"Равносильность уравнений" в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе

Тема: «Равносильность уравнений»

(2 урока)

Тип уроков: комбинированные уроки изучения нового материала, обобщения и систематизации знаний.

Цели:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
• развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
• воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационные формы общения: индивидуальная, групповая.

Оборудование: модуль «Решение иррациональных уравнений».

План уроков:

1 урок

I                Организационный этап - 2 мин.

II        Актуализация опорных знаний - 4 мин.

III        Цели урока - 2 мин.

IV        Изучение теоретического материала и способов деятельности - 20 мин.

V        Закрепление учебного материала - 12 мин.

2        урок

V        Закрепление учебного материала - 25 мин.

VI        Самостоятельная работа - 10 мин.

VII        Домашнее задание - 3 мин.

VIII        Выводы по уроку - 2 мин.

Ход урока

I                Организационный этап

II        Актуализация опорных знаний

Краткое обсуждение с учащимися тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Допустим, нам необходимо решить уравнение

3-(2х- 5) = 2х + 5.

Преобразуем данное уравнение, выстраивая цепочку уравнений и стараясь получить уравнение вида ах = b, т.е. линейное уравнение

6х - 15 = 2х + 5,                6х - 2х = 5 + 15,                4х = 20.

Откуда получаем, что 5 - корень уравнения. Причём, как последнего уравнения, так и любого из уравнений данной цепочки, так как они являются равносильными уравнениями. По сути, решением уравнения и является выстраивание подобных цепочек уравнений.

Однако при преобразовании уравнений (и неравенств в том числе) далеко не всегда легко получить им равносильные уравнения. И как быть тогда?

Изучением этих крайне важных вопросов нам и предстоит заняться.

III        Цели урока

Мы вернёмся к целому ряду понятий, связанных с решением уравнений, с которыми вы неплохо знакомы, и посмотрим на них как бы несколько иначе, глубже, обобщим и дополним рядом важных и принципиальных положений.

IV        Изучение теоретического материала и способов деятельности

1)        Определение. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и h(х) = р(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения  - 4 = 0 и (х + 2)(2Х - 4) = 0 равносильны; равносильны и уравнения х2 + 1 = 0 и = - 2 - они не имеют корней.

2)        Определение. Если каждый корень уравнения                 f(х) = g(х)         (1)

является в то же время корнем уравнения                                h(х) = р(х)         (2),

то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень 5, уравнение  - 25 = 0 имеет корни ± 5. Так как корень уравнения х - 2 = 3 является корнем уравнения х2 - 25 = 0, то уравнение х2 - 25 = 0 является следствием,, уравнения х - 2 = 3.

Следовательно, два уравнения называют равносильными тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3)        Если в ходе преобразований, при переходе от одного из уравнений к уравнению-следствию, мы неуверенны в равносильности выполняемого перехода, то у последнего уравнения могут появиться посторонние корни в отношении исходного уравнения. Поэтому все полученные корни уравнения- следствия необходимо проверить, подставляя их в исходное уравнение. Тем самым, проверка найденных корней уравнения является не проверкой верности выполненных технических преобразований, а неотъемлемой частью, этапом решения уравнения.

4) Итак, мы выяснили, что в процессе решения уравнений (а ещё более при решении неравенств) на каждом этапе преобразований крайне важно знать, равносильный ли переход мы совершаем. Сформулируем и обсудим ряд важных для нас положений.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 3. Показательное уравнение (где  > 1,  1) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или ОДЗ переменной уравнения называется множество тех значений х, при которых одновременно имеют смысл обе части уравнения f(х) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое имеет смысл всюду в области определения (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) и при этом нигде в этой области h(х)  0, то уравнения f(х) = g(х) и h(х)∙ f(х) = h(х) g(х) равносильны.

То есть, мы можем обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число, не нарушая при этом равносильности уравнений.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны на ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение  gn(x), равносильное исходному уравнению.

Теорема 6. Если f(х)>0, = g(х)>0, то уравнение logα 2 f(x) = log αg(x), где а>0,  , равносильно уравнению f(х) = g(х).

5) Рассмотрим применение теоретических положений на практике. Пусть нам дано уравнение х - 1 = 3, корень которого равен 4.

а)  Умножив обе части уравнения на выражение х - 2, получим уравнение (х - 1 )(х - 2) = 3(х - 2). Решим полученное уравнение

х2 — Зх + 2 = Зх - 6,                 х2 - 6х + 8 = 0,                 x1 = 2,  х2 = 4.

То есть, уравнение-следствие имеет два корня 2 и 4, причём, 2-посторонний корень для исходного уравнения. Каким образом у исходного уравнения появился посторонний корень? - Если бы мы вначале преобразовали исходное уравнение к виду х - 4 = 0. За тем домножили обе части уравнения на х - 2. То получили бы уравнение (х - 4)(х - 2) = 0, которое равносильно совокупности уравнении. Тогда понятно, что уравнение х - 2 = 0, по отношению к исходному уравнению х - 4 = 0, является посторонним уравнением, отсюда и появление постороннего корня. Фактически мы умножили обе части исходного уравнения на выражение х - 2, допуская при этом его равенство нулю, что невозможно по теореме 4.

