Различные способы решения задач с параметрами.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Различные способы решения задач с параметрами.

     Общих методов решения задач , в которых присутствуют числовые параметры ,не существует. В каждом конкретном случае подход к их решению выбирается исходя из структуры задания. Но во всех случаях необходим анализ полученного решения в зависимости от конкретного значения параметра.

    Если требуется решить уравнение, неравенство или их систему, содержащие параметр, то необходимо выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет решение и для всех таких значений параметра найти все решения. Если хотя бы одно значение параметра не исследовано, то решение задачи не считается полным.

     В основу решения задач с параметром может быть положен следующий принцип: значение параметра считается произвольно фиксированным и затем ищется решение  задачи так, как мы это делаем, решая уравнение или неравенство с одним неизвестным. Ответом должно быть перечисление решений для каждого допустимого значения параметра, что требует проведения исследования.

     Для проведения исследования множество значений параметра по некоторому признаку разбивают на подмножества и затем решают заданное уравнение или неравенство на каждом  из этих подмножеств. Множество значений параметра разбивают на подмножества теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.

     Существуют различные способы решения задач с параметром. Наиболее часто используются алгебраический, графический, с помощью производной.

Алгебраический способ решения задач с параметром.

Алгоритм исследования линейного уравнения       ax=b

1)   а0               один корень  х=

2)  а=0   и    b=0 , тогда получаем уравнение  0х=0, которое имеет бесконечное множество решений, то есть хR.

3)   а=0 и b0, тогда получаем уравнение 0х=b, которое не имеет корней.

Задача1.   Решить уравнение    а2х=а(х+2) – 2

 Решение.   Преобразуем уравнение:

       а2х = ах + 2а – 2

       а2х  - ах = 2а – 2

       а( а - 1) х = 2(а – 1)6

Исследуем это уравнение при различных значениях параметра а:

1. а 0 и а 1 , тогда уравнение линейно относительно х и имеет единственное решение х = =.
2. а = 0, получаем уравнение 0х = -2, которое не имеет корней.
3. а = 1, получаем уравнение 0х = 0 , которое имеет бесконечное множество решений.

          Ответ : если а 0 и а 1, то х = ,

                       если а = 0 , то корней нет,

                       если а = 1, то х  R.

Задача 2.  Решить неравенство  

Решение.

Перепишем неравенство в виде  . Оно линейно относительно х.

Область допустимых значений параметра   а

Рассмотрим все возможные случаи.

1). >0.    Решаем это неравенство, получаем   а

При таких значениях параметра  а   х  .

2). <0.   Решая это неравенство получаем   а. При таких значениях параметра  а  х .

3).      Это равенство выполняется при а=0. При таких значениях параметра а получаем неравенство  0х0, которое имеет бесконечное множество решений.

       Ответ :         Если   а, то х0 ;

                             Если  а, то х 0 ;

                             Если  а = 0, то х

Задача 3.        Найти все те значения параметра  а, при которых независимо от выбора параметра  b, уравнение    ( b – 2)х = а + 3b  имеет решение.

Решение.  

Если b2, то данное уравнение имеет единственное решение   х = .

Значит решения может не быть только при b=2.  При таком значении параметра b уравнение принимает вид   0х = а+6.   Данное уравнение при  а решений не имеет. Но если же а = -6, то решением неравенства является любое число.

   Ответ: а = -6

Задача 4.  Решить уравнение   :    ах2 + ( а – 3 )х + 1 = 0 для всех действительных значений параметра а.

Решение.  

1. При а=0 уравнение линейно относительно х и имеет единственное решение:

-3х+1=0

х=

2. При а0 уравнение будет квадратным.

Д=(а-3)-4а =а-10а+9=(а-1)(а-9).

а) Если а>9 или а<1, но а≠0, то Д>0 и уравнение имеет 2 решения

х=

б) Если а=9 или а=1, то Д=0 и уравнение имеет единственное решение

х=1 при а=1 и х= при а=9

в)  Если 1<а<9, то действительных корней нет.

Ответ: 1) х=, если а=0

2.  х=1, если а= 1
3. х=, если а=9
4. х= , если а
5. Корней нет, если а

Задача 5. При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2+2(а + 3) – 3(а + 3) = 0

имеет более одного корня?

Решение.

Рассмотрим три случая.

1).   а  и   а-3

При таких значениях параметра а уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение имеет более одного корня ( 2 различных ), когда дискриминант  Д>0.

Д = 4 ( а +3 )2 + 12а ( а + 3 )2 = 4 ( а + 3 )2( 1 + 3а ) >0.

Решая данное неравенство методом интервалов получаем ано так как а, то получаем, что а.

2).  а = 0.  Тогда данное уравнение принимает вид 6х – 9 = 0  и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

3).  а= -3. Получаем уравнение  0х2  + 0х + 0 = 0, которое имеет бесконечное множество решений, что удовлетворяет условию задачи.

