Конспект урока по теме: "Решение тригонометрических неравенств"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Щалпегина Ирина Владимировна
Опубликовано 31.03.2013 - 13:12 - Щалпегина Ирина Владимировна

 

Тема «Тригонометрические неравенства»  является объективно сложной для восприятия и осмысления  учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

В статье представлен алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и приведен конспект урока, на котором осваиваются более сложные типы тригонометрических неравенств.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл reshenie_trigonometricheskih_neravenstv.docx365.17 КБ

Предварительный просмотр:

Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

Щалпегина И.В.

        Тема «Тригонометрические неравенства»  является объективно сложной для восприятия и осмысления  учащимися 10 класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса,  косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

  1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
  2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
  3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.
  4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
  5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
  6. Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2 по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак «+» или «-» в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
  7. Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа) и Рt2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1 и t2.
  8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом  аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: «Решение тригонометрических неравенств».

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

  1. закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
  2. формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
  3. освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
  4. развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
  5. воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
  6. формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок.  Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

N п/п

Этапы урока.

Содержание.

Организация класса на работу.

Проверка домашнего задания.

(Сбор тетрадей с домашней работой)

Формулировка цели урока.

- Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.

Устная работа.

(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)

  1. Решить тригонометрические уравнения:

sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x - ) = 0, cosx = ,  

cosx = -,  cos2x = 1, tgx = -1.

  1. Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.

Повторение.

- Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств. Ученик подробно объясняет алгоритм решения. Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).

1)  sinx  ≥ -;

t1  t2;

t1 = arcsin(-) = -;

t2 =  +  = ;

-  + 2n ≤ х ≤  + 2n, n  Z.

2) cosx ≥ -;

t1  t2;

t1 = arccos(-) =  - arccos =

=  -  = ;

t2 = -;

- + 2n ≤ х ≤ + 2n, n  Z.

- Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства?

(3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках).

3) cosx  ;

t1  t2;

t1 = arccos = ;

t2 = 2 -  = ;

 + 2n  х  + 2n, n  Z.

4) sinx  ;

t1  t2;

t1 = arcsin = ;

t2 = - -  = -;

 + 2n  х  + 2n, n  Z.

- Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища.

(Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия).

- Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ?(Оценивание работ учащихся).

6.

Новый материал.

- Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,

решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.

(Решение неравенств на доске под руководством учителя).

№1. cos22x – 2cos2x ≥ 0.

 (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).

cos2x(cos2x – 2) ≥ 0.

Замена: cos2x = t,  ≤ 1; t(t – 2) ≥ 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию  ≤ 1.

cos2x ≤ 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).

Ответ:  + n  х  + n, n  Z.

№2. 6sin2x – 5sinx + 1 ≥ 0.

(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).

Замена sinx = t,  ≤ 1. 6t2 – 5t +1 ≥ 0, 6(t - )(t - ),

Ответ:  + 2n ≤ х ≤ + 2n, --arcsin+ 2k ≤ х ≤ arcsin+ 2k,

n, k  Z.

№3. sinx + cos2x  1.

(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).

sinx + cos2x - 1 0, sinx – 2sin2x  0,  sinx(1 - 2 sinx)  0,

Ответ:

2n  x   + 2n,

 + 2n  x   + 2n, n Z.

Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:

№4. coscosx - sinsinx  -.

(Обсуждение.  К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).

cos(x + )  -, cost  -.

 + 2n  t   + 2n, nZ,

 + 2n  x +    + 2n, nZ,

 + 2n  x   + 2n, nZ.

Ответ:

 + 2n  x   + 2n, nZ.

№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.

(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).

4sinx + 3cosx ≤ а, М =  = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx ≤ . Так как ()2 + ()2 = 1, то существует такой угол α, что cosα = ,  а sinα = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + α) ≤ . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что

 ≥ -1, то есть при каждом а ≥ -5. Ответ: а ≥ -5.        

7.

Домашнее задание.

(Раздаю карточки с записью домашнего задания. Комментирую решение каждого неравенства).

  1. cosx  sin2x;
  2. 4sin2xcos2x  -;
  3. cos2 ≤ sin2 - 0,5;
  4. sinx + cosx  1.

Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.

8.

Подведение итогов, рефлексия.

 - Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.

- Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?

- Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?

(Оцениваю работу учащихся на уроке).

Самостоятельная работа

по результатам освоения материала.

Вариант 1.

      Решите неравенства 1 – 3:

  1. sin3x -   0;
  2. cos2x + 3cosx  0;
  3. coscos2x - sinsin2x ≥ -.
  4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2.

      Решите неравенства 1 – 3:

  1. 2cos  1;
  2. sin2x – 4sinx  0;
  3. sincos3x - cossin3x ≤ -.
  4. Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx - 8cosx ≤ а имеет хотя бы одно решение.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

конспект урока по теме: "Решение показательных уравнений и неравенств". алгебра 11 класс

Используется дифференцированный метод обучения....

план конспект урока по теме "Решение логарифмических неравенств"

план - конспект урока по теме "Решение логарифмических неравенств" для учащихся 10 класса. Материал можно использовать для подготовки к ЕГЭ в 11 классах...

Конспект урока по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств", 11 класс

Конспект урока "Решение логарифмических уравнений и неравенств", 11 класс, подготовка к контрольной работе. Завершающий урок по изучению темы " Логарифмы. Решение логарифмических уравнений и неравенст...

конспект урока по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств".

Урок обобщения и систематизации знаний в 11 класе по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств"...

План конспект урока по теме: « Решение квадратных неравенств методом интервалов»

План конспект урокаТема: « Решение квадратных неравенств методом интервалов»Предмет: алгебраКласс: 8Базовый учебник: Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. шк./А. Абылкасымова, В. Корчевский и др. ...

конспект урока по теме Решение логарифмических уравнений и неравенств, 11 класс

Цели урока:Образовательные:  повторение теоретического  материала, закрепление  умения  применять свойства при решении логарифмических  уравнений и неравенств, обобщение...

Конспект урока по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Предлагается конспект урока и 8 флипчартов для интерактивной доски AktivBoard по теме "Решение тригонометрических уравнений". Это урок закрепления и систематизации знаний. Формы организации урока: гру...