рабочая программа и разработки занятий для дистанционного обучения для 9 класса по теме:"Работа с контрольно-измерительными материалами"
рабочая программа по алгебре (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение                                        средняя общеобразовательная школа №1 с.Арзгир Арзгирского района                      Ставропольского края                                                                                                                            «Центр дистанционного образования»

Рабочая учебная программа

курса                                                                              для дистанционного обучения                                      по математике

"Технология работы

с контрольно-измерительными материалами"

                                                Программу разработала

                                                учитель математики                                

                                                     высшей категории

                                                МБОУ СОШ №1 с. Арзгир

                                                 Арзгирского района

                                                     Ставропольского края

                                                Захарова Елена Владимировна

2012-2013 учебный год

Пояснительная записка

Итоговый письменный экзамен по алгебре за курс основной школы сдают все учащиеся 9х классов. С 2005 года в России появилась новая форма организации и проведения этого экзамена. Особенности такого экзамена:

• состоит из двух частей;
• на выполнение каждой части дается ограниченное количество времени;
• первая часть экзаменационной работы содержит задания в тестовой форме;
• вторая часть – в традиционной форме;
• оценивание работы осуществляется отметкой и рейтингом.

Структура экзаменационной работы и организация проведения экзамена отличаются от традиционной системы аттестации, поэтому и подготовка к экзамену должна быть другой.
         В школах подготовка к экзаменам осуществляется на уроках, а также во внеурочное время: на факультативных и индивидуальных занятиях. Оптимальной формой подготовки к экзаменам являются специальные курсы, которые позволяют расширить и углубить изучаемый материал по школьному курсу.
         Учитывая новую форму сдачи государственных экзаменов в форме единого государственного экзамена  и тему моего самообразования: «Формирование математической компетентности учащихся в ходе подготовки к государственной итоговой аттестации»,  предлагаю специальный курс по математике: «Технология работы с контрольно-измерительными материалами».
         Данный курс предназначен для повторения знаний, умений  и   подготовки к

ГИА   по математике с помощью дистанционного обучения, которое позволяет избежать перегрузок учащихся, установить соотношение между объемом предлагаемого материала и временем, необходимым для его усвоения оптимально. Курс соответствует возрастным особенностям школьников и предусматривает индивидуальную работу.

Цели курса: подготовить учащихся к сдаче экзамена в новой форме в соответствии с требованиями, предъявляемыми новыми образовательными стандартами.

Воспитательное назначение  курса: обучение   потребует от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств,  как  активность, творческая инициатива, умений познавательного труда.

Задачи:

• Повторить и обобщить знания по алгебре за курс основной общеобразовательной школы;
• Расширить знания  по отдельным темам курса алгебра 5-9 классы;
• Выработать умение пользоваться контрольно-измерительными материалами.

Ожидаемые результаты:

На основе поставленных задач предполагается, что учащиеся достигнут следующих результатов:

• Овладеют общими универсальными приемами и подходами к решению заданий теста.
• Усвоят основные приемы мыслительного поиска.
• Выработают умения:

• самоконтроль времени выполнения заданий;
• оценка объективной и субъективной трудности заданий и, соответственно, разумный выбор этих заданий;
• прикидка границ результатов;

Основные методические особенности курса:

1. Дистанционное обучение учащихся по тематическому принципу, соблюдая «правила спирали»  от простых типов заданий первой части до заданий со звездочкой второй части;
2. Самостоятельная работа учащихся с тематическими тестами, выстроенными в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного вытекает другое, т.е. правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего; выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего и т. д.;
3. Консультативное участие учителя в освоении основных приемов работы с измерительными материалами.
4. Активное применение развивающих технологий: «Мозговой штурм».

Структура курса

Курс рассчитан на 34 занятия. Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов алгебры:

• Выражения и их преобразования.
• Уравнения и системы уравнений.
• Неравенства.
• Координаты и графики.
• Функции.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии.
• Геометрический материал.

Формы организации учебных занятий

Формы проведения занятий включают в себя практические работы, тренинги по использованию методов поиска решений путем дистанционного общения учителя и ученика.  Общение строится с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала.
          В ходе обучения периодически (1 раз в четверть) проводится часовое очное обучение, устанавливающее тестовые испытания для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий. Контрольные замеры обеспечивают эффективную обратную связь, позволяющую обучающим и обучающимся корректировать свою деятельность.
         Систематическое повторение способствует более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.

Контроль и система оценивания

           Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных работ.  Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности.
         Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по алгебре в форме малого ЕГЭ).
         Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по пятибалльной системе.
         Итоговый контроль реализуется в конце года в двух формах: защиты проекта и сдачи экзамена в форме ГИА.

Содержание

 Арифметика

Тема № 1      Натуральные числа (9 часов).

Натуральные числа. Действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем. Делимость чисел. Простые и составные числа. НОК и НОД. Дроби.  Действия над дробями. Положительные и отрицательные числа. Действия над положительными и отрицательными числами. Степень с целым показателем. Арифметический квадратный корень. Преобразование выражений, содержащих корни. Процент. Задачи на проценты.

Алгебра

Тема №2   Буквенные выражения (7 часов).

Допустимые значения выражения. Подстановка выражений вместо переменной. Преобразование алгебраических выражений. Многочлен. Действия над многочленами. Формулы сокращенного умножения. Основное свойство дроби. Действия с алгебраическими дробями.

Тема №3   Уравнения. Системы уравнений. (5 часов).

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение и способы его решения. Дробно-рациональное уравнение. Уравнения с модулем. Системы уравнений и способы их решений.

Тема №4    Неравенства  (3 часа).

Неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной. Решение линейных неравенств. Квадратные неравенства. Системы неравенств.

Тема №5     Прогрессии (2 часа).

Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула п- члена  и суммы п- членов арифметической и геометрической прогрессии.

Тема №6 Функции  и графики (3 часа).

Функция. Способы задания. Область определения и значения функции. График функции.  Возрастание и убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Линейная, квадратичная функции. Обратная пропорциональность.

Геометрия

Тема №7 Геометрический материал

Формулы площадей фигур. Определение центральных и вписанных углов. Признаки равенства и подобия треугольников. Свойства четырехугольников.

Ожидаемые результаты

Учащиеся должны знать и уметь:

1. Уметь выполнять действия с числами:

• Выполнять арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение чисел, действия с дробями.
• Выполнять арифметические действия с рациональными числами.
• Находить значения степеней и корней, а также значения числовых выражений

2. Уметь выполнять алгебраические преобразования:

• Выполнять действия с многочленами и с алгебраическими дробями.
• Применять свойства арифметических квадратных корней  для вычисления значений и преобразований выражений, содержащих корни.

3. Уметь решать уравнения и неравенства:

• Решать линейные, квадратные, рациональные уравнения, системы двух уравнений.
• Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы

4. Уметь выполнять действия с функциями:

• Находить значения функции.
• Определять свойства функции по графику.
• Описывать свойства функций.
• Строить графики.

5. Распознавать геометрические и арифметические прогрессии:

• применять формулы общих членов.
• суммы n членов  арифметической и геометрической прогрессий.

6. Уметь решать геометрические задачи:

• Формулировать определения, свойства, признаки
• Рассчитывать площади различных фигур
• Выполнять чертежи к задачам, выполнять построения

ТЕМАТИКА  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ  ПРОЕКТОВ

1. Архимед – величайший древнегреческий математик, физик, инженер.
2. Гений XVIII века – Леонард Эйлер.
3. Николай Иванович Лобачевский – великий реформатор геометрии.
4. Трагическая судьба Эвариста Галуа.
5. Математик XIX века Пафнутий Львович Чебышев.
6. «Принцесса науки» Софья Васильевна Ковалевская.
7. «Русский Архимед» - Владимир Андреевич Стеклов.
8. «Острый» гений – Андрей Николаевич Колмогоров.
9. Математика в Древней Руси.
10. Системы счисления.
11. История развития математики на Востоке.
12. Происхождение мер.
13. Жизнь и деятельность Пифагора.
14. Жизнь и деятельность Рене Декарта.
15. Жизнь и деятельность Франсуа Виета.
16. Жизнь и деятельность Исаака Ньютона.
17. Жизнь и деятельность Омара Хайяма.
18. Математик и богослов – Бонавентура Кавальери.
19. Гениальный ученый – Михаил Васильевич Ломоносов.
20. Тригонометрия. Страницы истории.

Литература для учителя:

1. Алгебра. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2013. Под ред. Лысенко Ф.Ф.  Ростов на/Д: Легион, 2012

2. Математика. Подготовка к ГИА -2013. Под ред. Лысенко Ф.Ф.  Ростов на/Д: Легион, 2012

3. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Кузнецова Л.В, Суворова С.Б. и др.  М.: Просвещение, 2010.

4. ГИА — 2010. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс.  Кузнецова Л.В, Суворова С.Б, Бунимович Е.А. и др. М.: АСТ: Астрель, 2010

5. Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма) в 2010 году. Ященко И.В., Семенов А.В., Захаров П.И.  

6. Методические рекомендации. М.: МЦНМО, 2009.

7. Математика. ГИА-2012. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. М.: «Экзамен».

8. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы. Под ред. А.Г. Мордковича. М.2010.

9. Б.И. Вольфсон, Л.И.Резницкий Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА: учимся решать задачи. Ростов на/Д: Легион, 2012

10. Ресурсы сети Интернет.

Литература для учащихся:

1. Алгебра. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2013. Под ред. Лысенко Ф.Ф.  Ростов на/Д: Легион, 2012

2. Математика. Подготовка к ГИА -2013. Под ред. Лысенко Ф.Ф.  Ростов на/Д: Легион, 2012

3. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Кузнецова Л.В, Суворова С.Б. и др.  М.: Просвещение, 2010.

4. ГИА — 2010. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс.  Кузнецова Л.В, Суворова С.Б, Бунимович Е.А. и др. М.: АСТ: Астрель, 2010

5. Подготовка к экзамену по математике ГИА 9 (новая форма) в 2010 году. Ященко И.В., Семенов А.В., Захаров П.И.  

