Решение уравнений, сводящихся к квадратным
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей   дом детского творчества

г. Зверева Ростовской области

Решение уравнений,

сводящихся к квадратным

Работа   педагога   дополнительного

образования

Куца Фёдора Ивановича

г. Зверево

2013г.

Содержание работы:

I)    Алгебраические уравнения:                                                                               стр.4 - 12

  1) Биквадратные уравнения                                                                                               стр.4

     2) Замена переменных по явным признакам                                                             стр.4 – 5

     3)Уравнения вида (ax + b)(ax + c)(ax + d)(ax + e) = k, где b + e = c + d.                  стр.5 - 6

  4) Возвратные уравнения третьей степени                                                                      стр.6

  5) Возвратные уравнения четвертой степени                                                                  стр.6

  6) Обобщенные возвратные уравнения четвертой степени                                            стр.7  

  7)Метод неопределенных коэффициентов                                                                       стр.7

  8) Использование однородности                                                                                  стр.7 - 8

  9) Однородные уравнения с двумя переменными                                                           стр.8        

  10) Уравнения,  содержащие переменную величину под знаком модуля                 стр.8- 9

  11) Уравнения вида (ax2 + b1x + c)(ax2 + b2x + c) = kx2                                                 стр.10

  12)Уравнения вида (ax2 + b1x + c1)(ax2 + b2x + c2) = kx2                                                 стр.10

  13)Уравнения вида А4(х) + В4(х) = С                                                                               стр.10

        14)Решение уравнений с помощью формулы a2 - b2 = (a + b)(a - b)                              стр.11

        15)  Решение уравнений относительно коэффициентов                                                стр.11

        16) Следствие из теоремы о многочленах, деление углом                                   стр. 11 – 12

  17) Использование формулы суммы бесконечно убывающей

     геометрической прогрессии                                                                                           стр.12

   18) Сумма квадратов равна нулю                                                                                    стр.12

II)  Рациональные уравнения                                                                                 стр.12 - 14

  1)Уравнения вида +  = k и сводящиеся к ним                             стр.12 - 13

     2) Выделение полного квадрата                                                                                       стр.13

 3) Решение уравнений методом разложения на простейшие дроби                           стр.14   4) Разложение на множители способом группировки                                                   стр.14       5)  Замена переменных по явным признакам                                                                 стр.14

III)  Иррациональные уравнения                                                                           стр.14 - 16

1)Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй

 степени                                                                                                                      стр.14 - 15

      2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени                          стр.15 - 16

      3) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких

       степеней                                                                                                                            стр.16

IV) Уравнения, связанные со степенной функцией                                                   стр. 17

V) Показательные уравнения                                                                                  стр.17 - 18   

     1)  Показательные уравнения первого типа A∙a2x + B∙ax + C = 0,                                стр.17

      2) Показательные уравнения второго типа A∙ax + B∙a-x + C = 0  

     (A∙ax +  + C = 0)                                                                                                              стр.17

     3) Показательные уравнения третьего типа  A∙a2x + B∙ax∙bx + C∙b2x = 0              стр.17 - 18

    4) Показательные уравнения четвертого типа:A∙+ B + C∙=0              стр.18

       5) «Завуалированное» обратное число                                                                           стр.18

 VI) Логарифмические уравнения                                                                            стр.18 - 19

      1)Уравнения вида A∙ + B∙  + C = 0                                      стр.18 - 19

2)Уравнения вида A  +  + C = 0                                                          стр.19

VII) Показательно - логарифмические уравнения                                                       стр.19

VIII) Тригонометрические уравнения                                                                    cтр.19 - 24

     1) Тригонометрические уравнения, приводимые к уравнениям от одной тригонометрической функции одной переменной                                                      стр.19 -20

   2) Тригонометрические однородные уравнения                                                    стр.20- 21

   3) Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к однородным                       стр. 21 – 22

                         I тип: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d                                                                стр.21

                II тип: a sin2x + b sin 2x + c cos2x = d                                                                   стр.21  

                         III тип: a sinx + b cos x + c = 0                                                                       стр.21 - 22

    4) Уравнения вида    a (sinx + cosx) + b sin2x + c = 0                                                    стр. 22

    5) Уравнения вида a cos 2x + b cos x + c = 0 (a cos 2x + b sin x + c = 0)                       стр.22

    6) Уравнения, содержащие cos4x и  sin4x                                                                стр. 22 - 23

    7) Более сложные уравнения                                                                                     стр.23 - 24

  IX) Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции           стр.24 – 25     1) Уравнения, сводящиеся к алгебраическим                                                                стр.24  2) Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций                                                                                                                     стр. 24 - 25

X) Комбинированные уравнения                                                                             стр.25 – 26  

 Дидактический материал                                                                                          стр. 26 - 27 Литература                                                                                                                             стр. 27  

I) Алгебраические уравнения.

1) Биквадратные уравнения.

Биквадратным называется уравнение вида ах4 +bх2 + с = 0.

Биквадратные уравнения решаются методом введения новой переменной: положив  x2 = t  

  (t > 0), придём к квадратному уравнению at2 + bt + c = 0.

Пример. 1)  2х4 + 3х2 - 5 = 0.

Введем новую переменную  x2 = t,    где  t > 0, получим уравнение 2t2 + 3t -5 = 0.

Решив его, получим корни: t1 =1, t2 = - 5.

t2 = - 5 условию t > 0 не удовлетворяет.

Далее решаем уравнение х2 = 1, его корни х1,2 = ± 1.

Корни  исходного уравнения: х1,2 = ± 1.

2) 4х4  - 17х2 -15 = 0.

Введем новую переменную  x2 = t,  где  t > 0, получим уравнение   4t2 - 17t - 15 = 0.

             D = b2 - 4ac = (- 17)2 - 4∙4∙ (- 15) = 529.

   t1,2 =  = =.

   t1 =  =  = 5;

   t2 = = -  = -    условию t > 0 не удовлетворяет.

Далее решаем уравнение х2 = 5, его корни х1,2 = ± .

Корни исходного уравнения: х1,2 = ± .

3) х4  -  37х2 + 36 = 0.

Введем новую переменную  x2 = t,  получим уравнение t2 - 37t + 36 = 0.

Решив его, получим корни: t1 =1, t2 = 36.

Далее решаем уравнения: 1) х2 = 1,   х1,2 = ± 1.

                                             2) х2 = 36,  х1,2 = ± 6.

Корни исходного  уравнения: х1,2 = ± 1; х3,4 = ± 6.

4) х4  + 37х2 +36 = 0.

Введем новую переменную  x2 = t,    где  t > 0, получим уравнение t2 + 37t + 36 = 0.

Решив его, получим корни: t1 = -1, t2 = -36; которые не удовлетворяют условию   t > 0, следовательно, исходное уравнение корней не имеет.

2)  Замена переменных по явным признакам.

Пример. 1) (х2 - 2х)2 - 2(х2 - 2х) - 3 = 0.

Введя новую переменную   х2 - 2х = t, получим уравнение   t2 - 2t - 3 = 0, решив которое, имеем:  t1 = - 1, t2 = 3.

Далее решаем уравнения: 1) х2 - 2х = - 1;  х2 - 2х + 1 = 0;  (х - 1)2 = 0;  х = 1.                                                                                                                                                                                                                          2)   х2 - 2х = 3;    х2 - 2х  - 3 = 0;   по т., обр.т. Виета  х1 = - 1,  х2 = 3.

Корни исходного  уравнения: х1 = 1; х2 = - 1, х3= 3.

2)  (2х2 + 3х -1)2 - 10х2 - 15х + 9 = 0.

(2х2 + 3х -1)2 -10х2 -15х + 5 + 4 = 0.

(2х2 + 3х -1)2 -5(2х2 + 3х - 1) + 4 = 0.

Введем новую переменную  2x2 +3х -1= t,  получим уравнение t2 -5t + 4 = 0.

Решив его, получим корни: t1 =1, t2 = 4.

Далее решаем уравнения: 1) 2x2 + 3х -1 = 1, 2x2 + 3х - 2 = 0,его корни х1 = - 2; х2 = ,

                                             2) 2x2 + 3х -1 = 4, 2x2 + 3х - 5 = 0,его корни х1 = 1; х2 = -  ,

Корни исходного  уравнения: х1 = 1; х2 = -2 х3 = , х4 = -  .

3) (х2 - 6х)2 - 2(х - 3)2 = 81.

Заметив, что х2 - 6х = (х - 3)2 - 9 и положив (х - 3)2 = у, где у ≥ 0, получим:

( у - 9)2 - 2у = 81,     у2 - 18у + 81 - 2у - 81 = 0,     у2 - 20у = 0,     у (у - 20) = 0.

у1 = 0, у2 = 20.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) (х - 3)2 = 0,         х - 3 = 0,              х = 3.                    

2) (х - 3)2  = 20,     х - 3 = ±,        х1,2 = 3 ±.

Корни исходного  уравнения:    х1 = 3,  х2,3 = 3 ±.

3)Уравнения вида (ax + b)(ax + c)(ax + d)(ax + e) = k, где b + e = c + d.

