Проблемная беседа - наиболее эффективный вид урока
статья по алгебре по теме

Проблемная беседа – наиболее эффективный вид урока.

Наверно, нет человека, который не имел бы представления об уроке.

Все мы когда-то были учениками.Урок многогранен, сложен, динамичен, связан с предыдущим и является проекцией в будущее.Рассмотрим наиболее эффективный вид урока- проблемная беседа.

Требования к проблемной беседе:

1. Изучение нового материала следует начинать с интересной практической или исторической задачи, позволяющей создать исходную проблемную ситуацию. В результате анализа проблемной ситуации формулируется проблема.
2. Основная проблема часто разбивается на ряд подпроблем. Проблемная беседа, как правило, содержит от 2 до 5 проблем. Последние связаны с поиском решения основной проблемы, способа достижения выдвинутой цели.
3. Реальный процесс выхода из проблемной ситуации имеет, как правило, несколько направлений. Поэтому на уроке следует предусмотреть несколько способов и путей решения каждой подпроблемы.
4. Разрешение проблемных ситуаций имитирует реальный процесс мышления – открытие нового. В нем имеют место тупиковые ситуации.Такие ситуации заставляют учащихся вернуться на исходную позицию и продолжить поиск, выдвигая новые гипотезы.
5. Возможны два способа предъявления материала, создающие проблемную ситуацию – исторический и логический. Привлечение исторического материала для поисков решения проблемы при организации проблемной беседы дает ученику знание реальных путей выхода  из проблемной ситуации, способствует повышению познавательного интереса и позволяет усилить ее проблемность.

Пример проблемной беседы – урок алгебры в 8 классе по теме «Формула корней квадратного уравнения».

Создание проблемной ситуации.

Учитель:

- Вы знаете, что математика – одна из древнейших наук. Еще в глубокой древности возникла необходимость решать задачи, содержащие уравнения не только первой степени, но и второй степени. Это было связано с нахождением площадей земельных участков, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения решали еще в Древнем Вавилоне.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования по решению трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Вот одна из таких задач:

Обезьянок  резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам стали

Прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Далее по тексту задачи составляется уравнение:

 + 12 = х                      (1)

Это уравнение вида

а + вх + с = 0

Далее выясняется, почему оно называется квадратным, являются ли квадратными уравнения вида

а + вх = 0, а + с = 0, вх + с = 0

Возникает проблема, как решать такие уравнения.

Затем рассматриваются предлагаемые учащимися пути решения неполных квадратных уравнений; предпринимаются безуспешные попытки решения полученного уравнения (1).

Вынесение общего множителя  х ( ах + в ) + с = 0 по аналогии с решением уравнения а + вх = 0 или перенос свободного члена а + вх = -с по аналогии с уравнением а + с = 0 не приносит желаемых результатов.

Все попытки решения обсуждаются. Если ученики высказывают сомнение, можно ли вообще решить эту задачу, учитель преъявляет им уравнение  ( х – 16 )( х – 48 ) = 0, которое ребята способны решить и в котором после проведенных преобразований «узнают»  исходное уравнение.

Один из вариантов решения предлагает учитель. Он сообщает, что в древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра,  такие уравнения решали не алгебраическим, а геометрическим способом. Вот, например, как древние греки решали уравнение  + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рисунке .

                                        У                    3

                        У

                          3

Решение следует сопроводить записями: у + 3 = 5, У = 2.

Далее разбирается, что такое у + 3; как появилось число 5; что сделано с обеими частями уравнения; где на рисунке добавленное к обеим частям равенства  число 9;является ли – 8 корнем исходного уравнения.

Затем выясняется, что выражения   + 6у + 9  и  16 + 9 геометрически представляют один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение  + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 =± 5.

Далее учитель выделяет новую проблему: как изобразить ситуацию геометрически, если второй коэффициент в квадратном уравнении отрицателен?

Пусть уравнение имеет вид   – 6у – 16 = 0.

По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, на рисунке появляются квадраты со сторонами у и у – 3. Если учащиеся, исходя из рисунка, предлагают рассмотреть равенство  =  + 6( у – 3) + 9, то после преобразований получим 0 = 0. Вопрос: почему последняя запись не позволила продвинуться в решении уравнения? Ответ: эта запись – алгебраическое тождество и в нем не использовано условие, что  – 6у – 16 = 0,  – 6у = 16. На рисунке находим «изображение» выражения  – 6у, и обращаем внимание, что в нем из площади квадрата со стороной у  два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

                                                                3

                             У-3

                             У

                               3

Значит, если к выражению  – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3.

Заменяя выражение  – 6 равным ему числом 16, получаем:

 = 16 + 9, т. е. у – 3 = ±√25 = ±5.

Далее возникает очередная подпроблема: как представить рассмотренные решения квадратных уравнений в краткой алгебраической форме, обобщив геометрические решения. В результате такого обобщения получаем метод выделения полного квадрата. Затем возвращаемся к исходной задаче.