Функции и построение графиков
материал по алгебре (11 класс) по теме

МБОУ районная вечерняя (сменная) общеобразовательная школа

Абадзехский УКП

Функции и построения графиков.

Зав. УКП                                        __________З. Г. Зейтунян

                                         Содержание .

 I  Исследование функции для построения её графика и порядок  построения графика

    Общие свойства функции.

    1.Область определения функции.

    2.Множество значений функции.

    3. Чётность и нечётность функции .Симметрия ,переодичность.

   Характерные точки графика.

                    1.Точки  пересечения  графика  с  осями координат .Интервалы                     знакопостоянства.                                                                                                  

                    2.Граничные значения функции.

                    3.Максимумы и минимумы.

  Исследование вида кривых  .

1. Нахождение вертикальных   и  горизонтальных   и вертекальных асимптот.
2. Возврастание и убывание функции.
3. Порядок  исследования функции и составление её графика .  

1. Построение простейших графиков .

1.Графики  линейных  функций.

2.Графики   простейших  степенных   функций .

3. Графики   простейших  степенных   функций с отрицательными показателями .

4. Графики простейших  логарифмических  функций.

5. Графики  простейших  показательных  функций .

6. Графики простейших  тригонометрических  функций .

7. Графики простейших  обратных  тригонометрических  функций .

2. Вспомогательные приёмы построения усложнённых графиков .

1.Параллельный перенос (сдвиг) оси х -ов.

2. Параллельный перенос (сдвиг) оси у - ов .

3. Растяжение и сжатие графика по оси х -ов.

4. Растяжение и сжатие графика по оси у-ов.

3. Построение усложнённых графиков.

1. Графики линейных  функций.
2. Графики квадратичных  функций.
3. Графики степенных  функций
4. Графики  алгебраических функций.

5.  Графики дробно-линейных функций.

6.  Графики простейших  логарифмических  функций.

7.  Графики  простейших  показательных  функций .

8.  Графики простейших  тригонометрических  функций .

9.  Графики простейших  обратных  тригонометрических  функций .

4. Графики повышенной трудности .

1.Графики  с ложных  функций .

2.Графики  суммы и разности   двух  функций .

3. Графики  произведения  и частного  двух  функций

4. Графики  дробно-рациональных  функций .

ИССЛЕДОВАНИЕ  ФУНКЦИИ  ДЛЯ  ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА                                                                           И  ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА.

ОБШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

                                       1.ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

                          Областью определения функции называется множество всех                 значений аргумента , для которых функция определена(т.е. существует и имеет действительные значения ). Например:

1. У =arcsin x –  функция определена при  -1 ≤ х ≤ 1;
2. У=lg         x  – функция определена при  0 < x < ∞ ;
3. У=- функция определена и имеет действительные значения при ǀxǀ 

                                                                      Примеры.

1.  .

Функция не существует , когда знаменатель равен нулю .Следовательно, должно выполняться условие :  0, откуда ǀxǀ ≠0. Таким образом область определения функции состоит из трёх интервалов : (-∞;-1)(-1.1) (1;+ ∞ ). Ответ :  (-∞;-1)U(-1.1)U (1;+ ∞ ).

2).   У= 

Функция определена тогда и только тогда , тогда когда подкоренное выражение не отрицательное . Следовательно ,  ≥ 0; откуда ǀxǀ ≤ 1. т.е. -1 ≤ х ≤ 1 . Ответ :⦋ -1;1⦌ .

3). У=

Имеем :   х-1 ≥ 0 ;   х  ≥ 1 .

Ответ :⦋1;+∞).

4).  .

В отличие от предыдущего примера подкоренное выражение не может равняться нулю . Следовательно , > 0 , х > 1 .

Ответ :(1; +∞) .

5). У= .

Вводим следующие ограничения

х+1≥0,                         х ≥ - 1;                                

х-1≥0 ,             <=>    х ≥   1;                                            <=>   х  > 1

  ≠     ≠          Выполняется при любом значении  Х. Ответ :⦋1;+∞).

