Разработка урока математики учителя Ломоновой Ольги Александровны, г. Кемерово, учитель математики Тема: «Показательная функция»
методическая разработка (алгебра, 10 класс) по теме

Ломонова Ольга Александровна, г.Кемерово, Кемеровский профессионально-технический колледж, учитель математики

Разрабатывая современный урок математики в профильном классе, и определяя его основную цель и задачи, учитель, прежде всего, сам проектирует  урок, предусматривая какие формы и методы будут включены в его структуру. Урок математики в профильном классе  способствует выявлению связи с будущей профессией ученика и выявлению межпредметных связей. На базе внутрипредметных и межпредметных связей  реализуется идея преемственности в содержании изученного материала. Будущий специалист должен знать, где он будет применять знания из  области математики в своей профессиональной деятельности и повседневной жизни. Одна из проблем,  с которой сталкивается преподаватель математики  при обучении в школе – разный уровень подготовки обучаемых. Перед преподавателем стоит задача -  не только вызвать интерес к предмету, но и вывести учащихся на определенный уровень знаний с привязкой к профессии.

 Данный урок разработан с использованием  принципа дифференцированного обучения, суть которого состоит в необходимости работать со всеми обучаемыми и с каждым в отдельности, моделировать процесс индивидуального развития для каждого с учетом уровня его обучаемости, мотивации к обучению, волевых качеств и способности к самоорганизации. Представленный урок выстроен по традиционной технологии, но с использованием активных методик.

Выполнение самостоятельной работы по подготовке докладов на заданные темы развивает математическое мышление, формирует интерес к предмету и готовит будущих рабочих к творческой трудовой деятельности, вырабатывает у них умения и потребность к самообразованию.

Построенный таким образом урок математики дает положительные результаты и способствует развитию системного мышления учащихся, умению видеть общее в частном, тренирует в применении знаний на практике; выполнении различных видов самостоятельной работы, приучает учащихся к работе с дополнительной литературой, к поиску своей точки зрения. Осуществление межпредметных связей приучает  учащихся к творческому поиску, расширению интеллектуальных возможностей и формирует у учащихся качества личности,  без которых невозможна их дальнейшая профессиональная деятельность – ответственность, умение прогнозировать, аккуратность, доводить начатое дело до конца.

Разработка урока математики

 учителя Ломоновой Ольги Александровны, г. Кемерово,

 учитель математики

Тема: «Показательная функция»

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний умений и навыков с элементами дидактической игры.

       Цели и задачи:

 дидактическая (обучающая):

- обобщение и закрепление изученного материала по теме «Показательная функция», формирование умений применять методы решения показательных уравнений, неравенств, систем уравнений;

развивающая:

- развитие познавательной активности, творческих  способностей, сохранение и развитие потенциальных возможностей (способностей) учащихся;

- воспитывающая: воспитание интереса к предмету, формирование личностных качеств: самостоятельности, трудолюбия, творчества.

     Оборудование (материально-техническое оснащение и наглядные материалы):

мел, доска, дидактический раздаточный материал, учебное пособие для 10-11 классов средней школы «Алгебра  и начала анализа» под ред. А.Н.Колмогорова.

Ход занятия:

1. Организационный момент:

приветствие, организация внимания учащихся, раскрытие общей цели и плана проведения урока (игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание, раздаточный материал, результат игры).

2. Доклад учащихся по теме: (доклад готовят 2-3 учащихся, время для подготовки доклада 2 недели)

          «История развития понятия степени. Значение показательной функции в    науке и технике»

                        “Обобщение понятия степени»

Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.

Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин – корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.

Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения понятия степени. В XIV в. французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (или Орезм, 1323-1382) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, он записывал 8 как  , т.е. в нашем обозначении 41/2 , так как 43=64.

Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский ученый ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе “Наука о числах в трех книгах” в 1484г. применял нулевой, а также и отрицательный показатели. В его сочинении можно прочитать “Кто умножит 83 на 71m… это умножение покажет 562 ”. В современной записи это означает: 8x3●7x-1 = 56x2. У него показатели относятся к неизвестной, которая подразумевает стоящей за коэффициентами 8, 7, 56,  а знак 1m указывает, что единица отрицательная.

У Ф.Виета в “Полной арифметике”, вышедшей в 1544г., использованы следующие символические записи: для первой степени – N(от первой буквы слова Numeris – число), для второй степени-Q (квадрат), для третьей степени – C (куб), для четвертой степени – QQ.  Современная запись равенства x3-8x2+16x=40 у Виета выглядела так: 1C-8Q+16N aequater 40. Aequater означает “=”. Французский математик Эригон в “Курсе математики” обозначает степени буквы а в виде а2, а3, а4 вместо современного а2, а3, а4. Англичанин Оутред в 1631г. А2 записывал как Аq Ac вместо ныне принятого А3, Аqc вместо А5 и т.д. и только Декарт в своей “Геометрии” ввел современные обозначения степени, за исключением второй степени, которую он записывал как произведение двух множителей. Такую же запись сохранил Гаусс, считая, по-видимому, что записи АА или А2 равнозначны по своей сложности написания.

До начала XVII в. в математике избегали применять дробные и отрицательные показатели степени. Только в конце XVII в. в связи с усложнением математических задач появилась настоятельная необходимость распространить область определения показателя степени на все действительные числа. Обобщение понятия степени аn, где n-любое действительное число, позволила рассматривать показательную функцию (y=ax) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xn) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена для x<0.