б)        Возведём в квадрат обе части уравнения х - 1 = 3. Получим уравнение-следствие (х-1)2 = 9. Откуда х2 - 2х - 8 = 0, х1 = - 2, х2 = 4. Вновь у уравнения-следствия появляется посторонний корень по отношению к исходному уравнению. Преобразовав уравнение (х-1)2 = 9 к виду (х-4)(х+ 2)=0, получаем постороннее уравнение х + 2 = 0 и посторонний корень -2. Нарушено условие теоремы 5: возводя в квадрат, мы «забыли», что при возведении в квадрат должно выполняться условие х - 1 >0.

в)        Рассмотрим уравнение ln (2х - 4) = 1n(3х - 5). Потенцируя, получим уравнение 2х - 4 = Зх - 5. Откуда х = 1. Проверкой убеждаемся, что 1 является посторонним корнем для исходного уравнения. В данном случае произошло не появление постороннего уравнения, а расширение ОДЗ исходного уравнения. У исходного уравнения ОДЗ: (2; + ), у полученного уравнения ОДЗ - вся числовая прямая. Тем самым не нарушены требования теоремы 6.

6) Выводы. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, значит, необходимо обязательное выполнение проверки всех найденных корней, если: расширилась ОДЗ уравнения; возводились в одну и ту же чётную степень обе части уравнения; выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и тоже выражение с переменной.

V         Закрепление учебного материала

1)        № 1663; № 1665(а, в); № 1666 (а, б).

2)        Переходя к решению уравнений, мы будем стараться учесть следующие два момента. С одной стороны наши решения уравнений должны содержать необходимое теоретическое обоснование нашей деятельности. С другой стороны мы будем учитывать, что в дальнейшем, при решении неравенств, в большинстве случаев от нас потребуется обеспечение равносильности переходов в преобразованиях, и поэтому уже на данном этапе - при решении уравнений, мы будем отрабатывать именно эти навыки, дабы обеспечить преемственность способов деятельности.

Пусть на дано уравнение g(x) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение f(х) = g2(х) которое можно записать так:

(-g(x))(+g(x))=0

Откуда получаем совокупность уравнений: .

Имеем постороннее уравнение, и могут появиться посторонние корни. Следовательно, необходима проверка корней. Если мы захотим выполнить равносильный переход и обойтись без проверки, то исходное уравнение

равносильно смешанной системе:

3) Решим уравнения (двумя способами):

а) ;                         б );

в) ;                         г) .

 а) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: х > - 11. После возведения обеих частей уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие х2 -Зх-10 = 0 с корнями - 2 и 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.

Проверка. Подставив x1= - 2, получим - неверное равенство, - 2 - посторонний корень.

Подставив х2 = 5, получим  или 4 = 4 - верное равенство, 5 корень исходного уравнения.

Ответ: 5.

а) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе

 или  решение системы и исходного

уравнения х2 = 5. 

Ответ: 5.

б) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: . Возведя обе части

уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение х 2- х = 0. Откуда x1 = 0, х2 = 1. Опять оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но будут ли они корнями исходного уравнения ничего сказать нельзя.

Проверка. Подставив x1 = 0, получим - верное равенство, 0- корень исходного уравнения.

Подставив х2 = 1, получим - верное равенство, 1 - корень исходного уравнения.

Ответ: 0;1.

б) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе

 или        . Откуда решение системы и исходного уравнения 0 и 1.

Ответ: 0;1.

в) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения: -1. Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим уравнение. Откуда x1 = 0, х2 =. Оба корня принадлежат ОДЗ

уравнения. Выполним проверку.

Проверка. Подставив x1 = 0, получим - неверное равенство, 0-посторонний корень.

Подставив х2 =, получим  - неверное равенство, -посторонний корень.

Оба корня принадлежат ОДЗ переменной уравнения, но при этом являются посторонними корнями. Ответ: корней нет.

в) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе или  . Система решений не имеет, значит, и уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Первый способ. Решение. ОДЗ уравнения задаётся решением системы , или   которая решений не имеет. Значит, ОДЗ уравнения - пустое множество, уравнение решений не имеет.

Ответ: корней нет.

г) Второй способ. Решение. Исходное уравнение равносильно системе  или Система решений не имеет, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет.

Ответ: корней нет.

4) № 1676 (а)        .

Решение. Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, а второй сомножитель при этом имеет смысл.

а)  х2 - 9 = 0, х = ± 3.

Проверим, имеет ли смысл при этих значениях второй сомножитель.

При x1 =-3, - имеет смысл, поэтому - 3 - корень уравнения; при х2 = 3,  - не имеет смысла, 3 не является корнем уравнения.

б) , .

Уравнение равносильно системе  или

Решением системы является число 1. Так как х2- 9 имеет смысл при всех значениях переменной, то 1 является и корнем исходного уравнения.

Ответ: - 3; 1.

5) Выводы. При решении иррациональных уравнений - возведении обеих частей уравнения в чётную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения уравнения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.

VI         Самостоятельная работа

Решить уравнение двумя способами.

I вариант                        II вариант

№ 1674 (а)                        № 1674 (б)

VII        Домашнее задание

§ 55 по учебнику; № 1673 по задачнику (решить двумя способами).

VIII        Выводы по уроку