Активное использование исследовательских технологий при повторении и подготовке к ЕГЭ по математике.
статья (алгебра, 10 класс) на тему

Теория

Практика

Квадратное уравнение имеет вид ах2+bх+с=0, где а – старший коэффициент, b – средний, с – свободный коэффициент.

Неполные уравнения

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

1) Если , то уравнение имеет вид .

Правило. Уравнение вида  решается разложением на множители – вынесением общего множителя за скобки и всегда имеет два корня, один из которых равен нулю.

2) Если , то уравнение имеет вид .

Правило. Уравнение вида  решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. Оно решается разложением на множители по формуле разности квадратов.

Полные уравнения

 ;

Если , то  - два корня.

Если , то   - один корень.

Если , то корней нет.

Алгоритм решения:

1.Записать коэффициенты:  а,  b,  с.

2.Вычислить дискриминант

3.Применить формулу корней квадратного уравнения.

4.Записать ответ

1. Решить уравнение .

Решение. Вынесем за скобки :  - произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.

или

Ответ: 0: -3

2. Решить уравнение:

Ответ: 4; -4

3. Решите уравнение: ; ;  решений нет.

Ответ: Решений нет

4. Реши уравнение : ,

Решение. .

; . Ответ:  ;  .

5. Решите уравнение .

Решение: ; Ответ: 2, -1,5.

6.Решите уравнение: (2х – 3)(6 – х) =0;

Решение: (2х – 3) = 0 или (6 – х) =0;

2х = 3 или – х =-6;

 х = 1,5 или х = 6:

Ответ: 1,5; 6

Теория

Практика

Неравенство, содержащее переменную только в показателе степени, называется показательным. Решение показательных неравенств основано на следующем утверждении: если , то  при , и  при , которое обратно предложению, выражающему свойство монотонности показательной функции.

1. Решите неравенство: .

1)         2)         3)         4)

Решение. , т.е. .

Ответ: 4.

2. Решите неравенство: .

 Решение. . Так как , то по свойству монотонности , имеем , т.е. , откуда  или .

Ответ: .

3. Решите неравенство: .

 Решение. . Так как , то по свойству монотонности , имеем , т.е. , откуда .

Ответ: .

4. Найдите область определения функции: .

1)         2)         3)         4)

Решение. Область определения функции определим из неравенства: . Тогда . Ответ: 4.

Теория

Практика

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объем Земли – 1083000000000 км3, а малым – диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.

В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде , где n – целое число. Например:

;;

.

Стандартным видом числа a называют его запись в виде , где  и n – целое число. Число n называется порядком числа а.

1. Представьте в стандартном виде число а = 4 350 000.

В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда:

.

2. Представьте каждое из чисел 1083000000000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:

;

.

Говорят, что мы записали числа 1083000000000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

3. Население Франции составляет  человек, а ее территория равна  км2. Какой из ответов характеризует среднее число жителей на 1 км2?

1) 9,2 чел        2) 92 чел        3) 11 чел        4) 110 чел

Решение.  человек. Ответ: 4.

4. Запишите 0,0032 в стандартном виде.

Решение. Чтобы представить 0,0032 в стандартном виде , нужно перенести запятую в числе 0,0032 на три знака вправо. Получим число от 1 до 10. Итак: . Ответ: .

Перевод единиц измерения

5. Переведите 155,4 м: а) в километры; б) в сантиметры; в) в миллиметры. Решение. А) Так как 1 км = 1000 м, то надо решить пропорцию:

, .

Ответ: 0,1554 км или  км.

Б) Так как 1 м = 100 см, то .

Ответ: 15540 см или  см.

В) Зная, что в 1 метре 1000 миллиметров, найдем, что в 155,4 метрах 155400 миллиметров.

Ответ: 155400 мм или  мм.

Теория

Практика

Иррациональные уравнения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 
1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.  1.Если а < 0, уравнение не имеет корней. 2.Если , уравнение равносильно уравнению 2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень ( при решении простейших уравнений). 
3) метод введения новых переменных. Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание!

Показательные уравнения

Уравнение, в котором переменная находиться в показатели степени, называется показательным. Для решения надо:

1) Привести левую и правую части уравнения к одному основанию.

2) Решить уравнение, приравняв показатели левой и правой частей уравнения.

Логарифмические уравнения

Логарифмическим называется уравнение вида

; где х>0, a>0.

Для решение логарифмических уравнений полезно повторить свойства логарифмов и приемы их вычисления.

1. = 2;   х - 3 = 4;  х = 7 входит в ОДЗ. Ответ: 7.

2. ; <=>;;<=> <=> x = -1; Ответ: -1;

3.Решить уравнение

Решение.   Основания одинаковые, степени равны, следовательно, показатели также равны. Ответ: .

