Функции и их графики
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме
Предлагаемый курс содержит недостаточно проработанные в базовом курсе школьной математики темы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 9 классов, которым интересна математика.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 kurs_po_f-yam.docx | 26.19 КБ |
 1sh_v_mire_grafikov.pptx | 2.11 МБ |
Предварительный просмотр:
ПРОГРАММА КУРСА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9А КЛАССА
Элективный курс в 9 классе
Функции и их графики
Учитель Е.В.Смалева
Пояснительная записка
Элективный курс разработан в рамках реализации Концепции предпрофильного обучения на средней ступени общего образования и соответствует государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данного курса учитывалось, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение потребностей и интересов девятиклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.
Предлагаемый курс содержит недостаточно проработанные в базовом курсе школьной математики темы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 9 классов, которым интересна математика. По данным статистической обработки результатов ГИА и ЕГЭ, а также вступительных испытаний в различные вузы, задачи построения графиков функций, содержащих модули, и решение уравнений, тем более неравенств, с модулями вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Программа данного элективного курса включает вопросы, которые часто встречаются в заданиях экзаменов и вызывают затруднения.
В предлагаемом курсе отсутствует чрезмерная перегруженность новым содержанием, основной акцент сделан на усиление линии не теоретического, а практического содержания, что дает возможность учащимся не только ознакомиться с задачами, предлагаемыми на экзаменах, но и сконцентрироваться на способах и методах их решения.
Данный элективный курс поможет школьникам повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах как
- симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций;
-построение графиков функций и уравнений, содержащих модули;
- графический метод решения уравнений и неравенств, содержащих модули;
- решение некоторых задач с параметром графическим методом
Также будут рассмотрены задачи, связанные с построением множества точек плоскости, задаваемого соотношениями, которые выходят за рамки школьной программы, что позволяет получить дополнительную подготовку к олимпиадам по математике и для успешной сдачи ГИА и ЕГЭ.
Теоретический материал сопровождается разбором типовых задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, основные правила, которые оформлены в форме презентации и буклета.
Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей обучающихся.
Завершить курс планируется защитой проекта в виде решебника к буклету или презентацией по типам изученных задач.
Прохождение курса даст возможность проявить свои способности учащимся, имеющим высокую математическую подготовку, и позволит им не только оценить свои способности и возможности, но и сделать обоснованный выбор будущего профиля.
Цели курса:
- помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как построение графиков функций, содержащих модули, и графический метод решения задач;
- развивать умение применять знания на практике, в новой ситуации, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ ее решения
Задачи курса:
-расширить и углубить представления учащихся о преобразованиях графиков функций и способах построения графиков функций, содержащих модули;
- научить учащихся использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности;
- развить интерес и положительную мотивацию изучения математики, создать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ГИА
Данный курс рассчитан на 17 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную и домашнюю работу.
Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки.
Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.
Требования к уровню освоения содержания курса
Основными результатами освоения содержания элективного курса может быть определенный набор умений построения, преобразования и использования графиков функций, содержащих модули, при решении уравнений, неравенств и задач с параметрами. Административной проверки усвоения материала курса не предполагается.
В технологии проведения занятий предусмотрен этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. Одна из форм самостоятельной работы учащихся – практическая работа; итоговой формой контроля может стать защита проекта по теме курса.
Данный курс по выбору предполагает 17 тематических занятий.