6. Ресурсы сети Интернет:

Российская государственная детская библиотека
http://www.rgdb.ru

РГДБ является научно-методическим и исследовательским центром в области педагогики, психологии и социологии детского чтения, библиографии детской литературы, организации библиотечного обслуживания детского населения. На сайте представлена коллекция интересных ссылок по тематическим рубрикам: «Литературные ресурсы», «Детские ресурсы», «Ресурсы для родителей», «Сайты писателей», «Интересные сайты», «Детские библиотеки», «Информация для библиотек». Возможен поиск в электронном каталоге.

Другие образовательные ресурсы
http://www.en.edu.ru

Портал содержит материалы и ссылки на ресурсы Интернет по естественно-научным дисциплинам. Поиск материала возможен по предмету (физика, химия, биология, математика), типу материала (справочники, задачники, лабораторные практикумы, учебники и др.), уровню образования (общее, высшее), характеру аудитории: (преподаватели, учащиеся, студенты).

Открытый Колледж http://www.college.ru

Образовательный Интернет-портал содержит методические материалы, описание опыта использования учебных компьютерных программ в школе. Опубликованы стандарты образования и учебные планы для многопрофильных школ, разноуровневых и профильных классов. В проект также входят сайты: «Математика» (www.mathematics.ru), «Физика» (www.physics.ru), «Химия» (www.chemistrv.ru), «Биология» (www.biology.ru), «География» (www.geography.ru), «Английский язык» (www.english.ru).

Газета "Математика" http://mat.1september.ru 

http://www.npstoik.ru/vio/ 

Математика

Газета "Математика" Издательского дома "Первое сентября" http://mat.1september.ru 

Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru 

Math.ru: Математика и образование http://www.math.ru 

Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО) http://www.mccme.ru 

Allmath.ru — вся математика в одном месте http://www.allmath.ru 

EqWorld: Мир математических уравнений http://eqworld.ipmnet.ru 

Exponenta.ru: образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru 

Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа http://www.bymath.net 

Геометрический портал http://www.neive.by.ru 

Графики функций http://graphfunk.narod.ru 

Дидактические материалы по информатике и математике http://comp-science.narod.ru 

Дискретная математика: алгоритмы (проект Computer Algorithm Tutor) http://rain.ifmo.ru/cat/ 

ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию http://www.uztest.ru 

Задачи по геометрии: информационно-поисковая система http://zadachi.mccme.ru 

Задачник для подготовки к олимпиадам по математике http://tasks.ceemat.ru 

Занимательная математика — школьникам (олимпиады, игры, конкурсы по математике) http://www.math-on-line.com 

Интернет-проект "Задачи"h ttp://www.problems.ru 

Математические этюды http://www.etudes.ru 

Математика on-line: справочная информация в помощь студенту http://www.mathem.h1.ru 

Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online) http://www.mathtest.ru 

Математика для поступающих в вузы http://www.matematika.agava.ru 

Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ http://school.msu.ru 

Математика и программирование http://www.mathprog.narod.ru 

Математические олимпиады и олимпиадные задачи http://www.zaba.ru 

Международный математический конкурс "Кенгуру" http://www.kenguru.sp.ru 

Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru 

Московская математическая олимпиада школьников http://olympiads.mccme.ru/mmo/ 

Решебник.Ru: Высшая математика и эконометрика — задачи, решения http://www.reshebnik.ru 

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина http://www.mathnet.spb.ru 

Глава 1. Числа

Тема №2. Приближённые значения. Округление чисел. Стандартный вид числа

Основные сведения

Правила округления. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр остаётся неизменной.

Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Стандартным видом положительного числа а называют его представление в виде a0 • 10m, где 1< 10, а т — целое число; число т называют порядком числа а, число aо — мантиссой.

Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величины  x и её приближённым значением а.

Если а — приближённое значение числа х и \х - а\ h, то говорят, что число х равно числу а с точностью до h, и пишут: х = а ± h.

Неравенство \х — а\ h можно записать в виде a — hxa + h. Числа a - h и a+h являются приближёнными значениями числа х с недостатком и с избытком соответственно.

Относительной погрешностью приближённого значения а называют отношение абсолютной погрешности \х — а\ к модулю приближённого значения. Относительную погрешность выражают в процентах

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Округлите число 57 497 до сотен.

1) 58000        2) 58497        3) 57500        4) 60000

Решение. При округлении числа 57 497 до сотен следует написать 57500. Действительно, за цифрой 4, обозначающей разряд сотен, следует цифра 9. Следовательно, 4 нужно увеличить на 1, а все цифры, стоящие правее данного разряда, заменить нулями. Из предложенных ответов верным является 3). Ответ: 3.

2.        Диаметр планеты Юпитер приближённо равен 142600 км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 1,426 • 104 км        2) 1,426 • 102 км

3) 1,426 • 105 км        4) 1,426 • 106 км

Решение.   142600 = 1,426 • 105. Из предложенных ответов верным является 3). Ответ: 3.

3.        Толщину одной и той же детали измерили штангенциркулем, микрометром и линейкой. Получили соответственно результаты 2,6 мм, 2,49 мм и 2 мм. Каким инструментом было произведено более точное измерение, если толщина детали равна 2,5 мм?

1) штангенциркулем        2) микрометром
3) линейкой        4) всеми инструментами

Решение. Найдём абсолютную погрешность для каждого из приведённых измерений:

1. при измерении штангенциркулем: |2,6 — 2,5| = 0,1;
2. при измерении микрометром: |2,49 — 2,5| = 0,01;
3. при измерении линейкой: |2 — 2,5| = 0,5.

Из чисел 0,1; 0,01 и 0,5 наименьшее — 0,01. Следовательно, более точное измерение было произведено микрометром. Из предложенных ответов верным является 2).

Ответ: 2.

4.        Найдите погрешность приближения числа   десятичной дробью 0,8.

1)         2)         3) 0,3        4) 0,33

Решение.

 Из предложенных ответов верный 2).

Ответ: 2.

5. Пусть a — приближённое значение числа  в. Найдите относительную погрешность, если а = 14,7 и в = 14,724.

1) %        2) -0,024%        3) 0,24%        4) %

Решение

Из предложенных ответов верным является 1).

Ответ: 1.

6.        Температура t воздуха в холодильной камере 7,5°С В качестве приближенного значения взято число ТС. Найдите абсолютную погрешность приближения.

Решение.  |7,5 - 7| = 0,5.

Ответ: 0,5.

7.        Пусть х = 12,7 ± 0,2. Из чисел А = 12,91      Б = 12,95      В = 12,501      Г = 12,52 выберите возможные значения х.

1) А, В        2) А, Б        3) Б, В        4) В, Г

Решение.  Запись х = 12,7 ± 0,2 означает, что х равно 12,7 с точностью до 0,2, то есть 12,7 - 0,2  х  12,7 + 0,2. Отсюда 12,5  х  12,9. Полученному неравенству удовлетворяют только числа В и Г. Из предложенных ответов верным является 4). Ответ: 4.

8.        Укажите приближённое значение числа Ь, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком, если 5,8  b  6,4.

Решение. Числа 5,8 и 6,4 являются приближёнными значениями числа b с недостатком и с избытком соответственно. Среднее арифметическое этих чисел равно  

  =6,1.

Ответ: 6,1.

        Попробуй решить сам!        

                            Вариант № 1

1.        Округлите число 253,355 до десятых.

1) 253,4        2) 253,3        3) 253,25        4) 253,26

2.        Расстояние от планеты Земля до Солнца равно 149,6 млн км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 1,496 • 106км 2) 1,496 • 107км 3) 1,496 • 108км 4) 1,496 • 109км

3.        Велосипедист проехал дистанцию 47 км со средней скоростью 9 км/ч. За сколько минут велосипедист преодолел дистанцию? Ответ округлите до целых.

1) 522        2) 313        3) 11        4) 423

4.Выразите дробь  приближённой десятичной дробью с тремя знаками после запятой.

1) 0,454        2) 0,455        3) 0,450        4) 0,500

5.        Пусть а — приближённое значение числа Ъ. Найдите относительную погрешность, если a = 230, Ь = 234,5.

1) %        2) %        3) %        4) -4,5%

6.        Стену, длина которой 3,6 м, а высота — 2,7 м, решили оклеить обоями. Сколько рулонов обоев надо купить, чтобы оклеить стену, если ширина обоев в рулоне — 60 см, а длина — 10 м?

Ответ:        

7.        Пусть х = 24,71 ± 1,2. Из чисел А = 24,73,    Б = 26,71,    В = 23,21,    Г = 25,91 выберите возможные значения х.

1)А,В        2) А, Г        3)Б,В        4) В, Г

8.        Укажите приближённое значение числа а, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком, если 17,13 а  17,21.
Ответ:        

Глава 1. Числа.

Тема 1. Натуральные числа. Действия над натуральными числами

Ключевые слова: запись натуральных чисел, арифметические действия над натуральными числами, признаки делимости

! Внимательно прочти теоретический материал по теме и только после прочтения приступай к выполнению практических заданий

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называют натуральными.

Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывают с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Например 2457 = 21000+4100+510+7.
Вообще. если a - цифра тысяч, b - цифра сотен, c - цифра десятков, d - цифра единиц, то имеем abcd=a1000+b100+c10+d

Свойства сложения и умножения натуральных чисел

• a + b = b + a - переместительное свойство сложения
• (a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения
• ab = ba - переместительное свойство умножения
• (ab)c = a(bc) - сочетательное свойство умножения
• a(b + c) = ab + ac - распределительное свойство умножения относительно сложения
• Результатом сложения и умножение двух натуральных чисел всегда является натуральное число

Если m, n, k натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное.

Признаки делимости натуральных чисел

• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
• Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.
• Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
• Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0.
• Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда , когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
• Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

А теперь приступай к решению!

