным требованием, заявленным в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» и в других стра...
Тренировка и выработка устойчивых навыков работы с тестами при контроле и оценке знаний обучающихсяна уроках химии и биологиис целью подготовки учащихся к ЕГЭ"
Данная презентация может оказать методическую помощь при подготовке обучающего семинара по вопросу использования тестовой технологии...
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/09/picture-120312-1349806125.jpg)
План работы школы по подготовке к ЕГЭ и ГИА (в форме независимой оценки)
Целью плана работы школы является выработка подходов к подготовке к единому государственному экзамену и государственному выпускному экзамену по русскому языку, литературе, английскому языку...
![](/sites/default/files/pictures/2022/12/09/picture-107240-1670606590.jpg)
Памятка для подготовки к уроку географии и критерии оценки ЗУН
Данная памятка поможет каждому ученику быть готовым к уроку географии, а его родителям контролировать степень готовности. Знание критериев оценивания знаний, умений и навыков учащихся способствует бол...
![](/sites/default/files/pictures/2015/12/09/picture-717115-1449666618.jpg)
Критерии оценки подготовки обучающегося к уроку английского языка
Данная информация позволит оценить объективность выставленной отметки....
![](/sites/default/files/pictures/2020/03/10/picture-1225655-1583845537.jpg)
Независимая оценка подготовки обучающихся
Задача-определение качества образования ученика в рамках независимой оценки...