Учебно-тематический план
№ п/п | Наименование тем курса | Всего часов |
1 | Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций | 1 |
2 | Построение графиков функций вида у=|f(x)|, y=f(|x|) | 1 |
3 | Построение графика функции у=|f(|x|)| | 2 |
4 | Построение графиков «функций» | у|=f(x), при f(x)≥0; |у|=|f(x)| | 2 |
5 | Построение графиков функций вида у=|х-х₁|+|х-х₂|+…+|х-х| и у=|||х-𝒂|-𝒃|-с| | 2 |
6 | Графический метод решения уравнений, содержащих модули | 1 |
7 | Графический метод решения неравенств, содержащих модули | 1 |
8 | Графический метод решения некоторых задач с параметрами | 1 |
9 | Построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно | 1 |
10-11 | Построение множества точек плоскости, задаваемого соотношениями | 2 |
12 | Решение задач по всему курсу | 2 |
13 | Итоговое занятие. Защита проектов. | 1 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
С О Д Е Р Ж А Н И Е Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций Графики функций вида y=|f(x)|, y=f(|x|) График функции y=|f(|x|)| Графики «функций» |y|=f(x), при f(x)≥ 0; |y|=|f(x)| Графики функций вида y=|x-x 1 |+|x-x 2 |+…+|x- x n | и y=|||x-a|-b|-c| Графический метод решения некоторых задач с параметрами Построение графиков «функций», аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно Построение множества точек плоскости, задаваемого соотношениями
С И М М Е Т Р И Я С Н Е Ж И Н К И Я хочу сказать вам лично, Что снежинка –симметрична! И зеркальна, и центральна, А не просто так банальна! На главную Далее Назад
Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математическое строгое понятие о симметрии сформировалось сравнительно недавно –в Х I Х веке. В наиболее простой трактовке современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение. Виды симметрии на плоскости: - осевая - центральная - трансляционная: поворот; параллельный перенос, скользящая симметрия. На главную Далее Назад
Осевая Симметрия Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси s точку А ' , при этом отрезок АА ' ┴ s , называется осевой симметрией. Если точка А лежит на оси s , то она симметрична самой себе, т.е. А совпадает с А ' . В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси s фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси s , а ось s называется её осью симметрии. На главную Далее Назад
Центральная симметрия Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А ' , симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией. Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F . Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д. На главную Далее Назад
Трансляционная симметрия Поворот Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования. Центральная симметрия есть поворот на 180 ° . На главную Далее Назад α
Параллельный перенос Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а. На главную Далее Назад
На главную Далее Назад Скользящая симметрия Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос. Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. При построении графиков функции симметрия встречается довольно часто.
На главную Далее Назад Множество действительных чисел называется симметричным относительно точки х=0 числовой оси, если вместе с любой точкой х ему принадлежит точка (-х). ОПРЕДЕЛЕНИ E : Функция y=f(x) с симметричной относительно начала координат областью определения D(f) называется: четной , если для любого x Є D(f) выполняется равенство f(-x)=f(x); нечетной , если для любого x Є D(f) выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для того чтобы построить график четной функции, достаточно построить график функции при x ≥ 0 и полученную часть графика отобразить симметрично относительно оси oy . Пример: Построить график функции y=|x|+1 D(y)=R ; y(-x)=|-x|+1=|x|+1=y(x) Функция y=|x|+1 – чётная. Строим график функции y=|x|+1 при х ≥ 0, т.е. y=x+1. 2) Симметрично относительно оси oy отражаем часть графика при x ≥ 0. x y
Графики функций вида y=|f(x)|, y=f(|x|) 1. Построение графика функции вида y=|f(x)| Чтобы построить график функции вида y=|f(x)|, надо сначала построить график функции y=f(x) , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси ox , зеркально отразить относительно этой оси. Так как f(|-x|)=f(|x|), то функция y=f(|x|) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f(x) , находящиеся слева от оси oy , а все точки, лежащие на оси oy и справа от нее, отобразить симметрично относительно оси oy . На главную Далее Назад Пример 1 : Постройте график функции y=|2x-3| : 1)Строим график функции y=2x-3 2) Из графика функции y=2x-3 получаем график функции y=|2x-3|, отобразив симметрично относительно оси ox часть графика, лежащую под осью.
Пример 2: Постройте график функции y=|x ² +4x-5|: 1) Строим график функции y=x²+4x-5;D(y)=R; графиком является парабола ; y=(x+2)²-9; (-2 ;-9) - координаты вершины ; x =-2 – ось симметрии. 2)Из графика функции y= x²+4x-5 получаем график функции y=|x²+4x-5| , отобразив симметрично оси ox ту часть графика, которая лежит ниже этой оси. На главную Далее Назад Взять на заметку! Каких чисел точно не будет в множестве значений функции y=|f(x)| ? В каких координатных четвертях расположен график функции y=|f(x)| ?
На главную Далее Назад Пример 1 : Построить график функции y= - x² +4 |x|-5 2. Построение графика функции вида y=f(|x|). Так как f(|-x|)=f(|x|) , то функция y=f(|x|) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f(x) , находящиеся слева от оси OY , а все точки лежащие на оси OY и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси OY .
На главную Далее Назад Пример 2 : Построить график функции y=x ( x²-4x+3) / │ x │ : Очевидно, что следует рассматривать два случая: x>0 и x<0. Имеем: y= x² -4x+3, если x>0 и y=- x² +4x-3, если x<0. График данной функции состоит из двух соответствующих парабол.
График функции y=|f(|x|)| Чтобы построить график функции вида y=|f(|x|)| нужно: 1)Построить график функции y=f(x) для x ≥ 0. 2)Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат. 3)Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси. На главную Далее Назад Пример: Построить график функции y=|2-|x||. y=2-x при x≥0 y=2-|x| y=|2-|-x|| Отметим, что данный и ему подобные графики можно построить другими способами. Рассмотрим один из них.