1. Сложение натуральных чисел        

Выполни сложение:

1) 11182 + 415;

2) 746738 + 6579;

3) 316 + 7463;

4) 925 + 698;

5) 5455 + 4545;

6) 68083 + 77877;

7) 237 + 0;

8) 65254 + 2760;

9) 3214 + 4080;

10) 105 + 8998;

11) 93225 + 597975;

12) 624 + 59376.

2. Вычитание натуральных чисел

Выполни вычитание:

1) 80000 – 6917;

2) 50000 – 391;

3) 677966 – 6961;

4) 143900 – 6601;

5) 46594 – 45594;

6) 995485 – 995428;

7) 3889 – 0;

8) 2071 – 1375;

9) 23558 – 2589;

10) 10000 – 1330;

11) 759 – 421;

12) 100000 – 884.

3. Умножение натуральных чисел

Выполни умножение:

1) 202 ∙ 47;

2) 540 ∙ 1;

3) 700 ∙ 124;

4) 39 ∙ 66;

5) 562 ∙ 100;

6) 361 ∙ 99;

7) 670 ∙ 30;

8) 100 ∙ 1000;

9) 45076 ∙ 0;

10) 808 ∙ 102;

11) 6 ∙ 339;

12) 9676 ∙ 43.

4. Деление натуральных чисел

Выполни деление:

1) 11889 : 1;

2) 299628 : 4;

3) 12312 : 72;

4) 0 : 866508;

5) 38504 : 8;

6) 216120 : 24;

7) 11249202 : 149;

8) 16500 : 50;

9) 327900 : 10;

10) 16941400 : 200;

11) 151040 : 32;

12) 2799688 : 904.

Глава 1. Числа

Тема №3.  «Отношения. Пропорции».

                        Основные сведения

Отношение двух чисел — это частное от деления одного из них на другое. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Взаимно обратными называют числа, произведение которых равно 1 (, где а,

Обратное отношение — это отношение, взятое в обратном порядке по отношению к данному.

Отношение  - называют обратным отношению  

Пропорция — это равенство двух отношений. В пропорции  (или a : b = с : d) числа a и d называют крайними, а числа b  и с — средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов. Если для двух отношений а : b и с : d выполняется равенство ad = bc, то a : b = с : d — верная пропорция.

Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившиеся новые пропорции верны.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Отношение с к d равно .  Найдите их обратное отношение.
                                     1) -                 2)                  3) 0,8             4) 1,4

Решение.  Отношением, обратным к , является  = 1. Из предложенных ответов верным является

Ответ: 2.

2. Масса печенья 15 кг, а масса упаковки 600 г. Найдите отношение массы печенья к массе упаковки.

                          1)          2)           3)         4) 25

Решение. 600 г = 0,6 кг. Отношение массы печенья к массе упаковки равно = = 25

 Ответ: 4.

3. Из каких отношений

               А = 4,8 : 0,9;        Б = 1,6 : 0,3;               В = 0,48 : 0,9;               Г = 25 : 12

можно составить пропорцию?

                       1) А и Б        2) Б и В         3) А и В        4) Б и Г
Решение.   Проверим предложенные отношения на выполнение основного свойства пропорции.

1) Для отношений А и Б произведение крайних членов 4,8 • 0,3 = 1,44; произведение средних членов

0,9 • 1,6 = 1,44; 1,44 = 1,44. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию.

2) Для отношений Б и В произведение крайних членов 1,6 • 0,9 = 1,44; произведение средних членов

0,3 • 0,48 = 0,144; 1,44 0,144. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.

3) Для отношений А и В произведение крайних членов 4,8 • 0,9 = 4,32; произведение средних членов 0,9 • 0,48 = 0,432; 4,32 0,432. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.

4) Для отношений Б и Г произведение крайних членов 1,6 • 12 = 19,2; произведение средних членов 0,3 • 25 = 7,5; 19,2 7,5. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: 1.

4. Из пропорции 20 : 15 = 16 : 12 составлены 4 равенства, укажите верное.

1) 15 : 20 = 16 : 12        2) 20 : 12 = 15 : 16

3) 12 : 16 = 15 : 20        4) 20 : 16 = 12 : 15

Решение.   Заданная пропорция останется верной, если в ней поменять местами средние или крайние члены. Следовательно, из предложенных пропорций верной является только

Ответ: 3.

5. Какое из перечисленных ниже равенств отношений составлено неверно, если 13 • 6 = 0,78 • 100?

1) 13 : 6 = 0,78 : 100        2) 13 : 100 = 0,78 : 6

3) 6 : 100 = 0,78 : 13        4) 13 : 0,78 = 100 : 6

Решение. Из заданного равенства произведений на основе перестановки сомножителей и основного свойства пропорции можно составить четыре верные пропорции: 13 : 0,78 = 100 : 6; 6 : 0,78 = 100 : 13; 13 : 100 = 0,78 : 6; 6 : 100 = 0,78 : 13.

Ответ: 1.

6. На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров такой же ткани потребуется на пошив 15 рубашек?

                            1) 27        2) 35               3) 31,5             4) 30

Решение.   Пусть на пошив 15 рубашек требуется х м ткани. Тогда, согласно условию,

9 рубашек — 18,9 м;

15 рубашек — х м

Так как расход ткани прямо пропорционален количеству рубашек, то справедливо равенство  = . По правилу нахождения крайнего члена пропорции х =  = 31,5.

Ответ: 3.

7. С помощью 6 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 32 минуты. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью 8 таких труб?

                                       1) 36                     2) 42                3) 64            4) 24

Решение. Пусть с помощью 8 труб бассейн можно заполнить за х минут. Тогда, согласно условию,

6 труб — 32 мин;

8 труб — х мин.

Так как время заполнения бассейна обратно пропорционально количеству труб, то справедливо равенство  6 : 8 = х : 32. По правилу нахождения среднего члена пропорции х =  = 24.

Ответ: 4.

8. Угол в 140° разделен на 4 части, градусные меры которых относятся как 2:3:4:5. Найдите градусную меру меньшего из полученных углов.

                              1) 10°        2) 20°                 3) 70°             4) 120°

Решение. Пусть х — градусная мера одной части. Тогда градусные меры углов соответственно равны 2х, 3х, 4х и 5х. Следовательно, 2х + 3х + 4х + 5х = 140; 14х = 140; х = 10; 10° приходится на одну часть. Градусная мера меньшего из полученных углов равна 2 • 10° = 20°. Ответ: 2.

       Попробуй решить сам!

          Вариант № 1

1. Отношение а к b равно -. Найдите обратное отношение.

                                    1)              2) -        3)             4) -

2. Ширина комнаты — 3,2 м, а длина — 480 см. Найдите отношение ширины комнаты к её длине.

                                                 1)              2)         3)              4)

3. Выберите пару отношений, из которых можно составить пропорцию.

                        1)  и        2)  и         3)  и       4)  и

4. Найдите неизвестный член пропорции = , используя её основное свойство.

                                     1) 2           2) 2,1               3) 2,7        4) 4,2

5. Выберите отношение b к а, если 1,5b = 3,2а.

                      1)      2) =      3)       4)

6. Для участия в соревнованиях класс разбили на четыре равные команды. При этом в первую команду попали только девочки, во вторую и третью — только по одному мальчику (остальные девочки), а в четвёртую — две девочки (остальные мальчики). Найдите, какую часть составляют девочки от количества всех учеников в классе.

                                            1)           2)               3)                4)

7. Скорость велосипедиста во столько же раз выше скорости пешехода, во сколько раз скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста. Найдите отношение скорости велосипедиста к скорости мотоциклиста, если известно, что скорость пешехода в 25 раз меньше скорости мотоциклиста.

                                              1)          2)         3)         4)

8. В детской игрушке «Пирамида», состоящей из 5 колец, «внутренний» диаметр каждого последующего кольца меньше диаметра предыдущего кольца в 2,5 раза. Найдите отношение диаметра пятого кольца к диаметру второго кольца.

                                                      1)           2)               3)         4)

Глава 1. Числа.

Тема №4. «Арифметические действия. Сравнение чисел»

Основные сведения

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину, отличную от 0, то значение дроби останется прежним.

Если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби.

Сравнение дробей. Для сравнения, сложения и вычитания обыкновенных дробей их следует привести к одному и тому же знаменателю.

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.

На координатном луче точка, имеющая меньшую координату, лежит левее точки, имеющей большую координату.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Умножение дробей. Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:   Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.

Деление дробей. Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую на дробь, обратную второй:

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.

Преобразование дробей. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. При этом не всегда можно получить конечную десятичную дробь.

Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если в разложении её знаменателя на простые множители присутствуют только множители 2 и 5.

Чтобы преобразовать конечную десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень числа 10. Затем к результату слева приписать целую часть, формируя смешанную дробь.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1.        Вычислите 11 • 2 - 12,4.

1) 9,6        2) 10,6        3) 12,2        4) -2,2

Решение. 11 • 2 - 12,4 = 11 • 2 +  -12,4 = 22 +  - 12,4 = 22 + 2,6 - 12,4 = 12,2.

Ответ: 3.

2.        На координатной прямой отмечены числа х и у (см. рис. 5). Какое из этих утверждений верно?

        -------------------------------------        ►

х        0        у

Рис. 5.

1) х2у > 0        2) х5у3 > 0        3) х3у2 > 0        4) ху > О

Решение.  Согласно рисунку х < 0, у > 0.

Рассмотрим предложенные утверждения.

Утверждение 1) верно, так как х2 >0 и, следовательно, х2у > 0.

Утверждение 2) неверно, так как х5 < 0, у3 > 0 и, следовательно, хъу3 < 0.

Утверждение 3) неверно, так как х3 < 0 , у2 > 0 и, следовательно, х3у2 < 0.

Утверждение 4) неверно, так как х < 0, у > 0 и, следовательно, ху < 0.

Ответ: 1.

3.        Расположите числа в порядке возрастания:        - ; -0,3; -1; -1.

