Тема: «Определитель второго порядка. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера» (2 ч)
методическая разработка по алгебре по теме
План открытого урока по математике.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 169.5 КБ |
![]() | 26 КБ |
![]() | 41 КБ |
Предварительный просмотр:
План открытого урока по математике.
Тема: «Определитель второго порядка. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера» (2 ч)
Преподаватель первой квалификационной категории Кошелева Е.А.
Тема урока: «Определитель второго порядка. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера».
Тип урока: Освоение новых знаний.
Цели урока:
Обучающая: Выработать у студентов навыки вычисления определителей второго порядка и решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.
Воспитательная: Подвести к выводу понимания важности данного материала для освоения будущей специальности.
Развивающая: Мотивировать развитие умений и навыков решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
Межпредметные связи:
Механика: «Задачи, связанные с расчетом фундаментов, колонн, арок и др. сооружений»
Физика: «Теория относительности», «Атомная физика»
Метрология
Электротехника
Экономика
Оборудование:
Технические средства:
1) компьютер
2) проектор
Дидактические средства:
1) индивидуальные карточки-задания для проверочной работы.
Использование педагогических технологий:
1. Обучение в сотрудничестве
2. Активные методы обучения
3. Технология дифференцированного обучения
4. Здоровьесберегающие технологии
5.Информационно-коммуникационные технологии.
Глоссарий:
- определитель второго порядка;
- элементы определителя;
- главная диагональ;
- побочная диагональ;
- формулы Крамера.
Основные этапы урока:
1. Организационный момент (2 мин).
2. Проверка домашнего задания.
2.1. Фронтальный опрос (10 мин).
2.2. Индивидуальный письменный опрос (15 мин).
3. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний (10 мин).
4. Объяснение нового материала (25 мин).
5. Закрепление нового материала.
5.1. Решение задач на закрепление нового материала (9 мин).
5.2. Обобщение и систематизация новых знаний (составление таблицы) (3 мин).
5.3. Творческое применение знаний и умений при решении уравнений, приводимых к квадратным (3 мин).
6. Подведение итогов занятия (6 мин).
7. Домашнее задание (2 мин).
Ход урока:
1. Организационный момент (взаимное приветствие, проверка рабочих мест, определение отсутствующих студентов).
2. Проверка домашнего задания.
2.1. Фронтальный опрос:
- Какие уравнения с двумя переменными называются линейными?
- Какие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными вам известны?
- В чем заключается способ подстановки?
- В чем состоит способ алгебраического сложения?
- В чем заключается графический способ?
- Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются однородными и неоднородными?
- Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются совместными и несовместными?
- Как графически изображаются решения совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?
- Как графически изображается решение однородной системы двух линейных уравнений с двумя переменными?
- Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, имеющей бесконечное множество решений?
2.2. Индивидуальный письменный опрос:
Решите систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки, алгебраическим сложением и графически:
Вариант 1 Вариант 2
Работа выполняется в двух экземплярах (под копирку), один из которых (контрольный) сдается преподавателю, а другой (рабочий) остается у студентов. По рабочему экземпляру работа проверяется фронтально с предварительным выставлением оценок.
3. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний.
(Объяснения преподавателя)
Рассмотрим условие
Что оно означает?
Человек, не знакомый с математикой, вообще, не сумеет ответить на этот вопрос. А что же скажут инженеры разных специальностей?
Приложение 1 (сообщение студентов о том, что выражают уравнения в разных областях науки).
А теперь вернемся к условию
системе двух линейных уравнений с двумя переменными.
Какие способы решения этой системы вам известны?
Ответ: метод подстановки, алгебраического сложения, графический.
Сегодня вы познакомитесь с еще одним методом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными – методом Крамера.
( Объявление новой темы и запись на доске)
4. Объяснение нового материала.
Выражение называется определителем второго порядка и обозначается символом
числа называются элементами определителя, причем элементы
образуют главную диагональ, а элементы
– побочную диагональ.
Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Пример 1. Вычислить определитель второго порядка
На главной диагонали стоят элементы 2 и 7, их произведение 2•7=14; на побочной диагонали стоят элементы 3 и 4, их произведение 12.
По определению
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными
Выпишем определители системы:
Определитель, составленный из коэффициентов при переменных, обозначается знаком :
Аналогично записываются определители , которые составляются из определителя
заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов:
Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение при условии, что . В этом случае решение находится по формулам:
Эти формулы называются формулами Крамера.
Приложение 2 (сообщение студента о личности Г. Крамера)
(Продолжение объяснения нового материала)
Если определитель системы а
или
, то система несовместна, т.е. не имеет решений.
Если , то система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.
Приведем примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.
Пример 2. Решите систему уравнений
Выпишем и вычислим определители системы:
,
,
Т.к. , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
,
Ответ:
Пример 3.
Находим:
,
,
Т.к. , то система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: бесконечное множество решений.
Пример 4.
Выпишем и вычислим определители:
,
,
Т.к. , а
и
, то система не имеет решений.
Ответ: нет решений.
5. Закрепление нового материала.
5.1. Решение задач на закрепление нового материала.
Пример 5. Вычислить определители второго порядка
;
;
Пример 6. Решите систему уравнений с помощью определителей
5.2. Обобщение и систематизация новых знаний.
Составим систематизирующую таблицу.