На главную Далее Назад Второй способ.
Графики «функций» |y|=f(x), при f(x)≥0; |y|=|f(x)| На главную Далее Назад 1. Построение графиков «функций» вида |y|=f(x) при f(x)≥0. По определению абсолютной величины y=±f(x) , где f(x)≥0. Строго говоря, y нельзя назвать функцией x , так как каждому значению аргумента x будут соответствовать два значения «функции»: + f(x) и –f(x), поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки или называть зависимостью. Алгоритм построения: 1) Установить, для каких x выполняется условие f(x)≥0. 2) На найденных промежутках значений x построить график функции y=f(x). 3) Выполнить зеркальное отражение графика относительно оси ox . Пример 1 : | y|=-4/x
2.Построение графиков «функций» вида |y|=|f(x)|. Очевидно, что y=±|f(x)|, т.е. график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий: 1) Построить график функции y=|f(x)|. 2) Осуществить его зеркальное отражение относительно оси ox. Пример 2: |y|=|x| На главную Далее Назад
Графики функций вида y=|x-x 1 |+|x-x 2 |+…+|x- x n | и y=|||x-a|-b|-c| На главную Далее Назад Чтобы построить график функции вида y=|||x-a|-b|-c| и y=|x-x 1 |+…+|x-x n | , можно найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако бывает целесообразнее использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции. Пример 1: Построить график функции y=|x-1|+|x-2|. Рассмотрим последовательность действий. 1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае используем для этого условия: x-1=0 x-2=0 x=1 x=2 2)Рассмотреть далее функцию на каждом из полученных промежутков: (-∞ ; 1); [1;2]; [2;+∞) Если х <1 ,то у=-х+1-х+2, у=-2х-3. Если 1 ≤ х < 2, то у=х-1-х+2, у=1. Если х ≥2 ,то у=х-1+х-2, у=2х-3. Итак, -2х+3, если х <1 , У= 1, если 1 ≤ х < 2, 2х-3, если x≥2 . {
Графический метод решения некоторых задач с параметрами На главную Далее Назад Пример 1 : Сколько корней имеет уравнение |x+3|=a ? Решение : 1)Построим в одной системе координат графики функций y=|x+3| и y=a. 2) Прямая y=a не пересекает данный график при a<0 , имеет с ним одну общую точку при a=0, имеет с ним две точки пересечения при a>0 . Ответ: корней нет при a<0, один корень при a=0 , два корня при a>0 . Одним из наиболее трудных на экзаменах являются задачи, в которых требуется найти все значения параметров, при которых выполнено некоторое условие. Если хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задача не считается решенной полностью. Нельзя дать универсальных указаний по решению задач с параметрами. Но для уравнений и неравенств первой и второй степени с параметрами при заданном условии можно использовать графический метод решения, как наиболее наглядный. Поясним суть этого метода на конкретных примерах.
На главную Далее Назад Пример 2. Найдите число решений уравнения |x²-2x-3|=a, в зависимости от параметра а. Решение: 1) Построим график функции y=|x²-2x-3|. (Можно выделить полный квадрат: x²-2x-3=(x-1)²-4). 2) Уравнение |x²-2x-3|=a имеет столько решений, сколько раз прямая y=a пересекает график функции y=|x²-2x-3|. На рисунке видно, что графики не имеют общих точек, если a<0 ; имеют две общие точки , если a=0 и a>4 ; имеют три общие точки, если a=4; четыре точки, если 0 На главную Далее Назад Пример 3: Решить уравнение x|x-4 |+ a = 0 . Решение: Строим график функции f(x ) = -x|x-4|= -x²+4x, x≥4; x²-4x, x<4. При a <-4 уравнение имеет один корень, являющийся большим корнем уравнения - x²+4x=a; x²-4x+a=0, x=2+ При a =-4 уравнение имеет два корня, один из которых х=2, а второй больший корень уравнения - x ²+4 x =-4, т.е. x =2+2 При -4< a <0 уравнение имеет три корня, два из которых являются корнями уравнения x ²-4 x - a =0: x =2± , а третий больший корень уравнения - x ²+4 x = a , т.е. x =2+ . При a =0 уравнение имеет два корня: x =0 и x =4. При a >0 уравнение имеет один корень, являющийся меньшим корнем уравнения x ²-4 x = a , т.е. x =2- . Ответ: при a <-4 x =2+ ; при -4≤ a ≤0 x =2± , x =2+ ;при a >0 x =2- . Построение графиков «функций», аналитические выражения которых содержат знак модуля, выраженных неявно На главную Далее Назад Пример 1: Построить график «функции» |x|+|y|=2 1. Построим график функции y = 2- x - график прямая. 