1) - ; -1; -l; -0,3        2) - l; -; -0,3; -1

.      3) - 1; -0,3; -; -l        4) - l; -l; -; -0,3

Решение. Запишем заданные числа в виде десятичных дробей. Получим последовательность чисел:

-0,(3); -0,3; -1; -1,(3).

Учитывая, что из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, расположим полученные числа в порядке возрастания: -1,(3); -1; -0,(3); -0,3.

Ответ: 4.

4.        Сравните а и b , если  a = 6 : (-2),  b = 12 : (-6).

1) a = b         2) а < b        3) а > b        4) другой ответ

Решение, а = 6 : (-2) = -(6 : 2) = -3, b = 12 : (-6) = -(12 : 6) = -2. Так как из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, то -3 < -2, значит, a < b.

Ответ: 2.

5.        Найдите, при каком значении А равенство А • 42 = 240 верно.
1) А = 15        2) А = 1,5        3) А = 30        4) A = 224
Решение. Преобразуем равенство А 42 = 240 к виду А • 42 = 42 • 15. Отсюда  А = 15.

Ответ: 1.

6.        Соотнесите частное

А = 145 : 5;        Б = -4,76 : 0,01;        В =  :      и результат.

1) 6,75        2) -476        3) -0,00476        4) 29

Решение.  Вычислим каждое из заданных частных. А = 145 : 5 = 29 соответствует результату 4);

                                                 Б = -4,76 : 0,01 = -476 соответствует результату 2);

Ответ:

                                                        В =  : = =   =6,75  соответствует результату 1).

7. Запишите в виде равенства: произведение суммы чисел  а и х и их разности равно t.

1) (a + x) + (a-x) = t        2) (a + x):(a-x) = t

3) (a + x) (a-x) = t        4)

Решение. Сумма чисел a и х записывается в виде a + x; «их разность» записывается в виде а—х; запись выражения «произведение суммы чисел а и х и их разности» имеет вид: (а+ х)  (а - х).

Ответ: 3.

8. Сколько десятичных знаков после запятой содержит  разности чисел 27,35 и 0,056?

1) 5        2) 6        3) 3        4) 4

Решение. Найдём разность заданных чисел: 27,35 - 0,056 = 27,294.

 этой разности равна  • 27,294 = 2,7294. Это число содержит 4 знака после запятой. Ответ: 4.

Попробуй решить сам!

Вариант № 1

 1. Вычислите (5 - 4) .

1)0,25        2)5        3)3                    4) 1

2. На координатной прямой отмечены числа а и b (см. рис. 6). Какое из данных утверждений верно?

                                       b          0            a

1) ab > 0

Рис. 6.
                2) bа2 > 0        3) аb2 > 0                   4) (аb)3> 0

3.        Расположите числа в порядке убывания -2,6; -2; -1; -

4.        Сравните числа а и b, если а = 7 : (-3), b = 3: (-7).

1) а = 6        2) a < b        3) а > b        4) другой ответ

5.        Найдите, при каком значении А равенство А : 1 =  верно.

1) A=            2) A=             3) A=3         4) A=

6. Соотнесите произведения

А = 12,3 • 2,1;         Б=                   В= 13,2  и результат.

             1) 23,1                      2) 25,83              3) 14,4                 4) 10

Ответ:

7.        Запишите в виде числового равенства: частное от деления разности  и 5,75 на сумму чисел

и   равно произведению числа -3 на сумму чисел 4 и .

8.        Сколько десятичных  знаков после запятой содержит произведение числа 0,001 на разность чисел 3272,354 и 1262,304?

1) 0        2) 1        3) 5        4) 6

Тема:   «Текстовые задачи»

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1.        Площадь прямоугольного треугольника равна 27 см2, а один из катетов на 3 см больше другого. Найдите длину большего катета (в см).

Решение.  Пусть х см — длина большего катета, тогда (х — 3) см — длина меньшего катета, а  х(х — 3) см2 — площадь треугольника. По условию задачи площадь треугольника равна 27 см2. Составим уравнение х        (х-3)=27, х2 -3х-54=0    х = 9, х = - 6.

Учитывая, что длина катета — положительное число, условию задачи удовлетворяет х = 9. То есть длина большего катета 9 см.

Ответ: 9.

2.        В каждом из двух бидонов было одинаковое количество молока. После того как из первого бидона во второй перелили 20 л молока, в нём осталось втрое меньше молока, чем стало во втором бидоне. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Решение. Пусть первоначально в каждом бидоне было х л молока. После того как молоко перелили из первого бидона во второй, в первом бидоне осталось (х —20) л молока, а во втором стало (х+20) л. Зная, что в первом бидоне осталось молока в 3 раза меньше, чем стало во втором, составим уравнение:

3(х - 20) = х + 20, 3х - х = 20 + 60, х = 40.

Значит, первоначально в каждом бидоне было по 40 л молока.

Ответ: 40.

3.        С трёх грядок собрали 160 кг огурцов. С первой грядки собрали в 3 раза больше, чем со второй, а с третьей — на 54 кг больше, чем со второй.
Сколько килограммов огурцов собрали с первой грядки?

Решение.  Пусть со второй грядки собрали х кг огурцов. Тогда 3х кг — собрали с первой грядки, а (х + 54) кг — собрали с третьей грядки. По условию задачи с трёх грядок собрали 160 кг. Составим уравнение:

3х + х + х + 54 = 160, 5х = 106, х = 21,2.

Значит, 21,2 кг огурцов собрали со второй грядки; 21,23 = 63,6 кг собрали с первой грядки.

Ответ: 63,6.

4. Разность двух натуральных чисел равна 1. Сумма этих чисел меньше их произведения на 19. Найдите эти числа.

Решение. Пусть х — первое число, у — второе число. Тогда х - у — разность чисел, х + у — сумма, ху — произведение.

Зная, что разность чисел равна 1, а их произведение больше суммы на 19, составим систему уравнений:

х - у=1,        

ху-(х + у) = 19;        

у = х-1                                                                                                                х(х-1)-(х + х -1) = 19,          

у = х-1                                                                                                                   х2 - 3х - 18 = 0;  

у = х-1                                                                                                                х= -3

х= 6

По условию числа натуральные, значит, х = 6, у = 5. Ответ: 6; 5.

5. Две гири и три гантели вместе весили 47 кг, а три гири тяжелее б гантелей на 18 кг. Сколько килограммов весит гиря и сколько — гантель?

Решение. Пусть х кг весит гиря (х > 0), у кг весит гантель (у > 0). Тогда 2х кг весят 2 гири, 3у кг весят 3 гантели; (2х + Зу) кг весят 2 гири и 3 гантели, что по условию задачи составляет 47 кг. Следовательно, 1-е уравнение: 2х + 3у = 47. Так как 3х кг весят 3 гири, 6у кг весят б гантелей, то (3х - 6у) кг — разность веса 3-х гирь и 6-ти гантелей, что по условию задачи составляет 18 кг.

Следовательно, 2-е уравнение: 3х-6у = 18, или х - 2у = 6.
Решение задачи сводится к решению системы уравнений:

2х + 3у = 47,         2х  + 3y = 47,        2х + 3у = 47,

х - 2у = 6;                      -2х + 4у = -12;        7у = 35;

2х + 3у = 47,                   2х + 3*5 = 47,            х = 16,

у = 5;        y = 5;              у = 5.

Таким образом, 16 кг весит гиря, 5 кг — гантель.

Ответ: 16; 5.

6. Моторная лодка прошла по течению реки 12 км, а против течения — 7 км, затратив на путь по течению на 1 час меньше, чем путь против течения. Найдите скорость течения реки (в км/ч), если собственная скорость лодки 6 км/ч.

Решение.  Пусть х км/ч — скорость течения реки, х   (0; 6).

По условию задачи на путь по течению лодка затратила на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

,    7х + 42 – 72 + 12х = 36 - х2,   х2 + 19х – 66 = 0    

х = 3

х = - 22

х = - 22 не удовлетворяет условию, так как х  (0;6).

Следовательно, скорость течения реки — 3 км/ч.

Ответ: 3.

7. Расстояние в 30 км один из двух лыжников прошёл на 20 минут быстрее другого. Какова скорость каждого лыжника (в км/ч), если известно, что расстояние в 45 км первый лыжник проходит за то же время, за которое второй лыжник проходит 54 км?

Решение.    Пусть х км/ч — скорость первого лыжника (х >  0), у kim/ч — скорость второго (у > 0). Тогда 30 км первый лыжник прошел  за  ч, а второй — за  ч. Первый лыжник прошёл это расстояние на () ч быстрее, чем второй, что по условию задачи составляет

20 мин = ч = ч.

Следовательно, первое уравнение: - = .

Расстояние в 45 км первый лыжник проходит за  ч, а второй лыжник 54 км проходит за ч. По условию задачи лыжники прошли эти расстояния за одно и то же время.

Следовательно, второе уравнение:  = , или  = .

Решение задачи сводится к решению системы уравнений:

                           90y - 90x= xy                   x = 0,  x = 15

                                          y = 1,2 x                          y = 1,2 x

х = 0 не удовлетворяет условию х > 0, значит, x = 15, у = 15 • 1,2 = 18. Таким образом, скорость первого лыжника 15 км/ч, скорость второго — 18 км/ч.

8. Двое рабочих вместе выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал вдвое быстрее, а второй — вдвое медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней может выполнить всю работу первый рабочий, трудясь самостоятельно?

Решение. Примем объём работы за единицу. Пусть за х дней выполнит всю работу первый рабочий (х > 0), за у дней — второй (у > 0).

— производительность первого рабочего,         производительность второго рабочего,

производительность двух рабочих вместе.

По условию рабочие вместе выполняют всю работу за 5 дней, значит, общая производительность — .

Следовательно, первое уравнение:  =

        — увеличенная вдвое производительность первого рабочего,

        уменьшенная вдвое производительность второго рабочего,

        изменённая производительность двух рабочих вместе.

