Геометрические решения тригонометрических задач
методическая разработка (алгебра, 8 класс) по теме
Данная разработка показывает преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, т.к. геометрический подход допускает изящное решение.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 geometriya_alg_zadach.ppt | 2.84 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ – ЭТО ЗАПИСАННЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ, А ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ – ЭТО НАРИСОВАННЫЕ ФОРМУЛЫ.» Д. ГИЛБЕРТ
В А С D E 2 1 15 0 15 0 Рассмотрим равнобедренный треугольник Δ АВС ( АВ = ВС ), ∠ АВС =30 0 . AD и ВЕ – высоты. ∠ СА D =15 0 . Пусть AD =1 , тогда АВ =2 и Значит, Ответ: Вычислите Решение:
А С В 1 1 D 45 0 Вычислите Рассмотрим равнобедренный треугольник Δ АВС ( АВ = ВС ), ∠ АВС =45 0 . Так как ∠ ВСА =67 0 30 ’ , то ∠ CAD =22 0 30 ’ . Пусть AD =1 , Ответ: Решение:
Докажите тождество А В D С x x 2x 3x x 2x Рассмотрим равнобедренный треугольник Δ АВС ( АВ = ВС ), точку D ( D ∈ BC и AD = BD = AC ) . Доказательство: Пусть ∠ АВС = х , тогда ∠ BAD = x , ∠ ADC =2 x , ∠ ACD =2 x ∠ DAC=x , ∠ ADB =3 x . Суммы внутренних углов треугольников ABD , ACD и АВС равны по 5 х , т.е. х =36 0 . Итак, ∠ АВС =36 0 и ∠ ADC =72 0 . Так как D ∈ BC , то ВС = BD + DC . Пусть BD =1 , тогда АВ =2 cos36 0 и CD =2cos72 0 . Так как АВ = ВС , то 2cos36 0 =1+2cos72 0 . Значит,
Докажите тождество А В D С x 2 x 2x 5 x x 3 x Так как треугольники ABD , ADC и ABC равнобедренные, то 7 х =180 0 , т.е. Доказательство: 2. BC = BD + DC .
Пусть длина общей высоты, проведенной из вершины А в треугольниках ABD , ADC и ABC , равна 1 ( H ∈ BC , AH ⊥ BC , AH =1) , то: из Δ ABH ( AH ⊥ BH ) из Δ ADH ( AH ⊥ DH ) Значит, из Δ A С H ( AH ⊥ С H )
Вычислите А В С D Решение: В задаче 3 были определены величины углов с вершинами в точках A , B , C и D . Δ АВС ~ Δ CAD , так как оба они равнобедренные с общим углом при основаниях ( ∠ АСВ = ∠ ACD ) . Значит, Если АС = а и АВ = b ( a < b , так как ∠ АВС =36 0 и ∠ АСВ =72 0 ), то CD = b - a и a 2 = b 2 - ab . Отсюда Это число называют золотым сечением или числом Фидия (Фидий – отец Архимеда). Так как sin 18 0 = cos 72 0 , а cos 72 0 = , то sin 18 0 = Ответ:
Вычислите В А С D E 1 10 0 Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник Δ АВС , в котором ∠ АВС =10 0 , ∠ АСВ =90 0 , D ∈ BC , E ∈ AB и AD = DE = BE . Пусть АС =1. Определив величины углов, замечаем: ВС = ctg10 0 , BD =4cos10 0 , CD =tg60 0 . Так как ВС = BD + DC , то ctg10 0 =4cos10 0 +tg60 0 . Ответ:
В А С D E 1 α α α Докажите, что sin 2 α =2 sin α cos α Рассмотрим равнобедренный треугольник Δ АВС ( АВ = ВС =1 ), ∠ АВС = 2 α , AD и ВЕ – высоты. По рисунку AD = sin 2 α , AE = EC =sin α , BE =cos α . Так как Δ ABE ~ Δ CAD , то Доказательство: Значит, sin 2 α =2 sin α cos α .
В С D E 1 α α α Доказательство: Докажите, что 1 – cos2 α = 2 sin 2 α AE = EC =sin α , BD =cos 2α , CD = 1-cos 2α Δ ABE ~ Δ CAD Тогда, , т.е. Значит , 1 – cos2 α = 2 sin 2 α
А С В c h a α β Докажите, что sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β Доказательство: Рассмотрим Δ АВС , в котором BD ⊥ AC , ∠ ABD = α , ∠ CBD = β . Точка D – внутренняя точка отрезка АС , так как по условию α и β – острые углы. Пусть ВС = а , АС = b , АВ = с и BD = h . D
Каким должен быть острый угол х , если x A C B D Рассмотрим рисунок Решение: по теореме косинусов, а АВ=4 по теореме Пифагора. Значит, D∈AB .
x A C B D Так как Δ АВС прямоугольный и По теореме косинусов из Δ ACD следует, что где буквой у обозначена длина стороны AD . Ответ: 60 0 . то в Δ ACD ∠ ADC =90 0 . Тогда x =60 0 .
Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. B C M A N arctg 3 = ∠ BAM , arctg 2 = ∠ CAN , arctg 1 = ∠ BAC (∠ BAC – острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС ). Решение: Итак, arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = π .
Решение: Вычислите A В С D Ответ:
Решение: Вычислите cos (arcctg 3 + arctg 0,5). B C M A N D ctg ∠ DAB =3 и tg ∠ DAC =0,5. Δ АВС – равнобедренный, ∠ АВС =90 0 . Значит, Ответ:
Решение: Вычислите B C M A N D Так как то можно считать, что - это угол прямоугольного треугольника, у которого отношение катетов равно 1 : 2. Тогда величину этого угла можно рассматривать как arctg 2 . Аналогично рассуждая, получим Далее, по рисунку ∠МАВ= arctg3 и ∠ NAC=arctg 2 , а их сумма равна Итак,
«Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству». Ж.Л. Лагранж
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация на тему " Геометрические способы решения алгебраических задач"
Данная презентация предназначена для учеников 10-11 классов. В ней рассмотрены геометрические способы решения алгебраических задач. Данные способы позволяют решить задачи быстрее и решение более нагля...
Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач 11 класс
Данный материал можно использовать в образовательной деятельности при проведении факультативных занятий, для подготовки обучающихся к олимпиадам, к конкурсным испытаниям....
Геометрическая интерпретация содержания задачи – условие успешного обучения каждого школьника решению математической задачи
Геометрическая интерпретациясодержания задачи –условие успешного обучения каждого школьникарешениюматематической задачи...
Геометрическая интерпретация содержания задачи-условие успешного обучения каждого школьника решению математической задачи
Геометрическая интерпретация содержания задачи-условие успешного обучения каждого школьника решению математической задачи...
Методическая разработка "Модель учебного дистанционного курса «Решение тригонометрических задач» в системе дистанционного обучения MOODLE"
Разработанный учебный курс ««Решение тригонометрических задач» предполагает реализацию в системе дистанционного обучения MOODLE, рекомендо...
Геометрические решения алгебраических задач
Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не...
Методическая разработка занятия на тему: «Решение простых арифметических задач на сложение и вычитание. Геометрический материал. Логические задачи.»
(Методическая разработка занятия с применением инновационных технологий при работе с детьми)...