Задачи с параметрами и их роль в математическом образовании школьников
статья по алгебре по теме

Задачи с параметрами и их роль в математическом образовании школьников.

Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности. Это касается и идеи симметрии аналитических выражений, и применения свойств функций в нестандартных ситуациях.

С первых лет своей работы на уроках математики я всегда старалась уделять особое внимание задачам с параметрами, которые всегда были и являются составляющей любой математической олимпиады и конкурсного экзамена в ВУЗы.

С 2002 года задачи с параметрами – это задачи части «С» ЕГЭ, дающие выпускнику наибольшее число баллов и возможность поступления в высшие учебные заведения.

В 2007-08 учебном году мною составлена программа «Элективный курс по математике в системе преемственности Школа – ВУЗ» для 11 класса (на основе книги П.И. Горнштейна и др. «Задачи с параметрами».). Программа утверждена в ТГУ. Прохождение этого курса способствует более успешной сдаче ЕГЭ учащимися.

Работа над задачами м параметрами начинается в 5 классе, так как, являясь задачами повышенной сложности, они играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения таких задач, успешно справляются (и опыт это подтверждает) со сложными задачами по другим предметам.

При рассмотрении задач с параметрами полезно применять различные способы их решения.

Задачи с параметрами:

65535. Помогают систематизировать знания учащихся по основным разделам школьной программы по математике;
65536. Формируют первоначальные навыки исследовательской деятельности, необходимой для успешного овладения курсом математики выбранного Вуза.

Предлагаю свои решения нескольких конкурсных задач с параметрами.

Условие: Найти все значения параметра а, для которых при каждом значении переменной х из промежутка [-4;-1] значения выражения 4x2 + 16x + 9 не равно значению выражения ах.

a = ?  

4x2 + 16x + 9 ≠  ах

1. Найдём такие а, что

4x2 + 16x + 9 =  ах, т.к. х≠0, то х

 (строим график)

1)

Строим график функции на [-4;-1] с помощью производной.

=0, если  х = 1,5 ОДЗ

                     х = -1,5 ОДЗ

 не существует х = 0 ОДЗ

2)

, если

II Ответ:

При каких значениях параметра а уравнение вида   имеет два корня, расстояние между которыми меньше ?

Пусть х1 и х2 – корни уравнения, то

Решение:  

                |      · 2a > 0

                |      · 2a > 0

2(a2 - 1) < 3a

2(a2 - 1) > -3a

2a2 – 3a -  2 < 0   (1)

2a2 + 3a -  2 > 0   (2)

(1) D = 25

(2) D = 25

    с учётом ОДЗ a ≠ 1 получаем

Ответ:      

Методическое обеспечение

1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. -Москва: «Илекса», 2005. – 326 с.
2. С.В. Богатырёв, А.А. Максютин, Ю.Н. Неценко, Т.П. Шаповалова. Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. – Самара: ГОУ СИПКРО, 2008. – 76 с.
3. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудинцев, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2005. – 384 с.

[

]

-4

-1

x

+

-

-1,5

ОДЗ                  x > 0

a > 0

a ≠ 1

ax3 ≠ 1

x ≠ 1

m = 1, m = -1

m ≠ 0, m ≠ -3

  a=x

  a=

   x1=a

   x2=

  x=a

  a=x-1