По условию рабочие вместе выполнили бы всю работу за 4 дня, значит,  была бы их общая производительность. Следовательно, второе уравнение:

Решение задачи сводится к решению системы уравнений:

                                                                           y = 10

y = 10

x = 10

Таким образом, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 дней. Ответ: 10.

Попробуй решить сам!

1.        Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника (в см), если площадь прямоугольника равна площади квадрата со стороной 6 см.

2.        В двух пачках было одинаковое количество тетрадей. Когда из первой пачки переложили во вторую 18 тетрадей, то во второй стало в 4 раза больше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке
первоначально?

3.        В корзине лежали яблоки, груши и апельсины, всего 59 штук. Яблок было в 3 раза больше, чем груш, а апельсинов — на 25 штук меньше, чем яблок. Сколько яблок было в корзине?

4.        Разность двух целых чисел равна 12. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего числа на меньшее, равна 24. Найдите эти числа.

5.        На один костюм и четыре платья пошло  11 м ткани, а на три таких же костюма и два таких же платья — 13 м. Сколько метров ткани потребуется на одно платье и на один костюм?

6.        Расстояние между пунктами А и Б по реке 24 км. Катер проплыл от пункта А до пункта Б и вернулся обратно, затратив на весь путь 3,5 часа. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если скорость течения реки 2 км/ч.

7.        Расстояние, равное 960 км, первый автомобиль проходит на 2 часа быстрее второго. За время, которое требуется первому автомобилю на прохождение 60 км, второй успевает пройти 50 км. Найдите скорость
каждого автомобиля (в км/ч).

8. Насос может выкачать из бассейна  воды за 7 мин. Проработав 9 мин, насос остановился. Найдите вместимость бассейна (в м3), если после остановки насоса в бассейне осталось ещё 20 м3 воды.        .

Глава 1. Числа.

Тема №6. «Квадратные корни».

Основные сведения

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

При любом а  0 выражение  имеет смысл. Если а < 0, то выражение  не имеет смысла.

Из определения арифметического корня следует, что если выражение имеет смысл, то 0 и ()2   = а.

Свойства арифметического квадратного корня.

1) Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей, то есть если а 0, b 0, то =

2) Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, то есть если а 0, b > 0,

3) При любом значении а и натуральном  верно равенство =

4) Если а > b  0, то  > .

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Из чисел 3; ; 4; 5 выберите наибольшее.

                             1) 4                              2)          3) 5      4) 3

Решение 4= 5. Следовательно, наибольшим из перечисленных чисел является 5. Из предложенных ответов верным является 3).

Ответ: 3.

2. Какое из данных выражений равно выражению ?

                                  1)                  2) 4         3)      4)

Решение.  Используя свойства арифметических корней, преобразуем каждое из предложенных выражений.

Выражение 1: 

Выражение 2: 4

Выражение 3:

Выражение 4:                       Ответ: 3.

3. Вычислите 
                           1) 0,3                    2) 0,5                  3) - 0,3                  4) - 0,5

Решение=

Ответ: 2.

4.        Упростите выражение (8 + 6-

1) - 12        2) +6        3) - 4        4)12

  Решение.  (8 + 6-=

Ответ: 2.

5.        Сократите дробь , если  

                             1) 7+           2)                  3)   7+y                 4)

Решение. 

Ответ: 1.

6. Упростите, исключив иррациональность из знаменателя дроби .

Решение.    =

Ответ: 1.

7. Найдите значение выражения х2 - 3х + 2, если х =  + 1.
    1)  --1                2)  + l               3) -1               4)  1 -

Решение.   Подставляя в заданное выражение значение х, получим ( +1)2 -3(+1) + 2 = 2 + 2+ 1 -3*2-3 + 2 = -1 - .

 Ответ: 1.

8. Найдите наименьшее целое число, входящее в область допустимых значений выражения

Решение.  ОДЗ:   3х - 19                     х

                                     х – 7                        х

Следовательно, наименьшим целым числом, входящим в область допустимых значений, является 8.

Ответ: 8.

Попробуй решить сам!

1. Из чисел 2; 3 выберите наибольшее.
2. Какое из данных чисел не равно выражению ?
3. Вычислите: .
4. Упростите выражение: (4
5.  Сократите дробь:
6. Вычислите, исключив иррациональность из знаменателя:
7. Найдите значение выражения 2а2-3аb+2b2, если а=; b =
8. Упростите выражение (х - 7), при х<7

Глава 1. Числа

Тема №7-8.  «Проценты. Задачи на проценты».

Основные сведения

1% — это часть от целого.

Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.

Если х — количество процентов, которое составляет число а от числа  b, то х =

Если числу а соответствует р% (р < 100), а числу х соответствует 100%, то х =.

Формула простого процентного роста (формула простых процентов):

Sn= S(1+),

где Sn — наращённая сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами);

S — исходная сумма;

р% — процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период;

n — число периодов начисления.

Формула сложного процентного роста (формула сложных процентов).        

Sn= S(1+)n,

где  Sn — наращённая сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами);

S — исходная сумма;

р% — процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период;

n — число периодов начисления.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Найдите, сколько процентов составляет число 15 от 125.
                        1) 25%        2) 7%                      3) 15%        4) 12%

Решение.  Пусть число 15 от 125 составляет х процентов. Тогда

15      —    х%

125    —     100%

Из пропорции 15 : 125 = х : 100 находим х =  = 12.

Ответ: 4.

2. Найдите 35% от числа 80.

                                          1)         2)                    3) 28               4) 3,5

Решение. 35% = 0,35. Следовательно, 35% от числа 80 равно 80 • 0,35 = 28.

Ответ: 3.

3. В доме 160 двухкомнатных и 240 трёхкомнатных квартир. Сколько процентов от всех квартир составляют трёхкомнатные?

                            1) 5%        2) 60%                    3) 63,5%        4) 40%

Решение.  Всего в доме квартир 160 + 240 = 400. Пусть х% из них трёхкомнатные. Тогда х = = 60. Трёхкомнатные квартиры составляют 60% от всех квартир.

Ответ: 2.

4. Когда рабочий сделал 2484 детали, то оказалось, что он выполнил 46% месячной нормы. Сколько деталей составляет месячная норма рабочего?

                                      1) 5400        2) 4600        3) 2116        4) 1600

Решение.  Пусть месячная норма составляет х деталей. Тогда
2484 деталей     —    46%
х деталей        —     100%

Из пропорции 2484 : х = 46 : 100 находим х = = 5400; 5400 деталей — месячная норма рабочего.

Ответ: 1.

5. Площадь поля составляет 84 га. В I день вспахали 21 га. Сколько процентов поля не вспахали?

                    1) 50%              2) 75%        3) 40%                 4) 25%

Решение.  Согласно условию, невспаханными остались 84 — 21 = 63 га поля. Пусть эта величина составляет х% поля. Тогда

 84 га     —     100%

 63 га     —     х%

Из пропорции 84 : 63 = 100 : х находим х =  = 75. Следовательно, 75% поля не вспахали.

Ответ: 2.

6. Смешали два раствора соли по 250 г каждый. Концентрация первого раствора 12%, второго — 24%. Какова концентрация полученного раствора?

                                       1) 26%        2) 30%                    3) 60%        4) 18%

Решение. Концентрация первого раствора соли массой 250 г составляет 12%. То есть соли в этом растворе   = 30 (г). Концентрация второго раствора соли массой 250 г составляет 24%. Это означает, что соли в этом растворе = 60 (г). После того как смешали два раствора, в 500 г нового раствора стало содержаться 30 + 60 = 90 (г) соли, что составляет = 18 %.

 Ответ: 4.

7. Найдите отношение 0,28 ц к 140 кг. Ответ выразите в процентах.
               1) 20%        2) 33%               3) 300%              4) 35%
Решение.   1 ц = 100 кг, следовательно, 0,28 ц = 28 кг. Процентное отношение масс равно  = 20%.

Ответ: 1.

8. Клиент открыл в банке счет и положил на срочный вклад 500 тыс. рублей. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет сложные проценты по ставке 30% годовых и дополнительных вложений не поступало.

1) 620 тыс. руб.        2) 560 тыс. руб.

3) 845 тыс. руб.        4) 515 тыс. руб.

Решение. 1-й способ. Сумма в 500 тыс. рублей, положенная на банковский счёт под 30% годовых, через год возрастёт до величины 500 • 1,3 = 650 (тыс. рублей). Так как банк начисляет сложные проценты, то за второй год 30% будет начисляться на сумму 650 тыс. рублей и, следовательно, сумма возрастёт до 650 • 1,3 = 845 (тыс. рублей).

Из предложенных ответов верным является 3).

2-й способ. По формуле сложных процентов получаем S2 = 500 (l + )2   = 500 •  = 845 (тыс.рублей). Из предложенных ответов верным является 3). Ответ: 3.

    Попробуй решить сам!

Вариант № 1

1. Найдите, сколько процентов составляет число 3,78 от 27.

                                       1) 3,78        2) 27             3) 14                 4) 378

2. Найдите 15% от числа 34.

                                        1) 5,1        2) 0,34                  3) 2               4)

3. Рост самого высокого ученика в классе составляет 104% от среднего роста учеников в классе, а рост самого маленького — 92% от среднего роста учеников в классе. Определите, сколько сантиметров составляет рост самого высокого ученика, если рост самого маленького равен 115 см.

                                          1) 125           2) 104        3) 92             4) 130

4. К новогоднему празднику каждому из 48 учеников класса были приготовлены новогодние подарки. Однако на праздник пришли только 36 учеников и забрали свои подарки. На следующий день несколько учеников забрали ещё 75% от оставшихся подарков. Сколько подарков осталось?

                                            1) 84         2) 2           3) 3             4) 12

5. В книге 125 страниц. Петя прочитал 30 страниц. Какой процент от общего числа страниц книги прочитал Петя?

                                             1) 30          2) 15               3) 24        4) 20

6. В ювелирном изделии содержание золота составляет 75% от общей массы изделия. Сколько граммов золота содержится в изделии, если его общая масса равна 4 г?

