Урок по теме: "Неполные квадратные уравнения". Алгебра 8 класс
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

 НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8 класс

учитель математики: Бачурина Е.Г.

тип урока: изучение новой темы.

оборудование: проектор, таблицы.

обучающие

1. ввести определение квадратного уравнения
2. систематизировать знания по решению неполных квадратных уравнений.

развивающие

1. расширение кругозора учащихся
2. пополнение словарного запаса
3. развитие мышления, внимания, умения учиться

воспитание общей культуры, умение работать в коллективе.

Цели: (слайд №2)

1. Ввести определение квадратного уравнения;
2. Научиться определять является ли уравнение квадратным;
3. Научиться определять коэффициенты квадратного уравнения;
4. Составлять по заданным коэффициентам квадратное уравнение;
5. Научиться определять вид квадратного уравнения: полное или неполное;
6. Ввести определение неполного квадратного уравнения;
7. Научиться выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.
8. Ввести понятие приведенного квадратного уравнения;
9. Развивать логическое мышление.

Ход урока.

I. Подготовка учащихся к восприятию нового материала.

(слайд №3)

1. Что такое уравнение? (Уравнение - это равенство, содержащее переменную).
2. Что называется корнем уравнения? (Корень уравнения - это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство).
3. Что значит решить уравнение?  (Решить уравнение - это значит найти его корни или доказать, что их нет).
4. Какие уравнения мы знаем?  (Равносильные уравнения - это уравнения, которые имеют одни и те же корни.  Линейным называется уравнение вида ах + в = 0, где а и в - некоторые числа, причем,  а ≠ 0).

II. Изложение нового материала.

1) слайд №4. Перед учащимися различные уравнения. Их задача выбрать квадратные уравнения (по их мнению). С помощью наводящих вопросов, вывести вид квадратного уравнения. (Наводящие вопросы: какая информация спрятана в название «квадратные уравнения», переменные каких степеней могут содержаться в квадратном уравнение, может ли это уравнение содержать степень меньше 2, больше 2, что еще может содержать такое уравнение, попробуем записать с помощью букв и т.д.)

5х + 26 = 8х - 3,                       9х + 7х^4 - 13 = 0,        

4x^2 + 22x - 2 = 0,                   x^3 - 42x - 29 = 0,

x^4 - 13 = 0,                             -3x^2 - 35x + 14 = 0,

2x^2 - 53x + 12 = 0,                  x^2 + 22 - 5x = 0,

9x + 2x^2 - 17 = 0,                   -7x^4 - 46x + 17 = 0,          

    15x^2 - 8x^3 = 3,                       8x - 6x^2 = 0,

34 + 5x^3 - 22х = 11,                25x^3 - 4x - 9x^4 = 0,

Когда определены квадратные уравнения и с помощью вопросов на доске записан общий вид квадратного уравнения, появляется

слайд №5.Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0, x - переменная, а,b,с – некоторые числа, называют квадратным уравнением, например, ах2+bх+с=0 или ах2+вх1+сx0=0 называют квадратным уравнением;

          а - I коэффициент,

в – II коэффициент,

с – коэффициент свободного члена.

На опорной доске вывешивается таблица с определением квадратного уравнения.

2)Научиться определять коэффициенты квадратного уравнения.

слайд №4. (на слайде остались только квадратные уравнения).  На данных уравнениях прокомментировать чему равно а, в и с.

Затем обратная операция: по коэффициентам составить квадратное уравнение.

слайд №6. На нем даны коэффициенты, нужно по ним составить квадратное уравнение. Как только ученик правильно составляет уравнение, на слайде, рядом с коэффициентами появляется запись этого уравнения.

a = 3, b = -7, c = 12              

a = -9, b = 23, c = -11

a = 8, b = 0, c = 0

a = 5, b = -22, c = -3

a = -4, b = 1, c = 5

a = 4, b = 9, c = 0

a = 1, b = 7, c = 1

a = -3, b = 0, c =15

a = -3, b = -1, c =7

a = 4, b = 0, c = 3

Когда все уравнения составлены, то полные квадратные уравнения исчезают, а те, где какой-либо из коэффициентов равен нулю, остаются.

Вопросы к учащимся: Почему эти уравнения остались, что их объединяет, как могли бы называться уравнения, где есть нулевые коэффициенты. Совместно с учащимися дается определение неполного квадратного уравнения.