                      « Показательная функция”

Немецкий математик М.Штифель(1487-1567) дал определение  при  и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). В свою очередь термин exponenten  возник при не совсем точном переводе с греческого слова, которым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины.

Показательная функция имеет важное значение в науке и технике. Многие явления природы можно выразить по средствам функции y=ax. В качестве примера можно указать на процесс распада радиоактивных веществ (радий, радон, уран и др.).

Обозначим через Т промежуток времени, за который масса радиоактивного вещества убывает в два раза (Т-период полураспада вещества). Для разных веществ Т различно: для урана Т=4,56млрд.лет, для радия Т=1590лет и т.д. Если через х выразить отношение любого промежутка t к периоду полураспада T (х=t/T), то х будет мерой времени распада вещества. Обозначим через y массы (m) сохранившегося за это время вещества к первоначальной массе его M т.е. y=m/M, иначе говоря, y-это доля вещества, оставшегося через t лет.

Оказывается. что процесс распада можно выразить формулой            

y=(1/2)x  или m=M(1/2)t/T

Другим явлением, которое также можно выразить показательной функцией, служит размножение живых организмов.

3. Повторение основных теоретических вопросов:

   Вопрос:  Какая функция называется показательной?

   Ответ: Функция, заданная формулой вида y=а, где а – некоторое положительное        число, и а1, называется показательной.

   Вопрос:   Перечислить свойства показательной функции y=а при а>1 и схематично изобразить график функции.

  Ответ:   Функция у=апри а>1 обладает следующими свойствами:

1. D (а)=R.

2. Е (а)=R.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

4. Если х=0, то у=1.

5. Если х>0 , то а>1.

6. Если х<0 , то 0<а<1.

                         у

0.         х

 Вопрос: Перечислить свойства показательной функции у=апри 0<a<1 и схематично изобразить график функции.

Ответ:  Функция у=апри 0<a<1 обладает следующими свойствами:

        1. D (а)=R.

        2. Е (а)=R.

        3.Функция убывает на всей числовой прямой.

   4. Если х=0, то у=1.

        5. Если х>0, то 0<a<1;

        6. Если х<0 , то а>1.

                у

                  1

                                          х

                  0

Вопрос: Написать на доске основные свойства степеней.

Ответ:  При любых действительных значениях х и у справедливы равенства:

    ,            ,

  ,            ,    

Вопрос: Какое уравнение называется показательным?

Ответ: Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется

показательным.

Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение:

 ( где )  

Если b<0 и b=0 уравнение не имеет решений, т.к. область значений R.

Если b>0 , то уравнение имеет единственный корень.

Вопрос:  Рассмотреть решение уравнения (а>0, а1).

Ответ: Решения уравнения  основано на том , что это уравнение равносильно уравнению f(x)=q(x).

Вопрос: Рассмотреть решение уравнения вида .

Ответ: Решение уравнения: Уравнение вида    сводится к решению квадратного уравнения  с помощью подстановки .

Вопрос: Какие неравенства называются показательными?

Ответ: Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Вопрос: Рассмотреть решение показательного неравенства вида ,где а>0, а1.

Ответ: Решение основано на следующих утверждениях:

Если а>1, то неравенство равносильно  f(x)<q(x).

Если 0<a<1 то неравенство равносильно f(x)>q(x).

(Это следует из того, что при а>1 показательная функция возрастает,

а при 0<a<1 убывает.)

Вопрос: Способы решения систем показательных уравнений.

Ответ: Известные способы решения алгебраических уравнений применяются

и к решению систем, содержащих показательные уравнения.

4.Устный счет:

(задание записано заранее на левой доске)

1. Найти х:

   ,  , .

2. Решить неравенства:

  ,  ,  

5. Практическая работа  «Математическое лото»  по теме:  «Решение показательных уравнений, неравенств, систем уравнений».

       Карты выдаются  для двух учащихся, сидящих за одной партой. Карта разделена на 12 квадратов, в каждом из которых записано 4 показательных уравнений,  4 показательных неравенства и 4 системы показательных уравнений. На данной карте находятся по два подобных  задания, которые учащиеся должны определить  и приступить к решению(например, в верхнем левом углу находится уравнение , подобное ему   и т.д. ). Также на парту выдаются 12 прямоугольных карточек с ответами, которыми учащиеся закрывают поле карты, после того, как прорешали  задание в рабочей тетради. Те учащиеся, которые первыми закроют правильно поле карты,  получают дополнительную положительную оценку, затем обмениваются тетрадями, проверяют решения друг у друга и выставляют оценку. Работы сдаются учителю на проверку. Карта выглядит следующим образом:

                                       Практическая работа «Математическое лото»

«Решение показательных уравнений, неравенств, систем уравнений».

                                                             Разрезные карточки с ответами:

Для тех учащихся, кто выполнил работу, раздаются дополнительные задания. Дополнительное задание выглядит следующим образом:

                             Дополнительное задание:                  (предусмотрено для  сильных учащихся, которые быстро справляются с работой)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

6. Подведение итогов игры, урока:

Выставление оценок в журнал совместно с учащимися (учитывается мнение каждого уч-ся о работе каждого учащегося, а также мнение учителя).

                                                 Структура урока:

1

у=а(а>1)

у=а(0<a<1)