Пример.1) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 24.

Группируем скобки так, чтобы суммы свободных слагаемых были равными: 1 + 4 = 2 + 3.

∙ = 0.

Перемножив вначале в первой квадратной  скобке, а затем второй, имеем:

           (х2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 24.

Введя новую переменную  x2 + 5х  = t, получим уравнение  (t + 4)(t + 6) = 24, откуда    

          t2 + 10t + 24 = 24;   t2 + 10t = 0;   (t + 10) t = 0.

                   t1 = - 10, t2 = 0.

Возвращаясь к переменной х,  рассмотрим  два случая:

1)х2 + 5х = - 10; х2 + 5х + 10 = 0.   D = b2 - 4ac = 52 - 4∙1∙10 = - 15. Т.к.   D  < 0, то уравнение  корней  не имеет.

2)х2 + 5х = 0;         х (х + 5) = 0.     х1 = 0, х2 =  - 5.

Корни исходного  уравнения: х1 = 0; х2 = - 5.

2)   х (х + 1)(х + 2)(х + 3) = 8.

Группируем множители так, чтобы суммы свободных слагаемых были равными: 0+3 = 1+2.

∙ = 0.

Перемножив в начале  первый  и  второй множители, а затем третью и четвертую скобки имеем: (х2 + 3х) (х2 + 3х + 2) = 8.

Введя новую переменную  x2 + 3х  = t, получим уравнение  t (t + 2) = 8, откуда

t2 + 2t = 8; t2 + 2t - 8 = 0. Решив квадратное уравнение, имеем корни: t1 = 2, t2 = - 4.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

             1) х2 + 3х = 2,

                 х2 + 3х  - 2 = 0,   D = b2 - 4ac = 32 - 4∙1∙(- 2) = 17 .

                х1,2 =  = .

            2) х2 + 3х = - 4,

             х2 + 3х + 4 = 0.  D = b2 - 4ac = 32 - 4∙1∙4 = - 7. Т.к.   D  < 0, то уравнение  корней  не имеет.

Корни исходного  уравнения:    х1,2  =  .

3) (2х + 3)(2х + 5)(2х + 7)(2х + 9) = 384.     (1)

Если обозначить у = 2х +3, то исходное уравнение  (1) примет вид:

            у (у + 2) (у + 4) (у + 6) = 384.

 Группируем множители так, чтобы суммы свободных слагаемых были равными: 0+6 = 2+4.

          ∙ = 0.

 Перемножив в начале первый и  второй множители, а затем  третью и четвертую скобки имеем: (у2 + 6у) (у2 + 6у + 8) = 384.     (2)

Если теперь обозначить z = у2 + 6у,      

то последнее  уравнение  (2)   запишется в виде:

    z(z + 8) = 384,  

  z2 + 8z - 384 = 0.    (3)

  Решим уравнение (3):

    z 1,2 = - 4 ± = - 4 ± = - 4 ± 20.

    z1 = - 24,   z2 = 16.

Возвращаясь к переменной у, рассмотрим  два случая:

1) у2 + 6у = - 24.

у2 + 6у + 24 = 0,  корней нет, т.к. D = b2 -  4ac = 36 – 96 = - 60 < 0.

2) у2 + 6у = 16.

у2 + 6у – 16 = 0, откуда у1 = - 8, у2 = 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) 2х + 3 = - 8, откуда х1 = - .

2) 2х + 3 = 2, откуда х2 = - .

Корни исходного  уравнения:    х1 = - , х2 = - .

4) Возвратные уравнения третьей степени

Возвратным называется уравнение вида: ах3 + bх2 + bх + а = 0.

Метод решения: разложение на множители способом группировки.

Пример . 2х3 + 7х2 + 7х + 2 = 0.

(2х3 + 2) + (7х2 + 7х) = 0,

2 (х3 + 1) + 7х (х + 1) = 0,

2(х + 1) (х2 - х + 1) + 7х (х + 1) = 0,

(х+1)(2х2 - 2х + 2 + 7х) = 0,

(х+1)(2х2 + 5х + 2) = 0,

х+1 = 0                  или                  2х2 + 5х + 2 = 0,

         х = -1.                           х1,2=  =,

                                  х1 = -2, х2 = - .

Корни исходного  уравнения:           х1 = -2,  х2 = -1,  х3 = - .

5) Возвратные уравнения четвертой степени.

Возвратным называется уравнение вида: ах4 + bх3 + сх2 ± bх + а = 0.

х  = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому можно разделить уравнение на х2 без потери корней, при этом получаем уравнение   ах2 + bх + с ±    +  = 0, которое сводится к квадратному заменой х  ±  = t.

Пример.1) х4 - 2х3 - 22 х2 - 2х + 1 = 0.

Т.к. х  = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе части  уравнение на х2

х2  - 2х - 22 -    +  = 0,

( х2 + ) - 2(х + ) - 22 = 0,

Сделаем замену х +  = t, тогда   х2  + 2 +  = t2, откуда  х2+  = t2 - 2 и уравнение сводится к виду: t2 - 2 - 2t - 22 = 0 , т.е.   t2- 2t - 24 = 0, откуда t1 = 6, t2 = - 4.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х +  = 6, откуда  х2 - 6х + 1 = 0,  х1,2 = 3 ± .

2) х +  = - 4, откуда  х2 + 4х + 1 = 0,  х1,2 = - 2 ± .

Корни исходного  уравнения:    х1,2  =3 ± , х3,4 = - 2 ± .

2) 2х4 - 15х3 +14 х2 + 15х + 2 = 0.

 Т.к. х  = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе части  уравнение на х2

2х2  - 15х + 14 +  +  = 0,

2 (х2+ ) - 15(х -  ) + 14 = 0,

Сделаем замену x  -  = t, тогда   х2  - 2 +  = t2, откуда  х2 +  = t2 + 2 и данное уравнение сводится к виду  2(t2 + 2) - 15t + 14 = 0 , т.е.   2t2- 15t + 18 = 0.

D = b2 - 4ac = (-15)2 - 4∙2∙18 = 225 - 144 = 81.

   х1,2 =  =  =.

   х1 = = = 6, х2  =  = = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х -   = 6, откуда  х2 – 6х - 1 = 0,  х1,2 = 3 ± .

2) х -   =  , откуда  2х2 - 3х - 2 = 0,  х1 =  2, х2  = -  .

Корни исходного  уравнения:    х1,2  =3 ± ,  х3 = 2,  х4 = -  .

6) Обобщенные возвратные уравнения четвертой степени.

Обобщенным возвратным называется уравнение вида: ах4 + bх3 + сх2 ± dх + e = 0,
где   = .

Пример.  3x4 - 2x3 - 31x2 + 10x +75 = 0.

Т.к.  х = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на х2:

3x2 - 2x - 31 +  + = 0;

(3x2 +) - (2x - ) - 31 = 0;

3(x2 +) - 2(x -  ) - 31 = 0;

 Пусть  t = x -   , тогда  t2 = х2 - 10 +  , откуда x2 + = t2 + 10 и данное уравнение сводится к виду:        3(t2 +10) - 2t – 31 = 0,     т. е. 3t2 - 2t - 1 = 0.

t1= 1, t2 = -  .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

  1) x -   = 1, откуда x2 - x - 5 = 0.

х1,2= .

2) x -   = -   ,  откуда 3x2 + x - 15 = 0.

х1,2= .

Корни исходного  уравнения:  х1,2,   х3,4 =

7)Метод неопределенных коэффициентов.

Пример.  х4 – 5х3 + 8х2 – 5х + 1 = 0.

Представим многочлен, стоящий в левой части уравнения  в виде произведения квадратных трехчленов: х4 - 5х3 + 8х2 - 5х + 1= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d),

где   a,b,c,d-целые числа.

Раскрыв  скобки  и приведя подобные, имеем

х4 - 5х3 + 8х2 - 5х +1 = x4 + (c + a)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + cb)x + bd.

         или      

х4 – 5х3 +8х2 – 5х +1 = (х2 – 2х + 1)(х2 – 3х + 1).

(х2 – 2х + 1)(х2 – 3х + 1) = 0,

х2 – 2х + 1 = 0  или    х2 – 3х + 1 = 0.

(х – 1)2 = 0,                    х1,2  =

   х = 1.

Корни исходного  уравнения: х1 = 1,  х2,3,

8)Использование однородности.

Уравнения  вида a∙A2(х)+ b∙A(х)B(х) + c∙B2(х) = 0 называются однородными.

Пример. 1)3х2 + 4х( х2 + 3х + 4) + ( х2 + 3х + 4)2 = 0.

I способ решения однородных уравнений.

Введение новой переменной.

Пусть у = х2 + 3х + 4, тогда 3х2 + 4ху + у2 = 0.

Решаем относительно у:      у1,2=  =,

у1 = - х, у2 = -3х.

Следовательно: 1) х2 + 3х + 4 = - х,                        2)    х2 + 3х + 4 = - 3х,

                                х2 + 4х + 4 = 0,                                  х2 + 3х + 4 + 3х = 0,  

                                 (х + 2)2 = 0,                                        х2 + 6х + 4 = 0,      

                                  х = -2.                                               х1,2 = -3 ± 

Корни исходного  уравнения:      х1 = -2, х2,3 = -3 ±

II способ решения однородных уравнений.