3)Определение неполного квадратного уравнения.

слайд №7. Если в квадратном уравнении aх^2+bx+c=0  хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. (На опорной доске вывешивается определение неполного квадратного уравнения).

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1. a x^2  = 0
2. ax^2 + bx = 0
3. a x^2 + c = 0

   На доске разбирается решение уравнений слайд №6.

1. 8x^2 = 0

      x^2 = 0

      x = 0

   Ответ: 0.

Вывод: уравнение вида ах2=0,

где а = 0 и в = 0, имеет один корень х = 0.

На опорной доске вывешивается  плакат с общим решением данного вида уравнений.

ах2=0

х2=0

х=0

2. 4x^2 + 9x = 0

   x( 4x + 9) = 0

   х = 0 или  4х + 9 = 0

                      х = - 2,25

   Ответ: -2,25; 0.

Вывод: уравнение вида ax^ + bx = 0, где с = 0, имеет два корня: 0 и - b/a.

На опорной доске вывешивается плакат с решением данного вида уравнений.

ах2+bх=0

х (bх+с)=0

х=0 или bх+с=0

3. -3x^2 + 15 = 0

    -3x^2 = - 15

       x^2 = 5

       x = -         x =   

Ответ:   -  ;

4. 4x^2 + 3 = 0

     4x^2 = -3

       x^2 = - ¾

Ответ: нет корней.

Вывод: уравнение вида ax^2 + c = 0, где b = 0, имеет два корня: -   ;        

если коэффициенты a и с разных знаков;

 и нет корней, если a и с одного знака.

На опорной доске вывешивается плакат с решением данного вида уравнений.

 aх2+с=0

  ах2=-с

 х2=-с:а  

 х =  ;  если а и с - разных знаков;

нет корней, если а и с - одинаковые знаки.

III. Закрепление нового материала.

(слайд №8). Для закрепления нового материала учащиеся делятся на два варианта, каждый вариант должен решить по 10 уравнений (уравнения и ключ с решениями на слайде №8). Когда ученик получает ответ, то, с помощью ключа, определяет букву и ставит его под номером уравнения, для этого на доске записан ряд чисел:

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

П Р И В  Е Д Е Н  Н  О  Е   У Р  А В Н Е Н И Е

1 вариант начинает слева, 2 вариант начинает справа подставлять буквы под числами. У каждого варианта есть свой консультант, который в случае затруднения, помогает или объясняет решение. Если консультант не справляется, то помогает учитель.  В результате правильного решения на доске появляется словосочетание ПРИВЕДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ.

4) Вводится определение приведенного квадратного уравнения. (слайд № 9) Определение приведенного квадратного уравнения.

Приведенным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором коэффициент   при х2 равен 1:

                          х2 +bx+c=0 

IV. Обобщение проделанной работы.

(слайд №2) Возвращаемся к целям которые стояли перед учащимися в начале урока, анализируем достигнуты ли цели, все ли удалось сделать.

1. Вывод: обеспечить для себя 

1. восприятие,
2. осмысление,
3. первичное запоминание определений квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения,
4. нахождение коэффициентов,
5. отличать виды неполных квадратных уравнений;
6. сформировать умения решать неполные квадратные уравнения каждого вида.

2. Выставление оценок за урок.

V. Задание на дом. (слайд №11)

П.21, № 513 (УСТНО), № 515 (б, г, е), № 517 (б, г, е).

VI. (слайд №№12-13) из истории квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры.
2. В Европе в 2002 году праздновали 800-летие квадратных уравнений, т.к. именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения.
3. Только в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

        В Древней Индии уже в 499 году были распространены публичные соревнования по решению  задач на составление квадратных уравнений. Одной из таких задач является задача знаменитого индийского математика Бхаскары:

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне в этой стае?

Вопрос: Составьте квадратное уравнение для решения этой задачи.

( x^2/8 + 12 = x) Ученик, первым составивший уравнение, получает оценку. Так же можно предложить подумать над составлением уравнения дома.

Литература:

1. Методическое пособие для преподавателей. 8 класс.
2. Учебник. Алгебра 8. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворова (под ред. Теляковского).
3. Википедия. ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение;

wiki.pskovedu.ru/.../Исторические_сведения_о_квадратных_уравн...