УРОК "КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ" (МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ)
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Цели урока:

1. Обучающие:

1. обобщение и систематизация знаний по теме;
2. ликвидация пробелов в знаниях учащихся;
3. установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

2. Развивающие:

1. расширение кругозора учащихся;
2. пополнение словарного запаса;
3. развитие мышления, внимания, умения учиться.

3. Воспитание общей культуры.

Оборудование: ПК, проектор, экран;

у каждого ученика: пригласительный билет

Ход урока:

1. Организационный момент

 Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения (методы решения)”.

Совместное формулирование цели урока.

— Сегодня у нас несколько необычный урок: урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

Ученики /Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером./

— Иными словами, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

Ученики  /Для возможности выбора рационального пути решения./

—  Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

2. Актуализация знаний

— Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.

Ученики  /Уравнение вида , где х- переменная, a,b,c – числа , называется квадратным./

—   Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

Ученики  / а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член/

— Вспомним, историю развития квадратных уравнений (просмотр презентации, ответы учеников).

 Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов. Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются (презентация).

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, от какого слова оно происходит?

Ученик  /Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

—Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот, мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах. Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?

Ученики   /Нет. Мы не вспомнили теорему Виета./

Формулируем теорему Виета.

Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. И для начала заполним пригласительный билет, лежащий у одних из вас на столе, у других на компьютере.

 (Подписывают и заполняют таблицу)

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные билеты.

3. Презентация специальных методов

Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод выделения квадрата двучлена

Цель: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

4x²-12x+9=0, тогда       (2x-3)²=0

                                       2x-3=0

                                        x=1,5

Самостоятельно решить  х2-6х+8=0 методом выделения квадрата двучлена.

или

Ответ: 2;4.

Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения. (Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй, по теореме Виета, равен .

Например: 3x²-5x+2=0          a=3; b=-5; c=2

                                                a+b+c=0

                                                3+(-5)+2=0

Значит x1=1,  x2=2/3

Пример: решите уравнение: (самостоятельно)

157х2+20х-177=0

a = 157, b = 20, c = -177

a + b+ c =157+20-177=0

x1 = 1,    x2 = =

Ответ: 1;

 Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй, по теореме Виета, равен

Например: 7x²+3x-4=0          a=7; b=3; c= -4

               a-b+c=0               7-3+(-4)=0

Значит x1= -1; x2= -(-4)/7= 4/7

Пример: решите уравнение: (самостоятельно)

203х2+220х+17=0

a = 203, b = 220, c = 17

a + c = 203 + 17 = 220 = b

х1 = -1,  

Ответ: -1;

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить, являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

Метод введения новой переменной

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение:

Пусть: t = 5х + 3

Произведем замену переменной:

(Устно проверим условие D > 0)

по теореме, обратной теореме Виета,

t1 = 1, t2 = 2

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х:

Если t = 1, то

Если t = 2, то

Ответ: -0,4; -0,2

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Подведение итогов.

Итак, подведем итог. Решение квадратных уравнений возможно осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений. Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения.

 “Учиться нелегко, но интересно”. Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашей сегодняшней презентации.

Домашнее задание

1. Решите уравнение х2+6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена.
2. Решите уравнение (х2-х)2-14(х2-х)+24=0 методом введения новой переменной.
3. Решите уравнение 100x2 + 53x – 153 = 0, 299x2 – 300x + 1 = 0 удобным способом

        Пригласительный билет

          Пригласительный билет

          Пригласительный билет

         Пригласительный билет

          Пригласительный билет

            Пригласительный билет