4.Найти корень уравнения .

Решение: в данном случае замечаем, что . ; x-2=3 ;x=5.      Ответ. 5

5.Найдите корень уравнения  

Решение. Используя свойства степеней,

;     .

 .

Ответ: 1.

6.Решим уравнение:;

                    ; х – 7 =-3; х=4.

Ответ: 4

7. Найдите корень уравнения .

17+ х = 3

Х= 3 – 17

Х= - 14

8.Решим уравнение: ;

3+х = ;  3 + х = 256;      х=253

9. Решим уравнение: ;

8 - 4х = ;    8 – 4х = 4;   -4х = -4;  

 х =1

10. Решим уравнение: ; 4 - 4х = ;

 4 - 4х = 81; -4х =81-4; -4х=77; х= 77: (-4);

Х = - 19,25

Наименование технологии и методов

Обоснованность и уместность применения

Результативность

1. Технология индивидуализированного обучения

На каждом этапе изучения темы все ученики работают самостоятельно, под руководством учителя:

 а) внутри урока ; б ) внутри темы

в) внутри всего курса алгебры и геометрии. Работая индивидуально с каждым можно дозировать помощь слабым, менять формы общения, обеспечить все виды контроля (входной, промежуточный, итоговый). В  случае применения ТИО идёт учёт возрастных особенностей, нагрузки дозированы.

Создается ситуация настроя на успех. В «трудных» классах с помощью даже элементов этой технологии заинтересованность предметом заметно вырастает.

Наблюдается активизация познавательной деятельности учащихся, растет уровень самостоятельности. Дозированность нагрузки и учет индивидуальных особенностей детей способствует укреплению здоровья. Повышается качества обучения, есть последователи в улусе.

2.Технология модульного обучения.

Учитель разрабатывает программу, которая состоит из нескольких модулей (узлов, объединенных общим содержанием и задачами). Дети заранее знают не только объём содержания, но и уровень усвоения, соответствующую оценку.

Эта технология позволяет работать в темпе, выбранном учеником, защищать или сдавать модуль когда он готов, домашнее задание может быть сокращенно, если ученик продуктивно работает в классе, на уроке.  

Побуждение интеллектуальных мотивов учения.  Самостоятельность, уверенность, повышение мыслительной активности  учащихся.

При подготовке к итоговой аттестации учащиеся самостоятельно повторяют по изученным заранее модулям. Ученики вместе с учителем осуществляют управление учением. Учащихся  учатся работать самостоятельно и в классе и дома.

3.Научно-исследовательские методы в обучении

Применяет эти методы в профильных классах, на занятиях элективных курсов, с учащимися олимпиадного уровня, имеющими хорошую базу за 5-9 класс, склонных к исследовательской деятельности. Эта технология позволяет создать в классе развивающую среду, способствует развитию личных качеств, формированию исследовательской «жилки».

Заметно растет расширение кругозора, формируется наблюдательность, оттачиваются аналитические умения, отслеживает траекторию развития каждого, и молодые « исследователи» участвуют в НПК всех уровней, Российском Фестивале «Портфолио» Растет умение обобщать, оформлять собственные идеи и итоги работы, защищать собственное мнение, принимать критику.

4. Проектная деятельность: учебное проектирование, прикладные проекты.

Деятельность учителя заключается в организации самой исследовательской работы учащихся. Ученики  самостоятельно «приходят» к решению вопросов и проблемы проекта. Метод проектов позволяет получить конкретный результат труда: презентацию, справочник, статью, реферат, задачник, пособие. Учитель создает условия для включения школьника в работу. Во внеурочное время учащиеся работают над проектами по подготовке к ЕГЭ.

Придерживаясь традиционной системы учебных занятий, избегая их отрыва от реальной деятельности, педагог добивается глубокого и надежного усвоения изучаемого материала. В проектах по геометрии, учащиеся учатся мыслить конструктивно, анализировать форму предметов, ищут и находят примеры применение теоретических знаний на практике. Приобретаются умения анализировать собственные решения, защищать свои работы.

5.Технология саморазвивающегося обучения

Применяется в 7-11 классах, при подготовке к итоговой аттестации, тематическом повторении. Основная идея в том, что справочники, пособия по предмету создают для себя сами ученики. Это тоже опора, наглядность, справочный материал, сжатый конспект, подбор заданий по определённой теме, сборник задач, книжка, но они создаются учениками.

Наблюдается прогресс в обучении и воспитании, учатся  признавать и исправлять собственные ошибки, прислушиваться к мнению других.  Наблюдается рост интеллектуальных мотивов учения.  Возрастает самостоятельность, уверенность.

Ученики творчески подходят к решению  задач с практическим содержанием, задач олимпиадного уровня.