  Ответ:   при а ; а = - 3.

Задача 6.    Решить неравенство:        > 0

Рассмотрим 3 случая :    а< 0,   а=0,    а>0.

1).   Если а=0, то неравенство примет вид  >0.   Это неравенство верно при любых значениях х.

Если а 0, тогда заменим    = t.   Преобразуем заданное неравенство и сделаем замену.   Получаем      >0

                                   >0,

                                    16t2-65t +4 >0?

                                  D= 4225 – 256 =3969?

                                   t1=     t2 = 4,

                                   t< t>4

Значит данное неравенство выполняется, если < или >4

2) Если a<0, то а< верно при любом х, а >4  решений не имеет.

Значит при а<0 данное неравенство верно  при любом х.

4. Если а>0, то из неравенства < получаем  <?

                                                                   <

                                x<,

Из второго неравенства  >4 получаем  4х>,

                                                                            x>log4

Ответ:  Если  , то ,

             Если   a>0, то х

Графический способ решения задач с параметром.

Задача7.  Найдите число решений уравнения =а в зависимости от параметра а.

Решение. Построим график функции у=

 Уравнение имеет столько решений, сколько раз прямая у=а пересекает график функции у=

1. Если а<0, то решений нет, так как прямая у=а  не пересекает график функции.
2. Если а=0, то решений два, так как прямая у=а касается графика функции в точках А и В.
3. Если 0<а<4, то решений четыре ( точки М, N, P, Q )
4. Если а=4, то решений три ( точки Е, К, Д )
5. Если а>4, то решений два ( точки S иT )

Ответ :  1)   если а<0, решений нет,

2. если а=0 или а>4 – два решения,

3. если а<4 - четыре решения,
4. если а=4 – три решения.

Задача 8.  Для каждого значения параметра а определите число решений уравнения

      Решение.

Преобразуем левую часть уравнения:  

Строим схематически график левой части уравнения, учитывая, что Д=>0

Проводим горизонтальные прямые, являющиеся графиками функции  у=а+3 при различных значениях параметра а.

1. Если а+3<0, то есть а<-3, то решений нет, так как прямая  у=а+3 не пересекает график левой частим уравнения.
2. Если а+3=0, то есть а= -3, то решений два, так как будет две точки пересечения.
3. Если 0<а+3<а, то решений будет четыре.

Решим неравенство 0<а+3<а

4. Если а+3=ато а- а - 2=0, а = - 1, а=2, то решений будет четыре.
5. Если а+3>а+1 , то а- а - 2<0,    -1<а<2. то решений будет два.

Ответ:         1) Если а<-3, то решений нет.

2. Если а = - 3 или -1<а<2, то 2 решения.
3. Если а>2 или -3<а<-1, то 4 решения.
4. Если а = -1 или а=2, то 3 решения.

Решение задач с параметром методом симметрии.

Задача 9.   При каких значениях параметра а уравнение  аcosx - x= 5 имеет единственный корень?

Решение.

acosx - x-5 = 0

Рассмотрим функцию f(x)=acosx - x- 5

Она четная, так как f(-x)=acos(-x) – (-x)- 5= acosx - x- 5=f(x)

Значит график этой функции симметричен относительно оси ординат. Получается, если корень только один ,то он обязательно равен 0 ( так как если х – корень, то и –х тоже будет являться корнем из-за симметричности графика)

Проверим, является ли х=0 корнем данного уравнения: аcos0 – 0 – 5=0, а =5.

х=0 необходимое, но не достаточное условие.

Проверим , есть ли при а=5 ещё корни у данного уравнения.

                                  5cosx - x-5=0

Решаем это уравнение методом оценивания границ.

                                    5           ( 1 )

                                     -5,              5+x≥5

Значит, равенство (1) будет  выполняться только в том случае , если обе его части равны 5.

                  Подставим х=0 в первое уравнение этой системы, получаем верное числовое равенство cos0=1, значит х=0 является корнем заданного уравнения, то есть это уравнение имеет единственный корень.

                                                   Ответ:  при а=5

Решение задач с параметром с помощью производной.

Задача 10.  При каких действительных значениях параметра в уравнение

                        имеет решение ?

Решение.

Найдём область определения уравнения:   ,      ,   2≤х≤7

Рассмотрим на отрезке  [2; 7] функцию f(x)= и выясним, какие значения она может принимать ( наибольшее, наименьшее).

  Найдём производную:  f'(х)=

Найдём стационарные точки.

2

Найдём значение функции f(x) в точке х= и на концах отрезка

f(2)=,         f(7)= ,  f=

f(x)  непрерывна на отрезке , значит её наименьшее значение , а наибольшее - .  Значит область её значений целиком лежит в промежутке [;].

 Отсюда b

Ответ:   b