2. Далее осуществляем последовательное двукратное отображение графика относительно оси ox , а затем относительно оси oy . Пример 2: Построить график «функции» |y |=|X 2 -4X| 1. Построим график квадратичной функции y = x² -4 x - график парабола. y =( x² -4 x +4)-4=( x -2)²-4 Сдвиг на 2 клетки вправо и на 4 вниз. 2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX . На главную Далее Назад На главную Далее Назад Пример 3: Построить график «функции» (|x|-1)²+(|y|-2)²=4 1. Построим график функции ( x -1)+( y -2)=4 –график окружность с центром в точке (1;2) и радиусом 2. 2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX , а затем оси OY . На главную Далее Назад Задание 1 : Решить систему уравнений |x|+|y|=1 |x|+y=1 1 . Решим систему уравнений с помощью графика. 2. Построим в одной системе координат графики функции: а) |y|=1-|x| : 1. Построим график функции y=1-x - график прямая. 2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX , а затем оси OY. б) y=1-|x| : 1. Построим график функции y=1-x - график прямая. 2. Далее преобразуем данный график путем. отображения его относительно оси OX. Ответ: y=1– |x| , где х Є [ - 1;1]. На главную Далее Назад Задание 2 : Решить систему уравнений |x-1|+|y-5|=1 y=5+|x-1| Задание 2: 1. Построим в одной системе координат графики функции: а) х-1 + у-5 =1: 1. Построим график функции y =7-х - график прямая. 2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX , а затем оси OY . б) y =5+ х-1 : 1. Построим график функции y =4+х- график прямая 2. Далее преобразуем данный график путем отображения его относительно оси OX . Ответ: (1,5 ; 5,5) (0,5 ; 5,5) Построение множества точек плоскости, задаваемого соотношениями На главную Далее Назад Пример 1: Построить множество точек плоскости, заданных системой неравенств: 0 И С т О ч Н и к И И н ф О р м а ц И и 1) Математика для поступающих в десятый лицейский класс: Варианты конкурсных заданий: Учебное пособие / Под общ. ред. профессора В.Я. Райцина ; сост. Л.А.Приходько. Издательство «Экзамен», 2006.- 196 с. (Серия «Поступаем в лицей»). 2) А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. Илекса,2003.-320 с. 3) П.Ф.Севрюков,А.Н.Смоляков Школа решения задач с параметрами М.:Илекса ; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола , 2011.-212с. 4) http://www.detiseti.ru Презентацию выполнила Правдина Анастасия, победитель конкурса учебно-исследовательских работ по математике в рамках областного научного конкурса «ИНТЕЛЛЕКТУАЛ» 2011г., финалист V международного конкурса «Математика и проектирование» 2011г. На главную
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методика построения графика квадратичной функции и использование графика для решения неравенств. (развивающее обучение)
Каждому учителю необходимо помнить о следующих структурных элементах урока:· Постановка цели и мотивация учебной деятельности учащихся.·...
Разработка учебного занятия по теме" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции"
Разработка учебного занятия по теме :" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции". Урок является логическим продолжением изучаемого материала. Р...
Административный контроль Алгебра 9 класс Тема: «Исследование функции и построение графика функции»
Пояснительная записка Данная проверочная работа предназначена для подготовки выпускников 9-ых классов МБОУ СОШ № 35 г.о. Самара к экзаменационной работе по математике в новой ф...
Открытый урок по теме:"Линейная функция и её график.График функции у=IхI.
Открытый урок по теме:"Линейная функция и её график.График функции у=IхI."содержит следующие материалы:1)Описание открытого урока.2)Презентацию №1 для 1 этапа урока,созданную учителем,3)Презентацию №2...
Открытый урок по теме:"Линейная функция и её график.График функции у=IхI.
Открытый урок по теме:"Линейная функция и её график.График функции у=IхI."содержит следующие материалы:1)Описание открытого урока.2)Презентацию №1 для 1 этапа урока,созданную учителем,3)Презентацию №2...
Функция. Свойства и графики функций
Одним из самых важных вопросов при изучении алгебры является функция. Изучение начинается еще в 7 классе. Однако учащиеся часто воспринимают материал с большим трудом. И даже в 11 классе тема вызывает...
Учебное занятие внеаудиторной деятельности в 9 классе "Функции и их графики. Квадратичная функция"
Использование технологии уровневой дифференциации для подготовки учащихся к ГИА по математике.Дидактическая цель: Систематизация, обобщение и закрепление знаний учащихся по теме “Функции и их гр...