                                                1) 1             2) 2                         3) 3                   4) 4

7. Стоимость одной тетради в магазине увеличилась на 10%, а затем в связи с уценкой уменьшилась на 10%. Сколько рублей стала стоить тетрадь после уценки, если её первоначальная стоимость составляла 26 рублей?

                                              1) 25,74        2) 16                   3) 26              4) 23,4

8. Стоимость обучения на подготовительных курсах увеличилась в 1,7 раза. На сколько процентов возросла стоимость обучения относительно первоначальной?

                                             1) 1,7                2) 70        3) 30             4) 170

Вариант № 2

1. Найдите 15% от числа 220.

                               1) 15        2) 33        3) 330               4) 22

2. В двух ящиках 75 кг яблок. В первом ящике 48% всех яблок. Сколько килограммов яблок во втором ящике?

                             1) 36        2) 45           3) 39               4) другой ответ

3. Из молока можно получить творог, масса которого составляет 10% от массы молока. Сколько килограммов творога получится из 15 кг молока?

                              1) 10        2) 1,5        3) 5        4) 16,5

4. Найдите число, если 17% его равны произведению чисел 6,8 • 102 и 0,21.

                              1)0,84        2)840           3)525        4)84

5. Определите длину пути, равную 27% от 0,2 км. Ответ запишите в метрах.

                                1) 0,054                 2) 54        3) 5,4             4) 540

6. В сплаве меди и цинка содержится 12% меди. Масса сплава 1200 г. Сколько в смеси цинка (в г)?

              1) 956        2) 1056        3) 144                          4) 1000  

7. В городе N половину всех зданий составляют одноэтажные строения, 85% из которых являются жилыми домами. Известно, что  всех неодноэтажных строений города N газифицировано. Чего в городе N больше — одноэтажных жилых домов или газифицированных неодноэтажных строений?

1) одноэтажных жилых домов

2) газифицированных неодноэтажных строений

3) поровну тех и других

4) для сравнения не хватает данных

8. Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9-м классе представили в виде диаграммы (см. рис. 2). Сколько учащихся получили отметку «3», если всего работу писали 350 девятиклассников?

1) 113 учащихся        2) 123 учащихся

3) 133 учащихся        4) 143 учащихся

Решите задачи:

1. Средний рост девочек тою же возраста, что и Тома, равен 150 см. Рост Томы на 8% выше среднего. Какой росту Томы?

2. Детёныш кенгуру может прыгнуть в высоту на 1,44 м, что составляет 75% от высоты прыжка его отца. Какова высота (в сантиметрах) прыжка взрослого кенгуру?

3. В два магазина завезли одинаковое количество порций мороженого. К концу рабочего дня в первом магазине число порций мороженого уменьшилось на 50%, а во втором — в полтора раза. В каком магазине осталось больше порций мороженого?

4. В зоомагазине в двух аквариумах было одинаковое количество хомячков. Через 2 месяца в первом аквариуме число хомячков увеличилось на 60%, а во втором — в 1,6 раза. В каком аквариуме хомячков стало больше?

5. На первом складе готовой продукции было в 2 раза больше комплектов мебели, чем на втором. Через неделю на обоих складах стало мебели поровну. На сколько процентов увеличилось количество продукции на втором складе, если на первом оно осталось без изменений?

6. Спортсмен после серии тренировок улучшил свой результат на 0,25 от исходного результата. На сколько процентов спортсмен улучшил результат?

7. За две недели октября средняя дневная температура воздуха понизилась на 30%. Какой она стала, если была 20°С?

8. Сколько литров воды нужно взять, чтобы из 200 г соли приготовить 5%-ный раствор? (Масса 1 литра воды равна 1 кг.)

9. Мотоциклист преодолевает расстояние S км за 10,5 ч. На сколько процентов следует увеличить его скорость, чтобы то же расстояние он преодолел за 8 ч 24 мин?

10. В походе приняли участие 20 девочек и 60 мальчиков. Сколько процентов мальчиков по отношению к общему количеству ребят участвовало в походе?

Глава 2. Буквенные выражения.

Тема 1. Буквенные выражения.                                                                                        Область допустимых значений буквенного выражения

Основные сведения

Алгебраическим (буквенным) выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, извлечения корня и возведения в целую степень, а также скобками, определяющими порядок выполнения действий. Количество величин, входящих в алгебраическое выражение, должно быть конечным.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Если соответственные значения двух выражений с одинаковой областью определения, содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то выражения называют тождественно равными.

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

Демонстрационный вариант

1. Даны выражения:

              A)              Б)               В)         

Какие из выражений не имеют смысла при b =  - 6?

                1) А; В        2) только Б             3) Б; В                   4) только В

Решение.  Каждое из предложенных выражений не имеет смысла в случае, когда знаменатель дроби, входящей в выражение, обращается в ноль. При b =  - 6 в ноль обращается знаменатель в выражениях Б и В.

Ответ: 3.

2. Из выражений а)        b) ;        с) ;        d)

выберите те, которые имеют смысл при любом значении n.
                 1) b        2) a; b                           3) b; d                      4) b; с

Решение.   Выражение а не имеет смысла при n = 0; выражение b имеет смысл при любых значениях n; выражение с не имеет смысла при n = -2; выражение d не имеет смысла при  n = 0.

Ответ: 1.

3. Укажите все значения с, при которых выражение  не имеет смысла.

                              1) 3             2) 0; 3                3) 1           4) 0; 1

Решение. Заданное выражение не имеет смысла, когда с(с - 1) = 0, то есть с = 0 или с = 1. Ответ: 4.

4. Какая пара чисел является недопустимой для дроби

                        1) (-2;1)        2) (2;-1)        3){-; l)        4) (; l)

Решение. Для данной дроби недопустимыми являются числа, при которых знаменатель дроби обращается в 0. Подставляя в выражение 2х — у соответствующие значения из предложенных пар чисел, получаем, что только при х = , у = 1 выражение не имеет смысла.

Ответ: 4.

5. При каких значениях х дробь     не имеет смысла?

Решение. Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю. Следовательно, заданное выражение не имеет смысла при х = — 6 и х = 6.

Ответ: -6; 6.

6. Найдите все допустимые значения у для дроби

              1) у2            2)у±3              3) y2, y3                     4)у0, у                                                                           Решение. Допустимыми значениями у является всё множество R за исключением тех значений у, при которых знаменатель дроби обращается в 0. Из уравнения 3(у - 2) (у2 + 9) = 0 находим у = 2. Следовательно, заданное выражение имеет смысл при у  2.

Ответ: 1.

7. Найдите числа, при которых знаменатель дроби равен 0.
                                   1)0              2)-3        3)3        4) таких чисел нет

Решение.  Решим уравнение х2 + 6х + 9 = 0; (х + 3)2 = 0; х = —3.

Ответ: 2.

8. Соотнесите каждое выражение

                           А) ;       Б)         B) с областью его определения.

                     1) х 2     2) любое число     3) х  8, х  0     4) х 0, х 2

Решение. Областью определения выражения А является множество R за исключением значений х, при которых х2 — 8х = 0. Следовательно, выражение определено при х  8 и х  0, что соответствует ответу 3). Областью определения выражения Б является всё множество R (знаменатель данного выражения всегда положителен), что соответствует ответу 2). Областью определения выражения В является множество R за исключением значений х, при которых знаменатель 4х - 8 = 0. Следовательно, выражение определено при х  2, что соответствует ответу 1).

Ответ:

Попробуй решить сам!

1. Даны выражения:

                  А)                        Б)                     B)   

Какие из этих выражений не имеют смысла при t = — 1?

                              1) только А        2) А; Б; В        3) А; Б                          4) Б; В

2. Из выражений

        a =           b =             c =            d =  

выберите те, которые имеют смысл для всех t > 0.

                                   l)  a,b                 2) b,d             3) с                4) а, b, d

3. Укажите все значения a, при которых выражение         не имеет смысла.

                          1) а = 0        2) а = 3;  a = 2                    3) а 3        4) а  2

4. Укажите все значения b, при которых равенство  не имеет смысла.

                     1) b=1           2) b = 0        3) b = 1; b = 0                  4) b >1

5. При каких значениях х дробь  не имеет смысла?

6. Найдите допустимые значения х для дроби

                        1) x - 5                          2)  х- 2;  х3

                        3) х-5; х 3                 4)  х-2; х-5

7. Найдите числа, при которых знаменатель дроби  равен 0.

                              1) 1        2) ±1              3) -1        4) таких чисел нет

8. Соотнесите каждое выражение

A)  ;        Б)                   B)   с его областью определения.

           1) любое число       2) х  0; х  2       3) х  0,5       4) х  0

Ответ:

Глава 2. Буквенные выражения.

Тема №2. Преобразование алгебраических выражений.

Основные сведения

Алгебраическим (буквенным) выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, извлечения корня и возведения в целую степень; а также скобки, определяющие порядок выполнения действий.

Если вместо всех букв, входящих в алгебраическое выражение, подставить некоторые числа и выполнить действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

        Демонстрационный вариант

1. Найдите значение выражения 1,2 -  • а при a = 0,12.
                       1) 1,1        2) 2        3) -8,8           4) 0

Решение.  Подставим в заданное выражение значение а =  0,12. Получим 1,2 - • 0,12 = 1,2 - 5 • 0,02 = 1,2 - 0,1 = 1,1.

1). Ответ: 1.

2. Из формулы второго закона Ньютона a =  выразите силу F.

                                  1) F=          2) F=          3)F = ma          4) F =

Решение.   Умножив обе части заданного равенства на  т, получим

Отсюда F = та.

3). Ответ: 3.

3.        Путь S(t) в метрах, который автомобиль проезжает за t секунд, вычисляется по формуле S(t) = 2t2 + 5. За сколько секунд автомобиль проедет 55 м?

1) 25        2) 5        3) 15        4) 10

Решение. Согласно условию задачи, необходимо найти время  to, за которое автомобиль пройдёт путь S(to) = 55.