 Деление обеих частей уравнения на A2(х),  A(х)B(х) или B2(х) и введение замены.

2) 2(х2 + х +1)2 - 7(х - 1)2 = 13(х3 - 1).

 Так как х3 - 1 = (x2 + x + 1) (x - 1),  a   x2 + x + 1 ≠ 0 ни при каком х, то, разделив обе  части данного уравнения на   (х2 + х + 1)2 , получим:

2 - 7∙ = 13.

Введем замену у = , получим уравнение:  2 - 7у2  = 13у,

                                                7у2  + 13у - 2 = 0.

                           у1,2 = =  =  .

                            у1 = = - 2, у2 = =  ,.

Возвращаясь к переменной  х, рассмотрим  два случая:

1) =  ,                                               2) = - 2,

7(х -1) =  х2 + х + 1,                                 х -1 = - 2(х2 + х + 1),

7х - 7 - х2 - х -1= 0,                                     х -1 + 2х2 +2х + 2 = 0,

 х2 - 6х + 8= 0.                                                   2х2 +3х + 1 = 0,

х1 = 2, х2 = 4.                                                    х1 = - 1, х2 = - .

Корни исходного  уравнения:  х1 = 2, х2 = 4, х3 = - 1, х4 = - .

3) (х - 2)2(х + 1)2 - (х - 2)(х2 - 1) - 2(х - 1)2 = 0.

Число х = 1 не является корнем  данного уравнения. Поэтому, поделив обе его части на   (х - 1)2, приходим к равносильному уравнению:

 - 2  = 0. Сделав замену  = у, получим уравнение  у2 - у -2 = 0, корни которого у1 = -1 , у2 = 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1)= - 1, = 2

     х2 - х - 2 = - х + 1,                       х2- х - 2 = 2х - 2,

      х2 - 3 = 0,                                    х2- 3х = 0,

      х2 = 3,                                          (х- 3)х = 0,

     х1,2 = ±.                                  х1 = 3, х2 = 0.

Корни исходного  уравнения:  х1,2 = ± , х3 = 3, х4 = 0.

9) Однородные уравнения с двумя переменными.

Обычно в таких уравнениях требуется найти решения в целых числах.

Пример. Решить в целых числах уравнение 2х2 + 16хy +14у2 = 0.

Это однородное уравнение второй степени относительно х и у.

(0;0) - является решением уравнения.

 Пусть у ≠ 0, тогда разделим обе части уравнения на у2 .

 Получаем:         2 + 16 + 14 = 0.

   Пусть  = t, тогда имеем   2t2 + 16t + 14 = 0;  t2 + 8t + 7 = 0;       t1= - 1, t2 = - 7.    

  Следовательно,

1)   = -1, х = - у;   если у = z, то х = - z.

2)   = -7, х = - 7у;   если у = z, то х = - 7z.

Решения исходного уравнения (0;0), (-1;1)z, (-7;1)z, где z є Z

10) Уравнения,  содержащие   переменную величину под знаком модуля.

I  способ решения.

Пример. 1)  х2 +2 - 3 = 0.

Воспользовавшись тем, что х2 = 2, сделаем замену = у, где у ≥ 0.

Получим у2 + 2у - 3 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - 3.

 у2 = - 3 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим   уравнение

 = 1,   откуда х1,2 = ±1.

Корни исходного  уравнения:    х1,2  = ±1.

2) х2 + 4х - .

Чтобы можно было сделать замену, надо получить полный квадрат.

            х2 + 4х + 4 - 2 .

                 (х + 2)2 -

Замена:у ≥ 0.

              у2 - 2у + 1 = 0,   (у - 1)2 = 0,     у = 1.

 Возвращаясь к переменной х, рассмотрим   уравнение

 = 1,   откуда х + 2 = 1 или х + 2 = - 1, т.е. х1 = -1,  х2 = -3.

Корни исходного  уравнения: х1 = -1,  х2 = -3.

II  способ решения.

3)  6х2 - |х + 1| = 0.

1) Если х + 1 ≥ 0,т.е. х ≥ - 1,то |х + 1| = х + 1 и уравнение запишется в виде:

6х2 - х - 1 = 0, откуда   х1,2 =  =  = .

  х1 =  = = ,  х2 =  = = -. Оба значения удовлетворяют условию х ≥ -1.

2) Если х + 1 < 0,т.е. х < - 1,то |х + 1| = - (х +1) и уравнение запишется в виде:

  6х2 + х + 1 = 0, корней нет, т.к. D = b2 -  4ac = 1 - 24 = - 23 < 0.

Корни исходного  уравнения: х1 = ,  ,  х2 = -.

4) х|2х - 5| - 12х + 21 = 0.

1) Если 2х -5 ≥ 0, т.е. х ≥ 2,5,     то |2х - 5| = 2х - 5 и уравнение запишется в виде:

2х2 - 5х - 12х + 21 = 0; 2х2 -17х + 21 = 0; откуда х1,2 =  =  = .

х1 =  = 7,  х2 =  = = 1,5

х2 = 1,5 не удовлетворяет условию х ≥ 2,5.

2)  Если 2х - 5 < 0, т.е. х < 2,5,    то |2х - 5| = - (2х - 5) и уравнение запишется в виде:

 -2х2 + 5х - 12х + 21 = 0; 2х2 +7х - 21 = 0; откуда х1,2 =  =  .

х1 =  , х2 =  . Оба значения удовлетворяют условию х < 2,5.

Корни исходного  уравнения: х1 =7,    х2 =  , х3 =  .

III  способ решения.

5) |х + 4| = |2х +3 |.

Возведем обе части уравнения в квадрат.  (х + 4)2 = (2х + 3)2;

х2 +8х +16 = 4х2 +12х + 9; 3х2 + 4х – 7 = 0;

Откуда х1 = 1, х2 = - .

Проверка. При х = 1 имеем: л.ч. |х + 4| = |1 + 4|= |5| = 5,

                                                п.ч |2х + 3| = |2∙1 + 3| = |5| = 5.

                                                5 = 5 – верно, х = 1 – корень уравнения.

При х = -   имеем: л.ч. |х + 4| = |- + 4|=| |= ,

                                             п.ч. |2х + 3| = |2∙ (- ) + 3| = | -   |= ,

                                                -  =   - верно, х = -   - корень уравнения.

Корни исходного  уравнения: х1 =1,    х2 =  -  .

11) Уравнения вида (ax2 + b1x + c)(ax2 + b2x + c) = k x2.

Пример   (2x2 - 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2.

х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х2 ≠ 0.

(2x - 3 +  )(2x + 5 +  ) = 9. Введем замену 2x - 3 +   = у, тогда 2x + 5 +  = у + 8.

Данное уравнение примет вид: у (у + 8) = 9; у2 + 8у - 9 = 0. Откуда у1 =1, у2 = - 9.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) 2x - 3 +  = 1; 2x2 - 3x + 1 = х; 2x2 - 4x + 1 = 0,

х1,2=  =

2) 2x - 3 +  = - 9;   2x2 - 3x + 1 = - 9х;   2x2 + 6x + 1 = 0.

х1,2=  =

Корни исходного  уравнения:   х1,2 ,  х3,4.

12)  Уравнения вида (ax2 + b1x + c1)(ax2 + b2x + c2) = k x2.

Пример 1) (х2 + 5х + 6)(х2 + 20х + 96) = 4х2.

Разложим квадратные трехчлены на линейные множители:

х2 + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3);      х2 + 20х + 96 = (х + 8)(х + 12).

Исходное уравнение примет вид:    (х + 2) (х + 3) (х + 8) (х + 12) = 4х2.

Группируем скобки так, чтобы произведения свободных слагаемых были равными:

 2∙12 = 3∙8.Перемножим попарно первую и четвертую, вторую и третью скобки:

 ( х2 + 14х + 24) (х2 + 11х + 24) = 4х2.

  х = 0 не является корнем исходного уравнения, следовательно, поделив на  х2 ≠ 0

  обе части уравнения, имеем: (х + 14 + ) (х + 11 + ) = 4.  

Обозначив   х  +   = у, получим уравнение: (у + 14) (у +11) = 4,

                                             у2 + 25у +154 = 4,

                                              у2 + 25у +150 = 0,

                                              у1 = -10, у2 = - 15.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х  +   = -10,                    2) х  +   = -15,

х2 + 10х + 24 = 0,                    х2 + 15х + 24 = 0,

х1 = - 4, х2 = - 6.                     х1,2=  .

Корни исходного  уравнения:    х1 = - 4,  х2  = - 6, х3,4= .

13)Уравнения вида А4(х) + В4(х) = С.

Уравнения вида А4(х) + В4(х) = С  решаются заменой  t = .

Пример   (х + 3)4 + (х + 1)4 = 20.

Сделаем замену t =  = х + 2, тогда х = t – 2.

Введем замену (t +1)4  + (t -1)4 = 20.

  Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

    t4 + 4t3 + 6t2 + 4t +1+ t4- 4t3 + 6t2 - 4t + 1 = 20.

  Упростим уравнение, получим биквадратное уравнение относительно t:

           2t4 + 12t2 - 18 = 0,

              t4 + 6t2 - 9 = 0,

Пусть у = t2 , y > 0,  тогда t1,2 = ±.

          у2 + 6у - 9 = 0,    у1,2  = -3 ±  = -3 ± 3.

                        у1= -3 + 3.

                        у2= -3 - 3  не удовлетворяет условию у > 0.

Следовательно, t1,2 = ± = ±   Откуда     х1,2 = ± - 2.

Корни исходного уравнения:    х1,2 = - 2 ± .

14)Решение уравнений с помощью формулы a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Пример.   x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0.

x4 + 4x3 + 4x2 - x2 + 2x - 1 = 0;     (x4 + 4x3 + 4x2) - (x2 - 2x + 1) = 0;

(x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0;    (x2 + 2x - x + 1) (x2 + 2x + x - 1) = 0;    (x2 + x + 1) (x2 + 3x - 1) = 0.

x2 + x + 1= 0                               или                                         x2 + 3x - 1 = 0.

D = 12 - 4∙ 1∙1 = - 3 < 0 - корней нет                                       х1,2=  .

Корни исходного  уравнения:   х1,2  .

15)  Решение уравнений относительно коэффициентов.

Пример.   х6 - 7х2 +  = 0.

x = 0 не является корнем данного уравнения.

х6 - х2 +  = 0;

х6 - х2  - х2 +   = 0;

х2  -  + х2 - х6 = 0.

a = х2, b = -1, c = х2 - х6

D = 1 - 4∙ х2∙ (х2 - х6) = 1- 4 х4 + 4х8 = (2x4- 1)2.

                              =                    или                     = .

1) 2х2 =   2х2 =;+ 2х2 - 2 = 0+ х2 - 1 = 0.

 =     или    x2=  

 =  не имеет корней, т.к.  < 0,

 = , следовательно,  х1,2 =  ±.

2) 2х2 =х2 =;- 2х2 = 0;

- х2 = 0; - х2 = 0.

- х2 = 0.

х1,2 = ± = ±      или х3 = 0 (но x = 0 не является корнем исходного уравнения).

Корни исходного  уравнения:   х1,2 =  ± ,  х 3,4 = ± .

16)Следствие из теоремы о многочленах, деление углом.

Пример. х3 - 7х + 6= 0.

Используя  следствие из теоремы о многочленах:  (Если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена), найдем один из корней.

Делители свободного члена 6:  ±1; ±2; ±3; ±6.

Р(1) = 13 - 7∙1 + 6 = 0 , следовательно х = 1   корень исходного уравнения.

                       Понизим степень уравнения, разделим многочлен х3 - 7х + 6 на двучлен  х -1.

 Решим теперь уравнение х2 + х - 6 = 0, его корни х1 = 2, х2 = -3.

Корни исходного уравнения х1 = 1, х2 = 2, х3 = -3.

17) Использование формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример. 2х + 1 + х2 – х3 + х4 – х5 + …= , где |х| < 1.

Очевидно, что все слагаемые в левой части уравнения, не считая первых двух, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом х2 и знаменателем (-х). Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле S = = =  .

Теперь исходное уравнение можно записать в виде 2х + 1 + = ,

(2х +1)(х +1) + х2 = (х+1),     3х2 + 3х +1 =  (х +1),   6(3х2 + 3х +1) = 13 (х +1),

18х2 + 18х + 6 = 13х +13, 18х2 + 5х - 7 = 0.

  х1,2=  = .

х1 =  =  = ., х2 =  =  = -  .

Корни исходного уравнения х1 = . , х2 =  -  .

18) Сумма квадратов равна нулю.

Пример.  (х2 - 5х - 6)2 + (х2 + 3х +2)2 = 0.

Так как квадраты чисел - неотрицательны, то данная сумма квадратов равна нулю, если оба слагаемые равны нулю одновременно.

   х = -1.

Корень исходного уравнения х1= -1.

II) Рациональные уравнения.

1)Уравнения вида +  = k и сводящиеся к ним.

Пример.1)      +  .

х = 0 не является корнем данного уравнения.

Поделим числитель и знаменатель каждой из дробей на   х ≠ 0:

    =  Обозначив  х + 5 +  = у, х + 11 +  = у + 6 , получим уравнение:

 +  =  . Умножим обе части уравнения на 3у (у + 6) ≠  0.

  9(у + 6) + 15у = 2(у2 + 6у);  2у2 - 12у - 54 = 0; у2 - 6у - 27 = 0;

у1 = 9, у2 = - 3. При данных значениях у  выражение 3у (у + 6) ≠ 0.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х + 5 +  = 9;  2х2 + 5х + 2 = 9х; 2х2 - 4х + 2 = 0; х2 - 2х + 1 = 0; (х - 1)2 = 0; х = 1.

2) х + 5 +  = -3;  2х2 + 5х + 2 = -3х; 2х2 +8х + 2 = 0; х2 + 4х + 1 = 0;  х1,2 = -2 ±

Корни исходного  уравнения:    х1 = 1, х2,3 = -2 ±

2)     = .

х = 0 не является корнем данного уравнения.

Поделим числитель и знаменатель каждой из дробей на   х ≠ 0:

    =

 Обозначив  у = х +, получим:   = ,

                                    у2 – 18у + 80 = 3у – 18,

                                    у2 – 21у + 98 = 0.

                                     у1 = 7, у2 = 14.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х + =7,                                                          2) х + = 14,

х2 – 7х + 15 = 0,                                                      х2 – 14х + 15 = 0,

D = b2 - 4ac = 49 – 60 = - 11 < 0,                             х1,2 = 7 ± .

Корней нет.

Корни исходного  уравнения:  х1,2 = 7 ±.

2) Выделение полного квадрата.

Пример   1)+ = 90.

Чтобы решить уравнение, нужно в левой части выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квадрат, нужно прибавить или вычесть удвоенное произведение, тогда мы получим квадрат суммы или разности. Начнем с нахождения удвоенного произведения.

Удвоенное произведение равно:

                    2∙∙ = .

Рассмотрим сумму выражений:

   +  =  = .     Это выражение в точности равно удвоенному произведению.

Тогда, чтобы получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

+ + -  = 90.

-  = 90.

-  = 90.

Введя замену t =  , получим квадратное уравнение  t2 - t - 90 = 0, откуда

t1 = 10, t2 = - 9.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) = 10;   10х2 - 10 = 2х2;   8х2 =10,   х2 = ;   х1.2 =

2) = - 9;   - 9х2 + 9 = 2х2;   11х2 = 9,   х2 = ;   х1.2 =

Корни исходного уравнения:  х1.2 =, х3,4 =.

2)  х2 + = 12.

      х2 + = 12.

Найдем удвоенное произведение:     2∙х∙= .

Найдем сумму: х + =  =.

Запишем уравнение в виде: х2 + -  = 12,

                                    -  = 12,

                                         - 4∙ =12,

Обозначив  = у, получим у2 - 4у - 12 = 0.    у1 = 6, у2 = -2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) = 6,                                                  2)  = - 2,

х2 – 6х + 12 = 0,                                         х2 + 2х - 4 = 0,

D = b2 - 4ac = 36 – 48 = - 12,                     х1,2 = -1 ±            

  корней нет.

Корни исходного  уравнения:  х1,2 = -1±.

3) Решение уравнений методом разложения на простейшие дроби.

Пример.    +  +  +  = 4.

х ≠ 1,х ≠ -2, х ≠ -3, х ≠ 4.

 +  +  +  = 4;            1+  + 1 -  + 1 -   + 1 +  = 4;

  -  -   +  = 0;        -  -   +  = 0;          -  = 0;

 -  = 0; = ;  (5х - 8)(х2 +5х + 6) = (5х + 12)(х2 -5х + 4);

5х3 + 25х2 + 30х - 8х2 - 40х - 48 = 5х3 - 25х2 + 20х +12х2 - 60х + 48;

5х3 + 25х2 + 30х - 8х2 - 40х - 48 - 5х3 + 25х2 - 20х -12х2 + 60х - 48 = 0;

30х2 + 30х - 96 = 0;  5х2 + 5х - 16 = 0;

х1,2=  .

Корни исходного  уравнения:  х1,2 =  .

4) Разложение на множители способом группировки.

Пример.   +  =  .

Умножая это уравнение на (х + 1) (х + 2), получаем х + 2 + х3(х + 1) = 2х + 3, откуда

х4 + х3 – х – 1 = 0, (х4 – 1) + (х3 – х) = 0,  (х2 – 1)(х2 + 1) + х (х2 – 1) = 0,

(х2 – 1)(х2 + х +1) = 0,

х2 – 1 = 0   или   х2 + х +1 = 0.

1)   х2 - 1 = 0,   х2 = 1,  х1,2 = ± 1.

2)   х2 + х +1 = 0. D = b2 - 4ac = 12– 4∙1∙1 = - 3, корней нет.

