Сборник вариантов экзаменационных примеров и задач по математике для слушателей подготовительных курсов(на базе основного общего образования-9 классов)
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) по теме

СОСТАВИТЕЛЬ:

Медоева Л.Х.     преподаватель математики

ГАОУ СПО№28

Сборник содержит 35 вариантов примеров задач. Материалы сборника составлены по программе для поступающих в средние специальные заведения.

Одобрено кафедрой общеобразовательных дисциплин

Вариант №1

1. Задача. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 часа. Но он увеличил скорость на 3 км/ч, а поэтому на весь путь затратил 1 часа. Найдите длину пути.
2. Задача. Основания равнобедренной трапеции равны

7 см и 13 см, а её площадь 40 кв. см. Определить периметр трапеции.

3. Упростить:

4. Вычислить:

5. Вычислить:

Вариант №2

1. Задача. Расстояние между А и Б пассажирский поезд проходит на 45 мин. Скорее, чем товарный. Определить это расстояние, если известно, что скорость пассажирского поезда равно 48 км/час, а товарного 75% от скорости пассажирского.
2. Решить уравнение:

3. Упростить:

4. Упростить:

5. Задача. В треугольнике АВС основание АС равно 60см, высота, опущенная из вершины В равно 12 см. Медиана, проведенная из точки В равно 13 см. Определить АВ, если АВ больше ВС.

Вариант №35

1. Задача. Два электропоезда выходят одновременно на встречу друг другу из городов А и В (АВ=112 км) и встречаются через 56 минут. Продолжая движение, первый приходит в В на 15 минут раньше чем второй в А. Найдите скорость каждого поезда.
2. Решить неравенства:

Упростить:

3. Упростить:

4. Задача. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3 см, а один из катетов равен 10 см.

Вариант №34                                        

1. Поезд выходит из города А и через 10 час 40 мин приходит в город В, если бы скорость была на 10 км/час меньше, то он бы пришел в город В на 2 часа 8 минут позже. Найти расстояние между городами и скорость поезда.
2. Выполнить действия:

3. Найти сумму членов с третьего по шестой включительно геометрической прогрессии: 32, 16,….
4. Упростить:

5.  Задача. Диагонали параллелограмма равны 15 см и 13 см, а высота равна 12 см. Найти стороны параллелограмма

Вариант №3

1. Задача. Расстояние между городами А и Б по шоссе равно 50 км. Из города А в город Б отправился велосипедист, а через 1 час 30 мин. вслед за ним отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город Б на 1 час раньше его. Найти скорость, зная, что мотоциклист двигался со скоростью в 2.5 раза большей, чем велосипедист.
2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Упростить:

5.  Задача. В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 8 и 6. Расстояние между хордами 7. Определить радиус окружности.

Вариант №4

1. Задача. Проехав за 1 час половину пути, шофер увеличил скорость на 15 км/ч,  и прошел вторую половину пути за 45 мин. С какой скоростью шла машина первую половину пути.
2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Упростить:

5. Задача. Около окружности радиуса 4 см уписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 500% от радиуса. Найти катеты.

Вариант № 33

1. Задача. В первом зале 320 мест, во втором – 360. В первом зале на два ряда больше, чем во втором, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду второго зала. Сколько рядом в каждом зале?
2. Упростить:

3. Решить неравенство:

4. Упростить:

5. Задача. В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и катета равна 16 см, а другой катет равен 8 см. Найти площадь треугольника..

Вариант №32

1. Задача. В результате инфляции первоначальная цена товара повысилась на 20%, затем еще на 10%. После нового пересчета эта цена повысилась еще на 10%. На сколько процентов повысилась первоначальная цена товара?
2. Упростить:

3. Задача. При каком значении p уравнение

Имеет два различных корня?

4. Найти значение x, если

5. Задача. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.

Вариант №5

1. Задача. Цена 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 405 руб. Однако при 15% скидке на первый том и 10% скидке на второй том приходится оплатить 355 руб. 50 коп. Определить цену первого и второго томов.
2. Задача. Высота равнобедренной трапеции равна 3 см., средняя линия равна 8 см., а острый угол трапеции равен 45. Определить основания трапеции.
3. Решить систему:

4. Упростить:

5. Вычислить:

Вариант №6

1. Задача. Из города А в город В отправился пешеход. Расстояние АВ равно 10 км. Через 30 мин после него из города А в город В отправился велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист, обогнав пешехода, и доехав до города В, возвратился обратно в город А и приехал туда в тот момент, когда пешеход приходит в город В. Определить скорость пешехода.
2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Упростить:

5.  Задача. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию на отрезки 7.5 см и 12.5 см. Определить периметр. 

