Тема: «Определитель второго порядка. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера» (2 ч)
методическая разработка по алгебре по теме

План открытого урока по математике.

Тема: «Определитель второго порядка. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера» (2 ч)

Преподаватель первой квалификационной категории Кошелева Е.А.

Тема урока: «Определитель второго порядка. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера».

Тип урока: Освоение новых знаний.

Цели урока:

Обучающая: Выработать у студентов навыки вычисления определителей второго порядка и решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.

Воспитательная: Подвести к выводу понимания важности данного материала для освоения будущей специальности.

Развивающая: Мотивировать развитие умений и навыков решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

Межпредметные связи:

Механика: «Задачи, связанные с расчетом фундаментов, колонн, арок и др. сооружений»

Физика: «Теория относительности», «Атомная физика»

Метрология

Электротехника

Экономика

Оборудование:

Технические средства:

1) компьютер

2) проектор

Дидактические средства:

1) индивидуальные карточки-задания для проверочной работы.

Использование педагогических технологий:

1. Обучение в сотрудничестве

2. Активные методы обучения

3. Технология дифференцированного обучения

4. Здоровьесберегающие технологии

5.Информационно-коммуникационные технологии.

Глоссарий:

- определитель второго порядка;

- элементы определителя;

- главная диагональ;

- побочная диагональ;

- формулы Крамера.

Основные этапы урока:

1. Организационный момент (2 мин).

2. Проверка домашнего задания.

2.1. Фронтальный опрос (10 мин).

2.2. Индивидуальный письменный опрос (15 мин).

3. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний (10 мин).

4. Объяснение нового материала (25 мин).

5. Закрепление нового материала.

5.1. Решение задач на закрепление нового материала (9 мин).

5.2. Обобщение и систематизация новых знаний (составление таблицы) (3 мин).

5.3. Творческое применение знаний и умений при решении уравнений,  приводимых к квадратным (3 мин).

6. Подведение итогов занятия (6 мин).

7. Домашнее задание (2 мин).

Ход урока:

 1. Организационный момент (взаимное приветствие, проверка рабочих мест, определение отсутствующих студентов).

2. Проверка домашнего задания.

2.1. Фронтальный опрос:

- Какие уравнения с двумя переменными называются линейными?

- Какие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными вам известны?

- В чем заключается способ подстановки?

- В чем состоит способ алгебраического сложения?

- В чем заключается графический способ?

- Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются однородными и неоднородными?

-  Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются совместными и несовместными?

- Как графически изображаются решения совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?

- Как графически изображается решение однородной системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

- Как графически изображается решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, имеющей бесконечное множество решений?

2.2. Индивидуальный письменный опрос:

Решите систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки, алгебраическим сложением и графически:

Вариант 1                                                            Вариант 2

Работа выполняется в двух экземплярах (под копирку), один из которых (контрольный) сдается преподавателю, а другой (рабочий) остается у студентов. По рабочему экземпляру работа проверяется фронтально с предварительным выставлением оценок.

3. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний.

(Объяснения преподавателя)

Рассмотрим условие

Что оно означает?

Человек, не знакомый с математикой, вообще, не сумеет ответить на этот вопрос. А что же скажут инженеры разных специальностей?

Приложение 1 (сообщение студентов о том, что выражают уравнения в разных областях науки).

А теперь вернемся к условию 

системе двух линейных уравнений с двумя переменными.

Какие способы решения этой системы вам известны?

Ответ: метод подстановки, алгебраического сложения, графический.

Сегодня вы познакомитесь с еще одним методом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными – методом  Крамера.

( Объявление новой темы и запись на доске)

4. Объяснение нового материала.

Выражение  называется определителем второго порядка и обозначается символом

числа  называются элементами определителя, причем элементы  образуют главную диагональ, а элементы – побочную диагональ.

Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка

На главной диагонали стоят элементы 2 и 7, их произведение 2•7=14;  на побочной диагонали стоят элементы 3 и 4, их произведение 12.

По определению 

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными

Выпишем определители системы:

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных, обозначается знаком :

Аналогично записываются определители , которые составляются из определителя  заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свободных членов:

Система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение при условии, что . В этом случае решение находится по формулам:

Эти формулы называются формулами Крамера.

Приложение 2 (сообщение студента о личности  Г. Крамера)

(Продолжение объяснения нового материала)

Если определитель системы а  или , то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Если , то система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Приведем примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей.