При х = 1 знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение, не равны нулю, поэтому    х = 1  - корень уравнения.                  

При х = - 1 знаменатели двух дробей исходного уравнения  равны нулю, поэтому х = -1  - посторонний корень.                  

Корень исходного  уравнения:  х = 1.

5)  Замена переменных по явным признакам.

Пример.   х2- 3х + 2 -  = 0.

Введя замену   х2 - 3х = у, (где у ≠ 0), получим уравнение у + 2 -  = 0, которое  умножением на  у сводится к квадратному:                у2 + 2у – 8 = 0,

у1 = - 4, у2 = 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим  два случая:

1) х2- 3х = - 4,                                    2) х2- 3х = 2,

  х2- 3х + 4 = 0,                                   х2- 3х - 2 = 0,

D = b2 - 4ac = 9 – 16 = - 7,               х1,2 = =  .

корней нет.

Корни исходного  уравнения:  х1,2  = .

III) Иррациональные уравнения.

Иррациональные уравнения, содержащие один знак радикала второй степени.

Пример . 1) 2х2 + 3х - 5  + 3 = 0.    (1)

Если  обозначить  у =    (у ≥ 0), тогда  = у2 - 9, то уравнение (1) превратится в квадратное:

                       у2 - 9 - 5у + 3 = 0,       у2 - 5у – 6 = 0.

                          у1 = - 1, у2 = 6.

у1 = - 1 не удовлетворяет условию у ≥ 0

Возвращаясь к переменной х, имеем:   = 6,

                                                                   2х2 + 3х + 9 = 36,

                                                                  2х2 + 3х - 27 = 0,

                                               х1,2 = =  = .

                                               х1 =  = -  = - 4,5;  х2 =  = 3.

Корни исходного  уравнения:  х1 = - 4,5,  х2 = 3.

2) -   = 1.

Если обозначить  у =, то исходное уравнение превратится в квадратное:

                                  у2  - ,

                                 2у2 – 3у – 2 = 0, корни которого у1 = 2, у2 = - .

.

Далее решаем уравнения:   1) = 2,       = 4,   х = 4 – 4х, 5х = 4, х = .

                                               2)  =  -  ,  нет корней в силу неотрицательности                                                                      арифметического квадратного корня.    

Корень исходного  уравнения: х = .

3)  = 3х + 8.

Пусть у = ,  где у ≥ 0, тогда  х = 2 – у2,  имеем уравнение у = 3(2 – у2) + 8.

                      3у2 + у – 14 = 0,

у1,2 =   =  = ,     у1=2,  у2= -.

у2 = - не удовлетворяет условию у ≥ 0,   следовательно,    х = 2 – 22 = -2.

Корень исходного уравнения: х = -2.

4)= х.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

= х2,        х + 2 = х2,       х2 - х - 2 = 0.

х1 = -1, х2 = 2.

Проверка.

При х = - 1:   = = 1, но 1 ≠ - 1, следовательно, корень х = - 1  - посторонний.

При х = 2:   = = 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число является корнем исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = 2.

2) Уравнения, содержащие два знака радикала второй степени.

Пример. 1) –  = 2.

           Если обозначить у = , где у > 0, то получим уравнение 3у -  = 2, которое при умножении на у  принимает вид: 3у2 – 2у – 1= 0.

 Корни   которого у1 = 1, у2 = -.

у2 = - не удовлетворяет условию у > 0. Возвращаясь к переменной х, имеем: 

 = 1,          = 1,       х – 1= 2х + 1,   х = - 2.

Корень исходного уравнения: х = - 2.

2)   - = 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

= 12,

- 2 ∙ +  = 1,

3х + 1 - 2  + х + 4 = 1,

4х + 4 = 2 ,

2х + 2 =  .

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

=

4х2 + 8х + 4 = ),

4х2 + 8х + 4 = 3х2 + 13х + 4,

 х2 - 5х= 0,

х (х – 5)= 0.

х1 = 0, х2 = 5.

Проверка.

        При х = 0:    =  = - 1, но -1≠ 1, следовательно,  х = 0  -              посторонний корень.

При х = 5:     = =  = 4 – 3 = 1. Так как    1 = 1 – тождество, то х = 5 – корень исходного уравнения.

Корень исходного уравнения: х = - 5.

3)   = 1.

Уединим один из радикалов:

=  + 1.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

=,

3 - 2х = - 21 + 1,

3 - 2х = 1 – х - 2 + 1,

2= х – 1.

Вновь возводим обе части уравнения в квадрат:

=,

4(1 - х) = х2 - 2х + 1,

4 - 4х = х2 - 2х + 1.

х2 + 2х - 3 = 0.

х1= 1, х 2 = - 3.

Проверка.

        При х = 1:    =  =  1,  Так как    1 = 1 – тождество, то х = 1 – корень исходного уравнения.

       При х = -3:     =  =  = 3 - 2 = 1. Так как    1 = 1 – тождество, то х = -3 – корень исходного уравнения.

Корни исходного уравнения: х1 = 1, х2 = -3.

3) Уравнения, содержащие  радикалы третьей и более высоких  степеней.

5) 5 +  - 6 = 0.

              Пусть у =, тогда 5у2 + у - 6 = 0, откуда  у1 = 1, у2 = - .

     Переходя к переменной х, имеем:

 = 1,   х = 1.

= - , х = - .

Корни исходного уравнения:  х1 = 1, х2= - .

6)  -  + 2 = 0.

Введем новую переменную у = , где у ≥ 0.

Получим уравнение: у - у2 + 2 = 0;  у2 - у - 2 = 0; корни которого: у1 = -1, у2 = 2.

у1 = -1 не удовлетворяет условию у ≥ 0.

Возвращаясь к переменной х, имеем:  = 2;   2х + 32 = 64;   2х = 32, х = 16

Корень исходного уравнения:       х = 16.

IV) Уравнения, связанные со степенной функцией.

Пример. 5 +   - 6 + 0.

       Пусть у =    (у > 0), тогда 5у2 + у – 6 = 0, откуда  у1 = 1, у2 = - .

у2 = -  не удовлетворяет условию у > 0.

Переходя к переменной х, имеем:

 = 1, откуда х = 1

Корень исходного уравнения: х = 1.

V) Показательные уравнения.

1)  Показательные уравнения первого типа:    A∙a2x + B∙ax + C = 0,

где A ≠ 0, B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1,

заменой ax = t (t > 0) сводятся к квадратным уравнениям.

Пример. 1) 3∙25х - 14∙5х - 5 = 0.

                                                                   3∙52х - 14∙5х - 5 = 0.

     Сделав замену 5х = t (t > 0), получим  уравнение   3t2 - 14t - 5 = 0,                                            

       t1,2 =   =  = .                

       t1= 5; t2 = -  = - .      t2 = -  не удовлетворяет условию t > 0.

    Возвращаясь к переменной х, имеем: 5х = 5, откуда х = 1.

Корень исходного уравнения:       х = 1.

2)  Показательные уравнения второго типа:  A∙ax + B∙a-x + C = 0     (A∙ax +  + C = 0),

где A ≠ 0, B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1,

заменой ax = t (t > 0) сводятся к квадратным уравнениям.

Пример.   3х+1 - 25 = .

Сделав замену 3х = t (t > 0), получим уравнение:       3t - 25 = ,        

            3t2 - 25t =18,                3t2 - 25t - 18 = 0,

     t1,2 =  = =  = ,

      t1= 9;    t2 = -  = - .      t2 = -  не удовлетворяет условию t > 0.

  Возвращаясь к переменной х, имеем: 3х = 9, откуда х = 2.

Корень исходного уравнения:     х = 2.

2) 2х+2 - 22- х = 15.

4∙2х  - 4∙2-х  = 15.

Сделав замену 2х = t (t > 0), получим уравнение:       4t -   = 15,

            4t2 - 15t - 4 = 0,                  

     t1,2 =  = =  = .

      t1= 4;    t2 = -  = - .       t2 = -  не удовлетворяет условию t > 0.

  Возвращаясь к переменной х, имеем: 2х = 4, откуда х = 2.

Корень исходного уравнения:     х = 2.

3) Показательные уравнения третьего типа:    A∙a2x + B∙ax∙bx + C∙b2x = 0 , где A , B, C – некоторые числа, a > 0, a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1  называются однородными уравнениями и они сводятся к квадратным уравнениям путем деления на  (a2x или b2x).

Пример. 1) 3∙16х + 2∙81х  = 5∙36х.

3∙42х +2∙92х – 5∙4х∙9х = 0.

    Поделив обе части уравнения на    92х,  имеем      3∙  - 5∙  + 2 = 0.  

    Сделав замену = t, t > 0, получим уравнение  3t2 - 5t + 2 = 0, откуда      t1= 1; t2 =  .                                                     

     Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

 = 1,   = , х = 0.

 =  ,           =   ,  2х = 1 , х = 0,5.                                            

Корни исходного уравнения:  х1 = 0, х2 = 0,5.

4) Показательные уравнения четвертого типа:    A∙+ B + C∙= 0, где   A, B, C – некоторые числа, причем A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0; a, b, c – являются последовательными членами геометрической прогрессии,   путем деления на любую из степеней ,, сводятся к квадратному уравнению.