6). У= . Необходимо, чтобы

х+1≥0,                          х ≥-1      

х-2≥0,        <=>          х ≥ 2

  ≠     ≠  что выполняется всегда . Получаем х ≥  2.                        

Ответ :⦋1;+∞). 

7). . Необходимо , чтобы

 ≥0            х-1≥0,              х-1 ≤ 0                 х ≥1 ,                 х ≤ 1,               х  ≥ 1,          ⁡⁡

х+1≠ 0   <=>    х+1>0,       V    х+1<0       <=>   х >-1,        V     х <-1 ;    <=>   х <-1;

Ответ :(-∞;-1). U [ 1;+ ∞ ).

8.  у=+5х-6.

Чтобы найти область определения функции, необходимо решить неравенство -.  

Корнями  уравнения   -  являются числа  2 и 3.  Так как

коэффициент при первом члене квадратного трехчлена отрицательный, то область определения функции представляет собой замкнутый промежуток  ⦋2; 3⦌.

Ответ :⦋2; 3⦌.

9.  у= 

Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) функции необходимо решить неравенство  -+5х-6 >0.       Решением данного неравенства является открытый промежуток  от  2  до  3.     Ответ: (2;  3).

10  .у=.                                                                                                                 Чтобы найти ОДЗ необходимо решить  неравенство      > 0 . Используя метод интервалов , получим ответ.

Ответ:   (-∞; 0)U(0;2)U(3; +∞).

 11

   Выражение в квадратных скобках должно быть положительным , то есть  >0. Корни(0.3;-5) многочлена , находящегося в левой части неравенства , расположим в порядке возрастания: -5; 0.3 . Построим интервалы (-∞;-5); (-5;0); (0;3); (3;+ ∞).

                 -                                       +                           -                               +                        х

                                    -5                                0                3    

Ответ:(-5;0)U(3;+∞).

 12.     У=  +  .   Имеем систему:    16-              ǀхǀ ,        

                                                                                         х           <=>       х        <=>

                                                                                         х-3 ;                     х   

                               -4  ǀхǀ 4,              

<=>                         х        ⦋0;3)U(3;4⦌.

                                 х             

 Ответ: ⦋0;3)U(3;4⦌.        

13.     у=               

Имеем:      

   +    - 10

  -10

х

Ответ:  ⦋1;+).

14. у=,   Одновременно должны выполняться следующие условия:         х+5       х         х-5,     -5

                            8-                                  х

Ответ:  ⦋-5;2.

15.  у=arksin

                                                                               1+

То  -1 -

                                                                                                                   2х1+   

Ответ(-).                                                                                                                                                    

16.у=ark sin().   Имеем двойное неравенство:

-1                                                                                                           

      0,55    х                   0,55

                                    Х                 5

                                    х                                                ОТвет:⦋0,55;1⦌U⦋5;5,45⦌.

17. у=.

Имеем :1-откуда . Следовательно ǀхǀ < 1 <=> -1 .

Ответ : ⦋-1;1⦌.

18. у= .

Поскольку  ≥0, то ǀ1-ǀ ≠ 0 ; а значит 1- , откуда  ≠ 1;

х≠±1. Таким образом область представляет собой объединение трёх интервалов . Ответ: (-∞;-1)U(-1;1)U(1;+∞).

19.у= .                                                х ,

Имеем:   < = > < = >   х -8;

Ответ(-∞;-8⦌U ⦋8;+∞).

20. . Имеем: >0 . То есть х>8 и х< -8 . Область определения два интервала . Ответ (-8;-∞)U(8;+∞).

21. у= 

х≥0,           или  х < 0 ,                           х≥0,        или     х < 0 ,        <=>     2≤х≤4,

-1≤х-3≤1          -1≤-х-3≤1;    <=>       2≤х≤4 ;               -4≤х≤-2.                -4≤х≤-2.

Ответ: [-4;-2] ;[2;4].

22.ǀуǀ =.

Так как ǀуǀ≥0, то ≥ 0 .Следовательно  х≥1    <=>  х≥1. Ответ: [1;+∞).      

                                                                                  Х>0

                                       (Продолжение следует).