Вариант №31

1. Некто сделал вклад в 10000 рублей. Через два года его вклад увеличился на 6900 рублей. Какой процент годовых получает вкладчик?
2. Решить уравнения, разложить левую часть на множители:

3. Упростить:

4. Доказать тождество:

5. Задача. Три круга радиусами 6 см касаются друг друга. Найти площадь фигуры, заключенной между этими кругами.

Вариант №30

1. Задача. Три насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 3 часа. Первый и второй насос, работая вместе, наполняют за 6 часов, а второй и третий, работая вместе, наполняют этот бассейн за 4.5 часа. За какое время наполнял бы этот бассейн каждый насос, работая в отдельности?
2. Упростить.

3. Решить уравнение:

1+7+13+19+…+x=280

4. Упростить:

Задача. Найти площадь параллелограмма, если его высоты равны  и 8 см, а угол между ними 60º.

Вариант №7

1. Задача. Бригада рабочих должна была в определенный срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала выполнения задания бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за 1 день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада в 1 день.
2. Вычислить:

3. Упростить:

4. Вычислить:

5. Задача. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 см и 44 см, а не параллельные равны 17 см и 25 см.

Вариант №8

1. Задача. Автомобиль прошел путь от А до Б со скоростью
   = 60 км/ч и обратно со скоростью = 40 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля.
2. Задача. Найти сумму 20 членов арифметической прогрессии, если .
3. Упростить:

4. Упростить:

5. Задача. Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна 24 кв. см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найти площадь круга.

Вариант № 29

1. Задача. Две бригады, работая вместе, закончили ремонт участка пути в 6 дней. Одной первой бригадой для выполнения 40% всей работы потребовалось бы времени на 2 дня больше, чем одной второй бригаде для выполнения 13 % всей работы. Определить, во сколько дней могла бы отремонтировать каждая бригада отдельно весь участок.
2. Упростить:
3. Решить неравенства:

4. Вычислить:

5. Задача. В прямоугольном треугольнике ABC (угол С-прямой) биссектриса угла С делит гипотенузу АВ на отрезки 15 и 20 см. Найти площадь треугольника.

Вариант №28

1. Задача. Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности. На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на полтонны меньше, но на четыре автомашины больше. Какое количество автомашин было затребовано?
2. Упростить выражение:

И вычислить, если a=0.1, b=29.05, c=1.05

3. Решить неравенство:

4. Вычислить:

5. Задача. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 м больше другого. Определить длину гипотенузы.

Вариант №9

1. Задача. Спортивная площадка прямоугольная форма имеет площадь, равная 720 кв. м. Если длину площадки увеличить на 6 м, а ширину уменьшить на 4 м, то получится прямоугольник равновеликий первому. Найти длину и ширину спортивной площадки.
2. Упростить выражение:

3. Задача. Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а девятый член равен (-6). Сколько надо взять членов прогрессии, чтобы сумма их была равна 54?
4. Докажите тождество:

5.Задача. В трапецию ABCD с основанием BC и AD и с боковыми сторонами AB и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, OC = 2 см, OD = 4 см.

Вариант № 10

1. Задача. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найти это число.
2. Упростить выражение:

3. Задача. При каких значениях a корень уравнения

, удовлетворяютсоотношению

4. Вычислить:

5. Задача. Из конца диаметра по одну сторону от него проведены две хорды, стягивающие дуги 60 и 90. Определить площадь части круга, ограниченной этими хордами, если радиус круга равен R.