Пример. +  =  4,25∙.

                  ОДЗ уравнения х ≠0.

Преобразуем уравнение так, чтобы показатели степени были одинаковыми.

 +  =  4,25∙.

Так как числа 100, 50, 25   являются последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем ,то разделив обе части уравнения, например,  на  , получаем:

  + 1 =  4,25∙,                                                                                                                                                                            

                   - 4,25∙+ 1 = 0,

                   - 4,25∙+ 1 = 0.

Обозначив   = t  (t > 0), получаем квадратное уравнение t2 - 4,25t + 1 = 0, корни  которого t1 = 4, t2 =  .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

= 4,    = 22,   = 2, х = .

=  ,    = 2-2,    = - 2, х = -  .

Корни исходного уравнения: х1 =  , х2 = -  .

5) «Завуалированное» обратное число.

Пример.  +  = 62.

Заметим, что (4 + )( 4 - ) = 16 -15 = 1.

 Используя подстановку у =где у > 0, тогда

= , получим уравнение у +  = 62.

у2 - 62у +1 = 0, откуда у 1,2 = 31 ±  = 31 ± = 31 ±.

Преобразуем выражение  31 ± = 16 ± + 15 =

Возвращаясь к переменной х, имеем:

1), х = 2.

2) =, =, = х = - 2.

Корни исходного уравнения: х1 = 2, х2 = - 2.

VI)  Логарифмические уравнения.

1)Уравнения вида A∙ + B∙  + C = 0  ( > 0, a > 0,a ≠ 1) путем замены    = t сводится к квадратному уравнению.

Пример. + = 5.

ОДЗ уравнения х > 0.

2 + = 5,

2 + = 5,

2∙  - 2 +  - 4∙  + 4 - 5 = 0,

- 2∙  - 3 = 0.

Обозначив     = t, получим квадратное уравнение: t2 - 2t - 3 = 0, корни которого

                      t1 = - 1, t2 = 3

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

 = -1,  х = 3.

2)   = 3, х = .      Оба значения входят в ОДЗ.

Корни исходного уравнения: х1 = 3 , х2 =   .

2)Уравнения вида A  +  + C = 0.

Пример. + = .

ОДЗ уравнения х > 0, x  ≠ 1.

Воспользовавшись формулой перехода  = , имеем:

  = .

Вводим замену = у, получаем уравнение у +   = , откуда 2у2 - 5у + 2 = 0.

у1 = 2, у2 = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

 1) = 2, х = 9.

 2)= , х =     Оба значения входят в ОДЗ.

Корни исходного уравнения: х1 = 9 , х2 =   .

VII) Показательно - логарифмические уравнения.

Если в уравнении содержится выражение вида , то для нахождения корней уравнения необходимо сначала прологарифмировать обе его части по тому же  основанию, что и основание логарифма, стоящего в показателе степени, а затем решить получаемое алгебраическое уравнение относительно .

Пример.  = 4.

ОДЗ уравнения: х > 0, х ≠ 1.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

 = ;     ∙ = 2; -  - 2 = 0.

 Пусть  = t , тогда t2 - t - 2 = 0, откуда t = 2, t = -1,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)  = 2,   х = 4.

2) = - 1,  х =.    Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Корни исходного уравнения х1 = 4, х2 =.

VIII) Тригонометрические уравнения.

1) Тригонометрические уравнения приводимые к уравнениям от одной        тригонометрической функции одной переменной:

a sin2x + b sinx + c = 0 (a cos2x + b cosx + c = 0);

a sin2x+ b cosx + c = 0 (a cos2x+ b sinx + c = 0);

a tg2x + b tg x +c = 0;   a tg x + b ctg x +c = 0.

Пример. 1)    2sin2x + sinx  - 1 = 0 .

Обозначив      = t, получим квадратное уравнение  2t2 + t - 1 = 0, корни которого

 t1 = -1,   t2 =   .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

  = - 1,  х = -   + 2n,  n Z.

 2)  =   ,   х = arcsin   +n =    + n, n  Z.

Используя формулу  cos2x  = 1 - sin2x получаем:

                       2(1 - sin2x) -   + 1 = 0,

                        2 – 2 sin2x -   + 1 = 0,

                        2 sin2x +- 3 = 0,

Обозначив      = t, получим квадратное уравнение  2t2 + t - 3 = 0, корни которого

                          t1 = 1,   t2 = -   .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

  =  1,  х =   + 2 n,  n Z.

                        2)  = -  , нет корней, т.к. | | ≤ 1.

Корни  исходного уравнения х =    + 2 n,  n Z.
3) 2sin2x -   - 1 = 0.

Используя формулу  sin2x  = 1 - cos2x, получаем:

2(1 - cos2x) -   - 1 = 0

                        2 - 2cos2x -   - 1 = 0,

                        2cos2x +- 1 = 0,

Обозначив     = t, получим квадратное уравнение  2t2 + t - 1 = 0, корни которого

 t1 = 1,   t2 = -   .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)  = 1,   х = 2n, n Z.

            2) = -    х = ± arccos (- ) + 2n = ± (- arccos ) + 2n = ±( - ) + 2n =                         = ±  + 2 n,  n Z.

Корни  исходного уравнения х = 2n;   х = ±  + 2n,  n Z.

4) tg x – 2 ctg x + 1 = 0.

tg x -  + 1= 0.

       Умножая обе части уравнения на tg x,  tg x ≠ 0, получаем:

                      tg2x + tg x – 2 = 0,

Полагая tg x= у, имеем у2 + у - 2 = 0, откуда у1 = 1, у2 = - 2.

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

 1) tg x = 1, х  =    + n,  n Z.

 2) tg x = - 2, х = arctg(-2) + n = - arctg 2 + n, n Z.

Корни  исходного уравнения: х  =    + n,  х = - arctg2 + n, n Z.

                                    5) 3 cos26x +8 sin3x cos3x - 4 = 0.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Используя формулы: sin26x + cos26x = 1,  sin6x = 2 sin3x cos3x,

преобразуем уравнение:

3 (1 - sin26x) + 4sin6x - 4= 0,

3 sin26x - 4sin6x +1 = 0.    

Обозначив sin6x = у, получим уравнение

3у2- 4у + 1 = 0, откуда у =1, у = .

sin6x = 1,   6х =  + 2n,    x =  +,   n Z.

sin6x = ,   6x = (-1)n arcsin  + n,    x =  arcsin  + n Z.

Корни  исходного уравнения: x =  +  x =  arcsin  + nZ.

2) Тригонометрические однородные уравнения  a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.

Пример. 4sin2x – 5sinx cosx - 6cos2x = 0.

Так как  sinx и cosx  не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на   cos2x, имеем:   4tg2х - 5tgх - 6 = 0.

Обозначая tgх = у, получаем уравнение 4у2 -5у - 6 = 0.

у1,2=  = =  =

    у1 =  = 2, у2 =  = - ,

 Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) tg x = 2,  х = arctg 2 + n , n Z.

2) tg х = - ,   х= arctg (-  + n,   х = - arctg + n, n Z.

Корни  исходного уравнения:  х =  arctg 2 + n, х = - arctg + n, n Z.

3) Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к однородным:

I тип: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d.

Пример. 5 sin2x +  sinx cosx - 2 cos2x = 2.

5 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 2 (sin2x + cos2x),

5 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x - 2 sin2x - cos2x = 0,

3sin2x +  sinx cosx – 4 cos2x = 0,

  Так как  sinx и cosx  не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на   cos2x, имеем:   3tg2х + tg х - 4 = 0.

   Обозначая tg х = у, получаем уравнение 3у2 + у - 4 = 0, откуда у = 1, у = - .

   Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) tg x = 1,  х  =    + n, n  Z.

 2) tg х = - ,   х= arctg(-) + n,   х = - arctg  + n, n  Z.  

Корни  исходного уравнения:  х =   + n, х = - arctg +n, n  Z.

II тип: a sin2x + b sin 2x + c cos2x = d.

Пример. 6sin²x + 2sin2x - 1= 0.

 Используя формулы: sin2x + cos2x = 1,  sin2x = 2 sinx cosx,преобразуем уравнение:

6sin²x + 4sinxcosx - sin2x - cos2x = 0,

5sin²x + 4sinxcosx - cos2x = 0,

Так как    не могут быть равными нулю одновременно, то разделив обе части уравнения на   cos2x, имеем:   5tg2х + 4tg х - 1 = 0.

Обозначая tg х = у, получаем уравнение 5у2 + 4у - 1 = 0, откуда у = -1, у =  .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

            1) tg x = -1,  х  = -    + n, n Z.

                         2) tg х =  ,   х= arctg  + n, n  Z.

Корни  исходного уравнения:  х = -   + n, х = arctg +n, n  Z.

III тип: a sinx + b cos x + c = 0.

Пример.   2 sinx + cosx = 2.

Используя формулы sinx = 2sincos,   cosx = cos2  - sin2 и записывая правую часть уравнения в виде 2 = 2∙1= 2∙(cos2 + sin2), получаем:

4sincos + cos2 - sin2 = 2cos2 +2 sin2.