Следовательно, 2(to)2 + 5 = 55. Отсюда, учитывая, что to > 0, находим to = 5.

Ответ: 2.

4. Соотнесите площадь заштрихованной фигуры с соответствующей формулой (см. рис.).

1)                    2) x2 – xy + y2                      3) x2 + y               4) xy – y2

Решение.  Найдём площадь каждой из предложенных фигур.

Площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке  А, можно найти как разность площади квадрата со стороной х и прямоугольника со сторонами у и х—у. Эта площадь х2—у(х—у) = х2—ху+у2 соответствует формуле 2).

Площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке Б, равна половине площади

квадрата со стороной х. Эта площадь  • х2  соответствует формуле 1).

Ответ:

Площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке В, равна площади прямоугольника со сторонами у и х — у. Эта площадь у(х — у) = ху — у2 соответствует формуле 4).

5.     Площадь  правильного треугольника  вычисляется  по  формуле S = , где S — площадь треугольника, a — сторона треугольника. Во сколько раз площадь правильного треугольника будет больше при а = 6, чем при а = 3?

                                                     1) 9        2) 2        3) 3        4) 4

Решение.    Обозначим S1 — площадь треугольника со стороной a1= 6,  S2 — площадь треугольника со стороной а2 = 3.  Тогда, согласно условию задачи, необходимо найти отношение S1 : S2.

S1 : S2 = = =

Ответ: 4.

6. Из равенства а +  = 2(b - а) выразите b.

                            1) b = 3a        2)  b = 2а-        3)  b= 1,8а        4) b = 9а

Решение.        3a + b = 6(b –a);  3a + b = 6b – 6a; 5b = 9a; d =1,8a.

Ответ: 3.

7. Турист прошёл 2 км пешком и проехал на автобусе t часов со скоростью 50 км/ч. Какой путь S проделал турист?

              1) S = 2t + 50        2) S = 2 + 50t              3) S = 2 +                  4)  S= (t + 2)*50

Решение. Общий путь S, который преодолел турист, складывается из пути, который он проделал пешком — 2 км, и пути, который он проехал на автобусе — 50 • t Следовательно, S = 2 + 50t.

Ответ: 2.

8. У Оли х открыток, у Тани у открыток, у Кати z открыток. Когда Оля и Катя сложили свои открытки вместе, оказалось, что их в 2 раза больше, чем у Тани. Какое из буквенных выражений, представленных ниже, соответствует описанному условию?

                    1) х - у = 2z        2) x + z = 2y     3)  2x - y = z        4)  2z - x = y                                                       Решение. Согласно условию задачи, у Оли и Кати всего x+z открыток, что в два раза больше у — числа открыток Тани. То есть х + z = 2у.

 Ответ: 2.

Попробуй решить сам!

1. Найдите значение выражения + 2,3 при a = 1,2.

               1) 3,8                 2) 2,3              3)  -0,8             4)  -2,75

2. Из формулы нахождения площади треугольника S = ,  где a — длина основания треугольника, h — высота треугольника, выразите высоту h.

               1)   h =                     2) h =                   3) h =                     4) h =2Sa

3. Формула для вычисления прибыли от продажи товара имеет вид Р = О - С, где С — закупочная стоимость товара, О — отпускная стоимость товара. По какой цене нужно отпустить (продать) товар, приобретённый по цене 12360 руб., чтобы получить прибыль 3240 руб.?

               1) 9120 руб.       2) 15600 руб.       3) 6180 руб.       4) 7800 руб.

4. Соотнесите площадь S фигуры, изображённой на рисунке 13, с формулой.

5. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле S = , где а — длина стороны шестиугольника. Во сколько раз длина стороны первого шестиугольника больше длины стороны второго шестиугольника, если S1 = 40,96; S2 = 10,24?

                              1) 0,5        2) 2                  3) 0,25                      4) 4

6. Из равенства 3а – 5b = выразите а.

1) а = 5b(b+1)                   2) a =       3) а =                 4) a =

7. Задуманное число сначала увеличили в 3 раза, затем добавили к нему а и полученное число разделили на сумму чисел b и а. В результате получили число с. Составьте выражение для нахождения задуманного числа, обозначив его буквой d.

   1)  d =            2) d =          3) d =         4) d =

8. Собственная скорость катера — vK км/ч, а скорость течения реки — vp км/ч. За какое время катер пройдёт путь от причала A до причала В и обратно, если расстояние между причалами равно S км? Составьте по условию задачи буквенное выражение для нахождения искомого времени, обозначив его буквой t

                     1) t =                     2) t =

                     3)  t = 2S ()              4) t =

Глава 2. Буквенные выражения.

Тема №3.   «Многочлены. Преобразование выражений»

Основные сведения

Одночленом называют выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения.  Одночлен называется представленным в стандартном виде, если он записан в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.

Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и нет подобных слагаемых, то говорят, что это многочлен стандартного вида.

Формулы преобразования многочленов.

Для любых а, b и с верны следующие равенства:

 l. a2-b2 = (a - b)(a + b);

2. (а + b)2 = а2 + 2аb + b2;

3. (а - b)2 = а2 - 2аb + b2;

4. (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3;

5. (а - b)3 = а3 - 3а2b + 3аb2 - b3;

6. a3 + b3 = (а + b){а2 -ab + b2);

7. a3- b3 = (a - b){a2 + ab + b2);

8. ах2 + bx + c = a(x — x1)(x - x2), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 +bx + с = 0.

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

Демонстрационный вариант

1. Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению

(х - 4)(1- у)?

                             1) -(4 - х)(у - 1)                 2) -(х - 4)(1 - у)

                             3) -(x - 4)(у - 1)                 4) (4 - у)(х - 1)

Решение.  Рассмотрим каждое из предложенных выражений.

1) -(4 - х)(у - 1) = -(-(x - 4))(-(1 - у)) = -(х - 4)(1 - у) не равно тождественно (х - 4)(1 - у).

2) -(х - 4)(1 - у) не равно тождественно (х — 4)(1 - у).

3) -(х - 4)(у-1) = -(х - 4)(-(1- у)) = (х - 4)(1- у) тождественно равно (х - 4)(1 - у).

4) (4 - у)(х — 1) = 4х - ух + 4х - 4 не равно тождественно (х - 4)(1 - у) = х - ху + 4у - 4.

Ответ: 3.

2. Упростите выражение (3 - 4а)2 + 8а(3 - 2а).

                    1)9        2) - 48а - 32а2                      3) 9 - 32а2                     4) 9 - 48а

Решение.

(3-4а)2+8а(3-2а) = 32-2*3*4а+(4а)2+3*8а - 2а*8а =  9 - 24а + 16а2 + 24а - 16а2 = 9.

 Ответ: 1.

3. Найдите числовое значение многочлена 3х2 — 7ху -1- 4у2 при х = 2, y = -1.

                     1) -4                 2) 2        3) 30                4) -2

Решение.  3х2 — 7ху + 4у2 = (3х2 - 3ху) - (4ху - 4у2) = = 3х(х - у) - 4у(х - у) = (х - у)(3х - 4у).

Подставляя в полученное выражение значения х = 2, у = —1, получим (2 - (-1))(3 • 2 - 4 •

(-1)) = 3 • (6 + 4) = 3 • 10 = 30.

Ответ: 3.

4. Приведите выражение у{у - 9) - (3 - 2у)2 к многочлену стандартного вида.

            1) 5у2 + 3у - 9          2) 5у2 - 21у - 9           3) -3у2 + 3у - 9          4) у - 9

Решение. у(у - 9) - (3 - 2у)2 = у2 - 9у - (9 - 12у + 4у2) = = у2 - 9у - 9 + 12у - 4у2 = -3у2 + 3у - 9. Ответ: 3.

5. Упростите выражение А- В, если А = (х- 2у)(х + 2y);
В = х2 - 4ху + 5у2.

         1) 9у2 + 4ху      2) 2х2 - 9у2 + 4ху      3) -5у2      4) 4ху - 9у2                                          Решение.  По формуле сокращённого умножения А = (х - 2у)(х + 2у) = х2 - 4у2.

Следовательно, А - В = х2 - 4у2 - (х2 - 4ху + 5у2) = = х2 - 4у2 - х2 + 4ху - 5у2 = 4ху - 9у2. Ответ: 4.

6. Выполните умножение многочленов: (а + 2)(а2 - 2а + 4).
                     1)а3 + 16        2) а3+ 8        3) а3 + 2а2 + 8                 4) а3 - 8
Решение.  По формуле сокращённого умножения а3 + b3 = (а + b) (а2 - аb + b2) заданное выражение (а + 2)(а2 - 2а + 4) = а3 + 23 = а3 + 8.

Ответ: 2.

7. Разложите многочлен 5х2 - 5у2 - ax + ay на линейные множители.

                      1) (5 - а)(х - у)                                      2)(x2 - у2)(5 - а)

                      3) (х + у)(5x - 5у - а)                     4) (x - у)(5х + 5y - а)

Решение.  5х2 - 5у2 - ах + ау = 5(х2 - у2) - а(х — у) = 5(х-у)(х+у)-а(х-у) = (х-у)(5(х+у)-а) =   (x-у)(5х+5у-а).

Ответ: 4.

8. Соотнесите каждое выражение

  A}                      Б)                В} с тождественно равным ему выражением:

Решение.  Преобразуем каждое из заданных выражений.

A) . Это выражение тождественно равно выражению 1).

Б)  . Это выражение тождественно равно выражению 3).

B) . Это выражение тождественно равно выражению 4).

Ответ:

Попробуй решить сам!

1. Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению (4 - х)(х - 1)?

                            1) (х - 4)(1 - х)                       2) -(х - 4)(1 - х)

                            3) (4 - x)(1- х)                       4) (х - 4)(x - 1)

2. Упростите выражение x2 - 4 - (х + 1)(х - 4).