Вариант №27

1. Задача. В первый рабочий день фирменный магазин «ЭФИР» продал 105 телевизоров, каждый следующий рабой день месяца продажа возрастала на 10 телевизоров и месячный план – 4000 телевизоров – был выполнен досрочно, причем в целое число рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней?
2. Доказать тождество:
3. Решить систему уравнений:

4. Доказать тождество:

5.  Задача. В прямоугольном треугольнике, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника

Вариант №26

1. Задача. Два скрепера разной мощности, работая вместе, могут выполнить работу за 6 часов. Если бы первый проработал 4 ч., а затем второй 6 ч., то они выполнили бы 80% всей работы. За сколько часов каждый скрепер, работая отдельно, может выполнить всю работу.
2. Вычислить:

3. Разложить на множители многочлен:

4. Доказать тождество:

5. Задача. На стороне АВ, равной 10 см, треугольника АВС, как на диаметре построена окружность, делящая сторону треугольника ВС на части 4:3. Найти площадь треугольника, если угол АСВ равен 45 градусам.

Вариант №11

1. Задача. При стройке здания требовалось вынуть 8000 куб. м земли в определенный срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней, вследствие того, что бригада землекопов ежедневно перевыполняла план на 50 куб. м. Определить, в какой срок должна была быть окончена работа и найти ежедневный процент перевыполнения.
2. Выполнить действия:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5.  Задача. Равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине 120 градусов и боковой стороной равной 2 см вписан в окружность. Найти площадь треугольника и диаметр окружности.

Вариант №12

1. Задача. Двое рабочих выполняют определенную работу за 6 дней. Если первый рабочий будет работать в два раза быстрее, а другой в два раза медленнее, то эту работу они выполнят за 4 дня. За сколько дней выполнил бы работу каждый рабочий?
2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение:

4. Упростить выражение:

5. Задача. В равносторонний треугольник со стороной a вписан круг. Найти площадь круга.

Вариант №25

1. Задача. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того, как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 8 деталей. Сколько деталей изготовляет за смену каждый рабочий после повышения производительности труда?
2. Решить уравнение:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5. Задача. Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом 120 градусов. Определить его стороны.

Вариант №24

1. Задача. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, в которой сумма первых пяти членов равна 31, а сумма членов, начиная с четвертого и до восьмого включительно, равна 248.
2. Решить неравенство:

3. Упростить:

4.  Доказать тождество:

5. Задача. В трапеции ABCD AC и BD – диагонали. Из вершины В на диагональ АС опущен перпендикуляр ВЕ, ВЕ = 1 м, АС = 2 м. найти площадь треугольника BCD.

Вариант №13

1. Задача. Двое велосипедистов одновременно отправились в путь из пункта А в пункт В. Первый велосипедист первые два часа ехал строго на восток, а вторые два часа на север, со скоростью меньшей первоначальной на 6 км/ч. Второй велосипедист ехал строго в пункт В со скоростью на 6 км/ч большей, чем первоначальная скорость первого велосипедиста и был в пути 2 часа. Какое расстояние проехал каждый велосипедист в отдельности?
2. Выполнить действия:

3. Задача. Произведение третьего, шестого, девятого членов геометрической прогрессии равно 32768. Найти шестой член этой прогрессии.
4. Упростить выражение:

5.  Задача. В трапеции ABCD высота равна 22 см. Ее площадь 594 кв. см, а разность параллельных сторон равна 6 см. Найти эти стороны. 

Вариант №14

1. Задача. Найти длину и скорость поезда, зная, что он проходит мимо человека, стоящего на платформе, за 6 секунд, а мимо платформы длинной 420 м за 24 секунды.
2. Выполнить действия:

3. Задача. При каком x0 три числа x, x+4, +2 взятые в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию?
4. Упростить выражение:

5. Задача. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием  вписана окружность радиуса 2. Найти площадь треугольника.

Вариант №23

1. Задача. Все абитуриенты, подавшие заявление сдавали вступительные экзамены по математике. 15% поступающих получили неудовлетворительные оценки, а 66 человек решили задание с ошибками, а число верно решивших все задачи относится к числу не решивших вовсе как 14:3. Сколько поступающих успешно сдали экзамены по математике в этот день?
2. Упростить выражение:

3. Вычислить выражение:

4. Решить систему уравнений:

5. Задача. Дана окружность радиуса R и квадрат, две вершины которого лежат на прямой касающейся окружности, а две другие лежат на окружности. Вычислить сторону квадрата.