3 sin2 - 4sincos + cos2 = 0.

Поделив это уравнение на  cos2, получим равносильное уравнение

                         3tg2 – 4 tg +1= 0.

Обозначая tg= у, получаем уравнение 3у2- 4у + 1= 0, откуда у1 = 1, у2 = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) tg  = 1,        =    +n ,   х =  +2n, n Z.

     2) tg = ,    = arctg  + n,   х = 2arctg +2n, n Z.

Корни  исходного уравнения: х =  +2n, х = 2arctg +2n, n Z.

4) Уравнения вида    a(sinx+cosx) + b sin2x + c = 0.

Вводя замену  t = sinx + cosx, откуда t2 =(sinx + cosx)2 = sin2x + 2sinx∙cosx + cos2x = 1+ sin2x, sin2x = t² -1,получаем уравнение: at + b(t2 – 1) + c = 0.

Пример. 4 + 4sinx cosx  -5(sinx + cosx) = 0.

4 + 2sin2x - 5(sinx + cosx) = 0.

sinx + cosx = t,    sin2x = t²-1.

4 + 2(t²-1) - 5t = 0,

2t² -5t + 2 = 0.

t1 = , t2 = 2,

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1)sinx + cosx =,  (решим методом дополнительного угла)

(  sinx + cosx) = ,     cos  sinx + sin cosx =  ,

sin (x + ) = ,       x +  = (-1)n arcsin   +n,

x = -  + (-1)n arcsin   +n, n Z.

2) sinx + cosx = 2,   sin(x + ) = ,

sin(x + ) =   нет корней, т.к. |+ )| ≤ 1.

Корни  исходного уравнения:     x = -  + (-1)n arcsin   +n, n Z.

5) Уравнения вида a cos 2x + b cos x + c = 0 (a cos 2x + b sin x + c = 0).

В решении используется тождество: cos 2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x -1 =1 - 2 sin2 x.

Пример.  2 - cos 2x + 2cos(+ x) = 0.

1. Воспользуемся формулой приведения: cos( + x) = - sin x, получим уравнение:

                                               2 - cos 2x - 2sin x = 0.

2. Теперь cos 2x удобнее выразить через  sin2 x, поскольку в уравнении присутствует sin x.

    2 - (1 - 2 sin2 x) - 2sin x = 0;    1 + 2 sin2 x - 2sin x = 0;   2 sin2 x - 2sin x + 1 = 0,

- 2sin x + 1= 0,     = 0,     sin x = 1,        sin x = .

х = arcsin    + n =    + n, n  Z .

Корни  исходного уравнения:   х =    + n, n  Z .

6) Уравнения, содержащие cos4x и  sin4x.

Пример.  1)   cos4x + sin4x - 2 sin 2x +  sin2 2x = 0.

Преобразуем сумму: cos4x + sin4x = cos4x + sin4x + 2 sin2x cos2x - 2 sin2x cos2x = (cos2x + sin2x)2 - (2sinx cosx)2 = 1 - sin2 2x, тогда уравнение принимает вид:

      1 - sin22x - 2 sin 2x +  sin2 2x = 0,      4 - 2 sin22x - 8 sin2x + 3 sin22x = 0,

                                          sin22x - 8 sin2x + 4 = 0,

                 Пусть у = sin 2x, тогда у2 - 8у + 4  = 0.

                 у1,2 = 4 ± = 4 ± = 4 ±  2

    Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

sin 2x = 4 -  2

2х =  arcsin (4 - 2) + n, n  Z,

х =   arcsin (4 -  2) + , n  Z.

      2) sin 2x = 4 +  2нет корней, т.к. | sin 2x| ≤ 1.

Корни  исходного уравнения:    х =   arcsin (4 - 2) + , n  Z.

2) cos4 x - sin4 x + 3sin x - 2 = 0.

Упростим разность: cos4 x – sin4 x = (cos2 x – sin2x) (cos2 x + sin2 x) = cos 2x∙1=1 - 2 sin 2x.

Далее получаем:  1 - 2 sin 2x + 3 sin x - 2 = 0,        2 sin 2x - 3 sin x + 1 = 0.

Введем замену t = sin x, получим квадратное уравнение  2t2 – 3t +1 = 0,корни которого

t1 =1, t2 =  .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

sin x = 1,  x =  +2n, n Z.

sin x =  ,  x =  arcsin   + n =    + n, n  Z

Корни  исходного уравнения:    x =  +2n, х =    + n, n  Z .

7) Более сложные уравнения.

Пример. 1)   6tg x + 5 ctg 3x = tg 2x.

ОДЗ уравнения: cos x ≠ 0, sin 3x ≠ 0, cos 2x ≠ 0.

Запишем уравнение в виде: 5tg x + 5 ctg 3x = tg 2x - tg x и заменим

tg x = , ctg 3x =  ,tg 2x = , получим: 5=  -

Приводим к общему знаменателю обе части уравнения:

 = .

Числитель левой части уравнения представляет собой косинус разности двух углов, а числитель правой части уравнения представляет собой синус разности двух углов:

 = ;     = ;  5 cos22x = sin 3x sin x.

Заменяя правую часть уравнения полуразностью косинусов:

sin 3x sin x =  (cos(3x - x) - cos (3x + x)) = (cos 2x - cos 4x) и умножая обе части уравнения на 2, имеем: 10cos2 2x = cos 2x - cos 4x,   10cos2 2x - cos 2x + cos 4x = 0,

10cos2 2x – cos 2x + 2cos2 2x + 1 = 0,      12cos2 2x – cos 2x + 1 = 0.

Сделав замену cos 2x =у, получим квадратное уравнение:  12у2 - у - 1 = 0.

у1,2 =  =  = .

у1 =  =  = , у2 =  =  = -  .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

          1)  cos 2x = ,   2х = ± arccos  + 2n,  x = ±   arccos  +πn,  n  Z

           2) cos 2x = - ,   2х = ± arccos (-  ) + 2n,   x = ±  (-arccos ) +n,  n  Z

Корни  исходного уравнения:   x = ±   arccos  +n,  x = ±  (-arccos ) +n, n  Z.

2) tg 2x + sin 2x = 4 ctg x.

Воспользуемся следующими формулами: tg 2x =  , sin 2x =  , ctg x =  .

Однако в этом случае возможна потеря решений  x =  +n, n Z. Поэтому необходимо проверить, не являются ли углы x =  +n решениями исходного уравнения:

tg 2+ sin 2- 4ctg = tg + sin- 4ctg=

= tg + sin – 4ctg= 0 + 0 – 0 = 0.

Итак, x =  +n, n Z, - решения исходного уравнения.

Далее:  +  = ;   tg x  = ;       = ;

   =      

Решим уравнение

Произведя  замену  у = tg2x, у ≥ 0, имеем у2 + у - 1 = 0, откуда у1,2 = .

у =  условию у ≥ 0 не удовлетворяет, следовательно, tg2x = .

| tg x |=  ,  tg x = ±  , х = ± arctg +n,  n  Z.

Корни  исходного уравнения:   x =  +n,  х = ± arctg +n,  n  Z.

IX) Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1) Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.

Пример. 1)  arcsin 2 x - arcsin х +    = 0.

      Пусть  arcsin x = y,  y [- ;  ]

            y2 - y +  = 0.     D =  - 4∙  ∙1=   .

y1,2  =   =           y1=   =   ,   y2 =   =  .

1) arcsin x =   ,   x = sin  ,   x= .

2) arcsin x =   ,   x = sin  ,   x=      

Корни  исходного уравнения:      x1= ,   x2=

2) arccos2x – arccos x += 0.

Пусть arccos х = y,       у   [0; ]

   y2 – y + = 0.    D =  - 4∙  ∙1 =   .

y1,2  =   =           y1=   =   ,   y2 =   =  .

1) arccos x =   ,   x = cos  ,      x= .

2) arccos x =   ,   x = cos  ,      x=      

Корни  исходного уравнения:      x1= ,         x2 =

3) arctg2(3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.

      Пусть   arctg (3x + 2) = y,  y   (- ;  

 y2 + 2y = 0,        y (y + 2) =0,       y = 0    или          y = -2,   -2 (- ;  

 arctg (3x + 2) = 0,         3x + 2 = tg 0,    3x + 2 = 0,           х = .                        

Корень  исходного уравнения:    х =.

4) arccos2x - arccos x += 0.

Пусть arccos х = y,       у   [0; ]

   y2 – y += 0.    у1 = 3, у2 = 5.

  у2 = 5  [0; ], следовательно, arccos х = 3, х = cos 3.

Корень  исходного уравнения:    х = cos 3.

2) Уравнения, решаемые с помощью определений обратных тригонометрических функций.

Пример.   arcsin (x2 – 4x + 3) = 0.

 sin(arcsin( x2 – 4x + 3))= sin 0,      x2 – 4x + 3 = 0.    

                          х1=1,   х2=3.

 Проверка:  x=1,  arcsin 0 = 0 – верно,  x = 1 – корень уравнения.

                     x=3,   arcsin 0 = 0 – верно, x = 3 – корень уравнения.

