Знакомство с элементами комбинаторики
методическая разработка (алгебра, 5 класс) по теме

Элементы комбинаторики
Якимова Людмила Леонидовна МБОУ Русско-Шуганская СОШ имени П.А.Днепрова
Наверное, ты знаешь фильм "Кин-дза-дза". Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом "ку". А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?
Решение: Можно составить слова: "Ку ", " Кк ", " Уу " и "Ук".
На первое место букву можно выбрать двумя способами, после чего на второе место – тоже двумя способами. Значит всего таких слов по правилу умножения будет 2 * 2 = 4
У жителей планеты АХО в алфавите три буквы: А, О, Х. Слова в языке состоят из трех букв. Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты? Попробуй решить эту задачу.
Образец решения:"Аох", "Ахо", "Оах", "Оха", "Хао", "Хоа"
На первое место букву можно выбрать тремя способами, после чего на второе место – двумя способами, на третье место – одним способом. Значит всего таких слов по правилу умножения будет 3 * 2 * 1 = 6
В этих задачах нам пришлось перебрать все возможные варианты, или , как обычно говорят в таких случаях – все возможные комбинации. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.
ФЛАГ РОССИИ
Что означает каждый цвет?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий - цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
НИДЕРЛАНДЫ
ФРАНЦИЯ
ЮГОСЛАВИЯ
Флаги стран Европы, где встречаются три цвета: белый, синий, красный.
КБС
КСБ
БСК
БКС
СБК
СКБ
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
С
Б
С
К
Б
К
БЕЛЫЙ
СИНИЙ
Разберем на примере цветных полосок:Возьмем белую полоскуеё можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоскуеё можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску-ее можно положить только 1 раз.ИТОГО: 3 * 2 * 1 = 6
ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО:Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а * b
КвартетПроказница-Мартышка, Осёл,КозёлДа косолапый МишкаЗатеяли сыграть Квартет.Достали нот, баса, альта, две скрипкиИ сели на лужок под липки, —Пленять своим искусством свет.Ударили в смычки, дерут, а толку нет.«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —Погодите!Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.Ты с басом, Мишенька, садись против альта,Я, прямо, сяду против фторы;Тогда пойдет уж музыка не та:У нас запляшут лес и горы!»Расселись, начали Квартет;Он все-таки на лад нейдёт.«Постойте ж, я сыскал секрет? —Кричит Осёл, — мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».Послушались Осла: уселись чинно в ряд;А все-таки Квартет нейдёт на лад.Вот пуще прежнего пошли у них разборыИ споры, кому и как сидеть.Случилось Соловью на шум их прилететь.Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.«Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,Чтобы Квартет в порядок наш привесть:И ноты есть у нас, и инструменты есть,Скажи лишь, как нам сесть!» —«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменьеИ уши ваших понежней, — Им отвечает Соловей, —А вы, друзья, как ни садитесь;Всё в музыканты не годитесь».
Иван Андреевич Крылов
02.02.1769 г - 09.11.1844 г русский писатель, баснописец, журналист.
БасняКВАРТЕТ
1. Кто участники этого музыкального коллектива?Козел, осел, мартышка и косолапый мишка.2. Что они делали?Играли на музыкальных инструментах.3. Получалась у них музыка?Нет.4. Что они для этого делали?Пересаживались.5. Почему музыка опять не получалась?Они не умели играть.
Используя правило умножения, как решить эту задачу?Давайте рассуждать:Мишка может сесть на одно из 4 мест,Козел может сесть на одно из 3 мест,Осел может сесть на одно из 2 мест,Мартышка может сесть на оставшееся 1 место.ИТОГО: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 варианта
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
МАРТЫШКА
МИШКА
КОЗЕЛ
ОСЕЛ
К
МТ
МШ
К
О
МТ
К
О
МШ
О
МТ
МШ
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Кощей Бессмертный
Баба-Яга
Кикимора
В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать.
От Кикиморы до Бабы-Яги три дорожки ведут, а от бабы-Яги до Кощея две.
Вопрос: сколько вариантов есть у Ивана-царевича, чтобы дойти до Кощея.
Ответ:6
Дерево возможных вариантов
Задача: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4 и 7?
Двузначное число
1
4
7
1
4
7
1
4
7
1
4
7
Первая цифра
Вторая цифра
Полученное число
11, 14, 17
41, 44, 47
71, 74, 77
На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место – тоже тремя способами. Значит всего таких чисел по правилу умножения будет 3 * 3 = 9
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 9 , 7 и 0 ? Попробуйте самостоятельно построить дерево возможных вариантов.
Полученные числа: 99, 97, 90, 79, 77, 70
На первое место цифру можно выбрать тремя способами, кроме нуля, после чего на второе место – двумя способами. Значит всего таких чисел по правилу умножения будет 2 * 3 = 6
Постройте дерево возможных вариантов для задачи:Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 3, 5 ?