                 1) 3х-8        2) 3х           3) 2х2 + 3х              4) 2х2 - 8

3. Найдите числовое значение многочлена 4а2 - 12аb + 9b2 при а = 1,25; b= -2,5.

                   1) 100             2) -1,25                3) 25        4) 4,5

4. Пусть а = 5х2 + 3ху - 1, b = 2х2 + 10, с = х(у - х). Составьте выражение 2а – 3b + с и приведите его к стандартному виду.

                                  1) 3х2 + 7ху - 32                  2) 13х2 - 8ху - 30
                                 3) 6х2 + 4ху + 9                   4) 7х2 + 3ху + 9

5. Выполните умножение многочленов 3(7а2b - a3)(ab2 - b3) и полученное выражение приведите к стандартному виду.

1) 24а3b3 - 24а4b2                          2) - 3а4b2 - 21а2b4

3) 24а3b3 - 3а4b2 - 21а2b4              4) За9b9

6. Разложите многочлен 121 - (t - 8)2 на линейные множители.

1) (3 - t)(3 - t)                           2) (11 - t)(t - 8)

3) (57 - t)(57 - t)                       4) (19 - t) (3 + t)

7. Замените буквы А, Б и В одночленами так, чтобы выполнялось равенство (5х3 - А)2 = Б - 30х3у2 + В.

                 1) А = 30у2; Б = 5х2; В = 30у2

                 2) А = 6у2; Б = 25х3; В = 36у4

                 3) А = -3у; Б = 25х5; В = 9у2

                 4) А = 3у2;Б = 25х6;В = 9у4

8. Соотнесите, какой из многочленов

   А) 4х2 + 5у2;     Б) 4х2 - у2;     В) (х + у)(4х - у)  в сумме с многочленом (х — у)2 даёт многочлен

1) 5х2 + 6у2 - 2ху                     2) 5х2 + ху

3) 5х2 - 2ху                                 4) 5х2 + 4у2

Ответ:

Глава 2. Буквенные выражения.

Тема №4-5.   «Алгебраические дроби.

Преобразования рациональных выражений»

Основные сведения

Основное свойство дроби: , 

Действия с дробями (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Представьте выражение 2х + в виде дроби.

Решение. 2х +  =

Ответ: .

2. Запишите алгебраическую дробь, числитель которой равен квадрату разности чисел т и п, а знаменатель — удвоенной разности этих чисел.

1)  (т + n)2       2) (m - n)2       3)  (m - n)2       4)  m2 -n2
    2m + 2n                 2mn               2(m - n)                2{m - n)

Решение. Выражение «квадрат разности чисел т и n» записывается в виде (m — n)2 — числитель дроби. Запись выражения «удвоенная разность чисел т и п» имеет вид 2(т — п) — знаменатель дроби.

Ответ: 3.

3. Найдите, при каком значении х пропорция  - верна (с,

                        1) 30cd3           2) 6cd                    3) 5d2                     4) 5cd

Решение.  По условию пропорция верна, значит,

x =

 Ответ: 1.

4. Найдите общий знаменатель дробей      

1)(а + 2)(а - 2)                               2) (а - 2)(а + 2)2

3) а2- 4                                                       4)(а + 2)2

Решение.         

Ответ: 2.

5. Выполните вычитание дробей:

1)                   2) -             3)                  4) -

Решение  

Ответ: 4.

6. Выполните деление дробей:  

1)                         2)

3)                          4)

Решение.

Ответ.2.

7. Упростите выражение  и найдите его значение при х=-2 и у=3.

Решение. =

Подставляя в полученное выражение значения, получим  -2(-2 - 3)=10.

Ответ 10.

8. Упростите выражение

Решение.  =  

Ответ: xy.

Попробуй решить сам!

1. Представьте выражения ; 3х -  в виде дроби.
2. Сократите дроби ;
3. Упростите выражение: (2х + y)(4x2 - 2xy + y2) - y2(y - 1) - 7x3
4. Найдите общий знаменатель дробей     
5. Выполните сложение дробей:
6. Выполните деление дробей:  
7. Упростите выражение:
8. Упростите выражение
9. Какое из равенств является верным для допустимого значения х?

                    1)  =                  2)

                    3)                   4)  

      10. Сократите дробь:

Глава 3. Уравнения. Системы уравнений

Тема №1.   «Уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Линейные и квадратные уравнения»                                                

                                          Основные сведения

Линейное уравнение. Уравнение вида ах + b = 0, где а и b — некоторые числа, х — переменная, называется линейным. Решением линейного уравнения такого вида является:

при а 0, bR,  х = ;

при а = 0, b = 0,  хR;

при а = 0, b  xø

Квадратное уравнение.        

Уравнение вида ах2 +bx+с = 0,  а  0 называется квадратным уравнением.

Дискриминант D = b2 — 4ас.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня:

Если D > 0 и b — чётное, то корни квадратного уравнения могут быть вычислены по формуле

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень х = . Если D < 0, то действительных корней нет.

Уравнение вида х2 + рх + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Дискриминант D = р2 — 4q. При D > 0 корни этого уравнения можно найти по формулам  х1=  x2 =  При D = 0 х = .

Неполные квадратные уравнения.

1) ах2 + bх = 0, b  0;  х1 = 0, х2 = -.

2) ах2 + c = 0, ac < 0;  х1 = -, х2 = .

3) ax2 =0,  x=0

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Если а + b + с = 0, то x1 = 1, х2 = .

Если а + с = b (или, что то же самое, а - b + с = 0), то х1 = -1, х2 = - .

Формулы Виета.

Если х1,  х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то x1+x2= - ;   x1=

Для уравнения вида х2 + рх + q = 0

х1+х2 = -р,  х1х2 = q

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Если D > 0, то ах2 + bх + с = а(х — x1)(x — х2), (x1, х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0.)

Если D = 0, то ах2 +bх + с = а(х – x1)2, (x1 — корень уравнения ах2 + bх + с = 0.)

Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.

1. Найдите корни уравнения 5х2 — 16х + 3 = 0.

                      1) ; 3                2) -; -3                 3) -;3                 4) ;-3

Решение. Так как коэффициент при х — чётный, то корни уравнения:

x1=

x2 =

 Ответ: 1.

2.   Составьте приведённое квадратное уравнение,  корни которого x1 = -7; х2 = -1.

1) х2 + 8х + 7 = 0        3) х2 - 8х - 7 = 0        

2) х2 - 8х + 7 = 0         4) х2 + 8х - 7 = 0

Решение.  Так как приведённое квадратное уравнение имеет вид х2 + рх + q = 0 и х1 и x2 его корни, то по формулам Виета p= -(x1+x2) = -(-7+(- l)) = 8; q = x1-x2 = -7{-1) = 7. Значит, х2 + 8х + 7 = 0 — искомое уравнение.

Ответ: 1.

 3. Решите уравнение -х2 + 2 = х + 2.

Решение. -х2+2 = х+2; х2+х = 0; х(х+1) = 0. Корни уравнения -1; 0.

4. Решите уравнение

Умножив обе части уравнения на 4, получим 10 - 2х + 4 = 3х – 1, 5х = 15, х = 3.

Ответ: 3.

5. Разложите квадратный трёхчлен 5х2 + 2х - 3 на множители.

Решение.   Решая уравнение 5х2 + 2х — 3 = 0, находим х1 = - 1, х2 = . По формуле разложения квадратного трёхчлена  получаем 5х2 + 2х - 3 = 5(х + 1)(х - )=

= (х + 1)(5х - 3).

6. Упростите выражение   

Решение.  Учитывая, что х , получаем

7. При каких значениях х сумма дробей      и  равна 5?

              1) -6; 5             2) -5; 6                    3) -3; 1             4) -6; -5

Решение.  Задача сводится к решению уравнения    + = 5, при условии х

Умножим обе части уравнения на (х+3)(х—3). Учитывая, что х 3и  х , получим (2х - 2)(х - 3) + (х+3)2 = 5(х2-9), х2+х - 30 = 0. Корни уравнения х1 = -6, х2 = 5.

Ответ: 1.

8. Соотнесите каждое квадратное уравнение

А) х2 - 9 = 0;      Б) 2х - х2 = 0;      В) х2 - 3х - 4 = 0

и его корни:

                   1) 0; 2        2) -3; 3           3) -1; 4            4) - 4; 1

Решение. Из уравнения А получаем х2 = 9, х=

                 Из уравнения Б следует х(2 - х) = 0, х=2;0

                 Из уравнения В следует (х + 1)(х - 4) = 0,  х = -1, х = 4.

Попробуй решить сам!

1. Найдите корни уравнения 3х2 + 5х - 2 = 0.

                            1) 2; -           2) -2;         3) ; 1             4) -; -1

2. Найдите дискриминант уравнения 15х2 - 8х +1 = 0.

                             1) 124       2) 4       3) 76       4) 49

3. Решите уравнение х2 - 2х - 3 = 0.

4. При каком значении с значения двучленов 23с2 + 6с и 13с2 + 16с равны?

5. Какое выражение надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство

 х2 + 19х - 42 = (х - 2)( ... )?

                         1) х - 21        2) х + 21        3) х + 17        4) х -17

6. Найдите сумму корней уравнения  0,7х + 14х2 = 0.         

7. При каком значении параметра b уравнение (b + 5)х2 + (2b + 10)х + 4 = 0 имеет только один корень?

8. Не решая уравнение, определите, сколько оно имеет корней. Соотнесите уравнения с ответами.

                             А)2х2 + 3х + 5 = 0                       Б)х2-7х + 8 = 0                В) 4х2 + 4х + 1 = 0

1) нет действит. корней        2) два корня                3) один корень

Глава 3. Уравнения. Системы уравнений

               Тема №2.   «Дробно-рациональные уравнения»                                                

Основные сведения

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:

I способ

1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.

II способ

 1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних            членов равно произведению средних.                                                                                                                2. Решить полученное целое уравнение.                                                                                                     3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.                                    4. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Решить получившееся целое уравнение.
4. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.          
5. Записать ответ.

Попробуй решить сам!