Корни  исходного уравнения:            х1=1,   х2=3.

2)   4 arctg (x2 – 3x – 3 ) - π = 0 .

      4 arctg (x2 - 3x – 3) = ;     arctg (x2 – 3x – 3) =  .                                              

        x2 - 3x - 3 = tg ;          x2 - 3x - 3 = 1;      x2 - 3x - 4 = 0.

            x1= -1,   x2= 4.

Проверка:  x = -1,    4 arctg (12 + 3 ∙1 - 3) - = 4 arctg 1 - = 4∙ = -  = 0 - верно,            x = -1 – корень уравнения

                         x = 4,      4 arctg (42 - 3 ∙ 4 – 3) -  = 4 arctg 1 - = 4∙ = -  = 0 - верно,  

  x = 4 – корень  уравнения .

Корни  исходного уравнения:            х1 = - 1,   х2 = 4.

3)    arccos (x2 – 2) = .

x2 - 2 = cos;               x2 - 2= -1;              x2 = 1.

x= ± 1.

       Проверка:  x=1,  arccos (12 – 2) =   – верно, x = 1 – корень уравнения

                          x= -1, arccos ((-1)2 – 2) = – верно, x = -1 – корень уравнения.

Корни  исходного уравнения:     x= ± 1.

X) Комбинированные уравнения.

Пример 1) 1 +  = 3∙ .

Преобразуем показатель степени, стоящий в правой части уравнения:

 = =  =  -  tg x = (1 - tg x).

Тогда исходное уравнение примет вид: 1 +  = 3∙;

1 +  = 3∙;  1 +  = . обозначив  = у, у > 0, имеем

1 + у = ;   у2 + у – 6 = 0, откуда у1 = 2, у2 = - 3.

у2 = - 3 не удовлетворяет условию у > 0, следовательно,  = 2, tg x = 1,

 x =  +n, n Z.

Корни  исходного уравнения:   x =  +n,  n  Z.

2)  = 6 cos x – 2.

Обозначим  cos x = у, | у |  ≤ 1, тогда данное уравнение примет вид:

  = 6у – 2.    Полученное иррациональное уравнение возведем в квадрат

 при следующих условиях:Т.е.≤ у ≤  .

 = ()2;   = 36у2 – 24у + 4; 36у2 – 6у – 6 = 0; 6у2 - у – 1 = 0.

у1,2 =  = . у1 =  =  = , у2 =  =  = -,

у = - не удовлетворяет условию≤ у ≤  .

Возвращаясь к переменной х , получаем уравнение cos x = , откуда х = ±   +n,  n Z.

Корни  исходного уравнения:   x = ±  +n,  n  Z.

3) 72х + 3|7х -5| = 7х +1 + 6.

1) Если 7х -5 ≥ 0, т.е. 7х ≥ 5, то |7х -5| = 7х -5 и уравнение примет вид:

72х + 3(7х -5) = 7х +1 + 6;  72х + 3∙7х - 15 - 7∙7х  - 6 = 0;  72х  - 4∙7х - 21 = 0.  

Пусть у = 7х, у > 0, тогда имеем уравнение у2 - 4у - 21 = 0, корни которого у1 = 7, у2 = - 3.

у2 = - 3 не удовлетворяет условию у > 0, следовательно, 7х = 7, откуда х = 1.

2) Если 7х -5 < 0, т.е. 7х < 5, то |7х -5| = -  (7х -5) и уравнение примет вид:

 72х - 3(7х -5) = 7х +1 + 6; 72х - 3∙7х + 15 - 7∙7х  - 6 = 0;  72х  - 10∙7х + 9 = 0.  

Пусть у = 7х, у > 0, тогда имеем уравнение у2 - 10у + 9 = 0, корни которого у1 = 1, у2 = 9.

Оба значения удовлетворяют условию у > 0, следовательно, имеем два уравнения

1) 7х = 1, откуда х = 0.

2) уравнение 7х = 9 не удовлетворяет условию 7х < 5.

Корни исходного уравнения   х1 = 1, х2 = 0.

4)3∙ +  - 25 = 0.

Обозначим  = у, у > 0. Тогда 3у +  - 25 = 0;   3у2 - 25у + 8 = 0.

у1,2 =  =  = ,  х1 = 8, х2 = .

Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая:

1) = 8;  = ;  = 3; х - 1 = 9; х = 10.

2) = ;    =;  =;   = - - нет корней, т.к. - < 0.

Корень исходного уравнения  х = 10.

5)3=  + 5.

Преобразуем выражения под знаком логарифма.

1) =  =  = .

2) =  =  = .

Обозначив у = , получим 3 = + 5;  3 = -2 + 5; 5 = 5;

 = 1; у = 2.

Возвращаясь к переменной х, имеем  = 2; х2 -5х + 4 = 2х - 6; х2 -7х + 10 = 0.

х1,2 =  =  = ,  х1 = 5, х2 = 2.

Проверка. 1) х1 = 5,     3= 3= 3.

 + 5 = =  + 5 =  - 2 + 5 = 3.

3 = 3 - тождество, х1 = 5 - корень уравнения.

 2) х1 = 5,     3= 3= 3.

 + 5 = =  + 5 =  - 2 + 5 = 3.

3 = 3 - тождество, х2 = 2 - корень уравнения.

Корни исходного уравнения    х1 = 5, х2 = 2.

Дидактический материал.

1) Решите  биквадратные уравнения:

1)  4х4 + 3х2- 1 = 0;      2) 4х4 -5х2 + 1 = 0;    3) х4 - 5х2 + 4 = 0;    4) х4 - 8х2 - 9 = 0;

5) (х +5)4 + 8( х +5)2- 9 = 0; 6) х6 – 7 х3 – 8 = 0.

2) Решите возвратные уравнения:

1)х4 + 2х3 -х2 + 2х +1 = 0;     2) х3 - 5х2 -5х + 1 = 0.

3) 6х4 - 35х3 + 62х2 -35х + 6 = 0.

3) Решите уравнения, содержащие переменную величину под знаком  модуля:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

1)(х - 2) 2 - 8∙|х - 2| + 15 = 0;    2) 4х2 – 12х - 5∙|2х -3| +15 = 0;    

 3) 9х2 - 24х - 3∙|2х -3| = 4;    4) х2 -| х | - 6 = 0.

5) х∙| х - 5| + 4 = 0.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

                                                          4) Решите уравнения:

1) (х2+3х+1) (х2+3х+3) +1= 0;          2) х3 - 5х2 +7х - 2 = 0;

                               3) х4 + (х + 2)4 = 82;           4) (2х2- 3х +1)(2х2 -5х +1) = 9х2.  

5) (х +3)4 + (х+5)4 = 16.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

5) Решите уравнения,

1) (х-1) х (х+1) (х+2) = 24,          2) (x - 7)(x - 4)(x - 1)(x + 2) = 40.

6) Решите рациональные уравнения:

1) +  = 1;   2) +  + 4 = 0; 3) +  = .

7) Решите иррациональные уравнения:

1)  х2 +3х + 4  = 36;   2)    +  = 12.

8) Решите показательные уравнения:

                    1) 2∙9х – 3х+1 – 9 = 0,    2) 22 + х  - 22 – х = 15, 3) 22х +1 - 33∙2х -1 + 4 = 0,

                      4) 4х +52х+1 – 6∙10х = 0,        5) 22х+1 – 5∙6х  + 3∙9х = 0.

                                   9) Решите  логарифмические уравнения:

1) +  = 8;          2) 3∙ -  =1;  

                     3) -  = 5.

                               10) Решите показательно – логарифмические уравнения:

                1)   = ;     2)  = .

                                11) решите тригонометрические уравнения:

    1) 4sin2x - cosx - 1= 0;       2) tg2x - tgx +1 = 0;       3) 3cos2x - 3sinx - 1 = 0;

4)3 sin2x – 7 sinx cosx + 2 cos2x = 0;   5) tg x +3 ctg x = 4, 6) 3 cos x + 2 sin x = 1;

7) sin 2x = cos x + sin x + 1;   8) 2 cos 2x - 3 cos2 x - 2 sin x = 0;    9) 2tg x + 3ctg x = 5;

10) 3 + cos 2x + 3 cos x = 0;     11) 3sin2 x – 5sin x cos x - 8cos2x = 0;

 12) cos4 x + sin4 x =  sin 2x;        13) cos4 x - sin4 x =  sin x.

12) Решите уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1) arcsin2  x –arcsin x + = 0;   2)  arctg2x –arctg x+ = 0.          

13) Решите комбинированные уравнения:

1) 32х +1 + 4∙3х + 2|3х -2| - 5 = 0;      2) 5=  + 7.

Литература:

Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. М."Дрофа",1999г.

Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск. НГМА,2003г.

Алгебра и начала анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов и др/-М. просвещение,2010г.

Алгебра. ЕГЭ: шаг за шагом /А.А. Черняк, Ж.А.Черняк,- Волгоград: Учитель,2012.

Математика. ЕГЭ- 2006,вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной   подготовки. Ростов-на-Дону, Легион, 2005.