Пример 2. Решите систему уравнений

Выпишем и вычислим определители системы:

,   ,   

Т.к. , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

,   

Ответ: 

Пример 3. 

Находим:

,  ,  

Т.к. , то система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечное множество решений.

Пример 4.

Выпишем и вычислим определители:

,  ,  

Т.к. , а  и , то система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

5. Закрепление нового материала.

5.1. Решение задач на закрепление нового материала.

Пример 5. Вычислить определители второго порядка

;  ;  

Пример 6.  Решите систему уравнений с помощью определителей

5.2. Обобщение и систематизация новых знаний.

Составим систематизирующую таблицу.

5.3.  Творческое применение знаний и умений при решении уравнений, приводимых к  квадратным.

Пример 7.  Решите уравнение

6. Подведение итогов занятия.

Давайте, вспомним, что вы узнали на этом занятии? (Беседа со студентами)

- Как составляется определитель второго  порядка  и каким знаком он обозначается?

- Как составляются определители  и ?

- Как записываются формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей?

- При каком значении определителя  система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение?

7. Домашнее задание.

1. Конспект.

2. Учебник, автор Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Математика», гл.1, § 7, п.3.

3. Н.В.Богомолов «Сборник задач по математике», №51,стр.11.

Приложение 1

Математик даст самый общий ответ: «Это система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, я сказать не могу». А инженеры разных  специальностей,  скорее всего, ответят так.

Инженер-электрик: «это уравнения напряжения или токов в электрической цепи с активными сопротивлениями»;

инженер-механик: «это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин»;

инженер-строитель: «это уравнения, связывающие силы и деформации в какой-то строительной конструкции»;

инженер-плановик: «это уравнения для расчета загрузки станков».

Пять человек по-разному ответили на один и тот же вопрос.

Кто же из них прав?

Как это ни странно – все! Каждый из ответов верен. Да, одна и та же система линейных алгебраических уравнений может отображать равновесное состояние и электрической цепи, и рычагов, и строительной конструкции.

Все зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами a, b и c и символами неизвестных – x и y.

Инженер-электрик полагал, что постоянные коэффициенты – это величины активных сопротивлений, правые части – токи, питающие цепь, а неизвестными являются напряжения в узлах цепи.

Он хорошо знает, что цепь, составленная из активных сопротивлений, линейная. В ней с нарастанием величины питающих токов пропорционально увеличиваются узловые напряжения. Следовательно, зависимость между токами и напряжениями в сложной электрической цепи описывается системой линейных алгебраических уравнений.

Инженер-механик считал, что постоянные коэффициенты – это упругости пружин, правые части – внешние силы, действующие на систему пружин, а неизвестные – величина их деформации. И такая механическая система является линейной. Чем больше внешняя сила, тем больше сжатие или растяжение пружины. Значит, зависимость между силами и деформациями пружины в сложной упругой системе тоже описывается линейными алгебраическими уравнениями.

Инженер, планирующий производственный процесс, не без основания думал, что написанные уравнения имеют прямое отношение к его специальности. Нужно рассчитать размеры двух партий деталей. Каждая деталь обрабатывается сначала на одном, затем на другом станке, И эта задача сводится к решению тех же двух уравнений. Но теперь постоянные коэффициенты первого уравнения – это время обработки одной детали из каждой партии на первом станке, правая часть его – общее заданное время работы первого станка, а неизвестные – искомое число деталей в каждой из двух партий.

Таким же образом составлено второе уравнение – для обработки деталей на втором станке.

Вот почему математик дал такой неконкретный ответ.

Он знает, что статические явления в любой физической системе: электрической, механической, гидравлической, тепловой, акустической, экономической – описываются алгебраическими уравнениями первой степени.

Как видите, каждый действительно оказался по-своему прав!

Приложение 2

Крамер Габриэль (31.07.1704 - 1752) - швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якова Бернулли, переписки Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал в Женеве. Основные труды - по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории определителей, но при этом еще не пользовался удобным обозначением определителей. Показал, что результант двух многочленов образуется с помощью симметрических функций. Во "Введении в анализ алгебраических кривых" (1750г) существенно развил идеи современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки, ветви, кривизну алгебраических кривых высших порядков. В 1742г Крамер обобщил на случай трех неподвижных точек поставленную еще Паппом задачу о вписывании в круг треугольника, стороны которого проходят через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера. Член Лондонского королевского общества (1749г).