Исследование множества решений системы 2х линейных уравнений с 2я переменными в зависимости от | Связь решения с пропорциональностью коэффициентов | Ответ | Геометрическая интерпретация множества решений | |
Единственное решение | ||||
| Нет решений | |||
Бесконечное множество решений |
5.3. Творческое применение знаний и умений при решении уравнений, приводимых к квадратным.
Пример 7. Решите уравнение
6. Подведение итогов занятия.
Давайте, вспомним, что вы узнали на этом занятии? (Беседа со студентами)
- Как составляется определитель второго порядка и каким знаком он обозначается?
- Как составляются определители и
?
- Как записываются формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей?
- При каком значении определителя система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение?
7. Домашнее задание.
1. Конспект.
2. Учебник, автор Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Математика», гл.1, § 7, п.3.
3. Н.В.Богомолов «Сборник задач по математике», №51,стр.11.
Предварительный просмотр:
Приложение 1
Математик даст самый общий ответ: «Это система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, я сказать не могу». А инженеры разных специальностей, скорее всего, ответят так.
Инженер-электрик: «это уравнения напряжения или токов в электрической цепи с активными сопротивлениями»;
инженер-механик: «это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин»;
инженер-строитель: «это уравнения, связывающие силы и деформации в какой-то строительной конструкции»;
инженер-плановик: «это уравнения для расчета загрузки станков».
Пять человек по-разному ответили на один и тот же вопрос.
Кто же из них прав?
Как это ни странно – все! Каждый из ответов верен. Да, одна и та же система линейных алгебраических уравнений может отображать равновесное состояние и электрической цепи, и рычагов, и строительной конструкции.
Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами a, b и c и символами неизвестных – x и y.
Инженер-электрик полагал, что постоянные коэффициенты – это величины активных сопротивлений, правые части – токи, питающие цепь, а неизвестными являются напряжения в узлах цепи.
Он хорошо знает, что цепь, составленная из активных сопротивлений, линейная. В ней с нарастанием величины питающих токов пропорционально увеличиваются узловые напряжения. Следовательно, зависимость между токами и напряжениями в сложной электрической цепи описывается системой линейных алгебраических уравнений.
Инженер-механик считал, что постоянные коэффициенты – это упругости пружин, правые части – внешние силы, действующие на систему пружин, а неизвестные – величина их деформации. И такая механическая система является линейной. Чем больше внешняя сила, тем больше сжатие или растяжение пружины. Значит, зависимость между силами и деформациями пружины в сложной упругой системе тоже описывается линейными алгебраическими уравнениями.
Инженер, планирующий производственный процесс, не без основания думал, что написанные уравнения имеют прямое отношение к его специальности. Нужно рассчитать размеры двух партий деталей. Каждая деталь обрабатывается сначала на одном, затем на другом станке, И эта задача сводится к решению тех же двух уравнений. Но теперь постоянные коэффициенты первого уравнения – это время обработки одной детали из каждой партии на первом станке, правая часть его – общее заданное время работы первого станка, а неизвестные – искомое число деталей в каждой из двух партий.
Таким же образом составлено второе уравнение – для обработки деталей на втором станке.
Вот почему математик дал такой неконкретный ответ.
Он знает, что статические явления в любой физической системе: электрической, механической, гидравлической, тепловой, акустической, экономической – описываются алгебраическими уравнениями первой степени.
Как видите, каждый действительно оказался по-своему прав!
Предварительный просмотр:
Приложение 2
Крамер Габриэль (31.07.1704 - 1752) - швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якова Бернулли, переписки Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды - по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Показал, что результант двух многочленов образуется с помощью симметрических функций. Во "Введении в анализ алгебраических кривых" (1750г) существенно развил идеи современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки, ветви, кривизну алгебраических кривых высших порядков. В 1742г Крамер обобщил на случай трех неподвижных точек поставленную еще Паппом задачу о вписывании в круг треугольника, стороны которого проходят через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера. Член Лондонского королевского общества (1749г).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2018/02/21/picture-18395-1519240367.jpg)
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Конспект урока + презентация + памятка...
![](/sites/default/files/pictures/2016/12/16/picture-168930-1481837609.jpg)
Самостоятельная работа по алгебре 7 класс по теме «Решение задач с помощью системы двух линейных уравнений с двумя переменными »
Самостоятельная работа по алгебре 7 класс по теме «Решение задач с помощью системы двух линейных уравнений с двумя переменными » в двух вариантах....
Урок – исследование по алгебре в 7 классе «Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (разработка+презентация)
Предмет: алгебра.Класс: 7.Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными».Тип урока: урок формирования новых знаний с использованием презентации и практической...
![](/sites/default/files/pictures/2019/03/18/picture-527413-1552915061.jpg)
Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными
Урок объяснения нового материала по учебнику "Алгебра, 7 класс" А.Г. Мерзляк, параграф 26. Презентация составлена для объяснения новой темы в Zoom при дистанционном обучении....
Технологическая карта урока по алгебре 7 класс "Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Данный урок был проведён в апреле 2021 года на районном семинаре учителей математики. Целевая аудитория - ученики 7 "б" класса, в классе 27 учащихся, класс разноуровневый, но у...
Презентация к уроку в 7 классе по алгебре "Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Данная презентация применялась на уроке во время устной работы. Учащиеся составляли уравнения линейной функции по готовому чертежу....
![](/sites/default/files/pictures/2023/05/09/picture-1473130-1683644821.jpg)
Технологическая карта урока алгебры_7 класс. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Система двух линейных уравнений с двумя переменными.Методы решения систем линейных уравнений.Графический метод решения систем линейных уравнений....