Вариант №22

1. Задача. До повышения цен на транспортные услуги товар стоил 1 млн. руб. После двух последовательных повышений цен по транспортным услугам на одинаковое число процентов, товар стал стоить 1.44 млн. руб. На сколько процентов повышались каждый раз транспортные услуги?
2. Доказать справедливость равенства:

3. Задача. Найти все значения а, при которых один из корней уравнения  второе больше другого.
4. Упростить выражение:

5. Задача. Найти гипотенузу прямоугольного прямоугольника, если его периметр равен 24 см, а площадь 24 кв. см.

Вариант №15

1. Задача. После двух последовательных снижения цен на одно и то же число процентов товар стал стоить 1920 рублей. На сколько процентов снижалась цена товара, если до снижения цен он стоил 3000 рублей.
2. Упростить выражение:

3. Вычислить:

4. Доказать тождество:

5.  Задача. В трапеции ABCD основания равно 20 см и 7 см, а диагонали 13 см и  см. Найти площадь трапеции. 

Вариант №16

1. Задача. Тепловоз должен был проехать расстояние от города А до города В, равное 250 км, за некоторое время. Но когда тепловоз проехал 60% этого расстояния, он был задержан у семафора на 15 минут. Затем, увеличив первоначальную скорость на 20 км/ч, машинист привел поезд в город В без опоздания. Какова первоначальная скорость тепловоза?
2. Упростить выражение:

3. Решить уравнение:

4. Упростить выражение:

5. Задача. В треугольнике АВС проведена медиана BD. Точка М делит эту медиану пополам. Найдите площадь треугольника AMD, если площадь данного треугольника равна S.

Вариант №21

1. Задача. Среднее геометрическое двух чисел на 8 больше меньшего из этих чисел, а средняя арифметическая этих же чисел на 12 меньше большего из этих чисел, найти эти числа.
2. Упростить выражения, вычислить х=2:

3. Найти значение выражения:

, если  +=а

4. Решить неравенства:

5. Задача. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15. Радиус вписанной окружности равен 7.5 см. Определить периметр треугольника и его площадь.

Вариант №20

1. Задача. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В на встречу друг другу. Через 4 часа после встречи велосипедист, ехавший из А, прибыл в В, а через 9 часов после встречи велосипедист, ехавший из В, прибыл в А. Сколько часов был в пути каждый велосипедист?
2. Упростить выражение:

3. Задача. Число членов геометрической прогрессии четное. Сумма всех её членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найти знаменатель прогрессии.
4. Проверить равенства:

5. Задача. Определить площадь четырехугольника, если его диагонали равны а и b, а угол между ними равен 150.

Вариант №17

1. Задача. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км на мопеде отправился курьер. Через один час после этого из города А на мотоцикле выехал второй курьер, нагнав первого и передав ему поручения немедленно с той же скоростью отправился обратно и возвратился в город А в тот момент, когда первый курьер достиг города В. Какова скорость первого курьера, если скорость второго равно 50 км/ч.
2. Упростить:

3. Задача. В геометрической прогрессии сумма второго, третьего и четвертого членов равна 7, а сумма четвертого, пятого и шестого равна 28. Найти: .
4. Вычислить значения выражения:

5. Задача. Найти площадь треугольника MON, если точки M и N  точки пересечения окружности  и оси OX, где O – центр окружности.

Вариант №18

1. Задача. Для поступления в финансовый колледж абитуриентам необходимо было сдать 3 экзамена. По 25% поступающих на первом и втором экзамене получили неудовлетворительные оценки. На третьем экзамене еще 25% получили неудовлетворительные оценки или не прошли по конкурсу. Сколько было подано заявлений, если в колледж поступило 270 человек?
2. Вычислить угол между векторам:

 и  , где  и  – единичные взаимно перпендикулярные векторы.

3. Упростить выражение:

4. Упростить выражение:

5. Задача. В равнобедренной трапеции средняя линия равна а, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Вариант №19

1. Задача. Магазин продал 50% учебников по математике и 30% - по экономике. Всего было продано 93 учебника. Сколько всего было учебников до продажи, если по математике осталось в 4 раза больше, чем по экономике?
2. Упростить выражение:

3. Найти x, если

4. Упростить выражение:

5. Задача. Из точки М в не окружности проведена касательная к окружности МА, равная 40 см. (А-точка касания). Через центр окружности и точку М проведена прямая, а к ней из точки А перпендикуляр АВ, равный 24 см. Определить радиус окружности и расстояние до точки М до центра окружности.