Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач 11 класс
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Данный материал можно использовать в образовательной деятельности при проведении факультативных занятий, для подготовки обучающихся к олимпиадам, к конкурсным испытаниям.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 270.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Шишкина Елена Павловна, учитель математики МБОУ г.Мурманска гимназии №2
Конспект урока по теме
«Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач»
11 класс.
Цели урока:
Образовательные
- Познакомить обучающихся с новым методом решения задач – применением тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач;
- Показать практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем
Развивающие
- Развить познавательный интерес, логическое мышление.
- Развить способность преодолеть психологический барьер перед решением сложной конкурсной задачи.
Воспитательные
- Воспитать целенаправленность при решении задач, аккуратность, самостоятельность.
ХОД УРОКА.
- Организационный момент.
- Ситуация-проблема. Постановка цели урока.
Учитель: На вступительном экзамене в МГУ (на факультет вычислительной математики и кибернетики) однажды было предложено задание:
Решите уравнение .
Вопросы:
- К какому типу принадлежит данное уравнение? (иррациональное)
- Каков стандартный метод решения? (возведение в степень)
- Уравнение какой степени получится при возведении обеих частей уравнения в квадрат? (6-й)
Итак: Решение задания стандартным методом приводит нас к решению уравнения 6-й степени, найти корни которого – весьма сложная задача.
Но вы можете заметить, что ОДЗ переменного данного уравнения .
В некоторых случаях при решении алгебраических бывает удобно применять так называемые тригонометрические подстановки, что значительно упрощает, а иногда является единственным способом, позволяющим выполнить задание.
Итак: тема сегодняшнего урока: «Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач».
Цель нашего урока: Показать практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем.
- Актуализация опорных знаний.
Учитель: Вспомним основные тригонометрические формулы, которые мы будем использовать сегодня на уроке. (опорный конспект)
1. Основное тригонометрическое тождество
2. Формулы двойного аргумента
3. Формулы тройного аргумента
- Ситуация-иллюстрация.
1) Разбор задач я предлагаю начать с доказательства условного неравенства.
Задание 1. (Слайд) Доказать, что если , то
.
Решение. (объяснение учителя)
Очевидно утверждение: если то существует такой угол t, что a = cos t, b = sin t.
Пусть .
Неравенство примет вид:
(это очевидно)
Неравенство доказано.
2) Метод использования тригонометрических подстановок можно применить к нахождению экстремальных значений функции.
Задание 2.
Рассмотрим задачу: (Слайд)
Найдите наибольшее значение функции f(x)=
Вопросы:
- Ваши предложения по выполнению данного задания.
- Каков алгоритм решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции?
- Обратите внимание на выражение, стоящее в правой части равенства. Согласитесь, довольно сложно найти производную данной функции. Давайте опробуем упростить решение.
- Как вы знаете, выполнение любого задания, содержащего функцию, мы начинаем с нахождения области определения. Найдите D(f)
D(f) = , т.е.
.
Если из условия задачи следует, что , то удобно применять подстановки
или
Презентация: Т.к. , то положим
.
Вопрос: Почему можно значение ограничить отрезком
?
(Область значений выбрана так, чтобы
принимал свои всевозможные значения по одному разу. Расширение этой области бесполезно, оно вносит многозначность в дальнейшие рассуждения)
Итак, .
Тогда
f(x)=g(x)=(2sin)
=
.
Ответ: 2.
Вопрос: Можно ли произвести замену ? (Можно).
Вывод: Итак, мы рассмотрели применение данного метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
3) Но всё-таки наибольший интерес данный метод представляет в применении к решению уравнений. Ведь алгебра – это наука об уравнениях.
Вернёмся к началу урока и решим предложенное уравнение. ( Представьте, что вы поступаете в МГУ)
Задание 3. Решите уравнение .
Решение:
ОДЗ: . Пусть
, где
, тогда уравнение примет вид
Отрезку из первой серии принадлежат два числа
и
, а из второй серии
Ответ: ,
,
.
4)Ребята, у вас может сложиться впечатление, что данный метод применим только при решении задач, связанных с иррациональностью.
Как контр пример предлагаю выполнить следующее задание (оно было предложено на городской олимпиаде по математике).
Задание 4.
Сколько корней имеет на отрезке [0; 1] уравнение 8х (1 – 2х2)(8х4 – 8х2 +1) = 1?
Решение.
х ≠ 0; х ≠ 1 (проверьте)
Пусть х = sin t,
Уравнение примет вид:
Два решения:
(2 корня)
(2 корня)
Ответ: 4 корня.
Задание 5.
Решите систему уравнений
Решение.
Иногда бывает полезной подстановка , (где
)
Пусть , где
Тогда (из 1 уравнения)
(из 2 уравнения)
(из 3 уравнения)
Получим:
Если n = 0, то х1 = 0; у1 = 0; z1 = 0
Если n = 1, то ,
Если n = 2, то
Если n = 3, то
Если n = -1, то
Если n = -2, то
Если n = -3, то
- Итог урока. Сегодня на уроке мы познакомились с нестандартным красивым методом решения задач – применением тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач. Показали практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем. Надеюсь, это вам позволит преодолеть психологический барьер при решении сложных математических задач на вступительных экзаменах, на олимпиадах, при дальнейшем обучении в Вузе.
Закончить свой урок я хочу высказыванием великого французского математика Ж.Л.Лагранжа «Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству».
Домашнее задание. Тренажер
Обязательный уровень: №1, №2 (а), №3 (а)
Повышенный уровень: №2 (в), №3 (в), №4 (в).
Тренажер.
Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач.
- Доказать, что если a2 + b2 = 1, то | a + b | ≤
.
- Доказать справедливость неравенств:
а)
б)
в) (a = tg t)
- Решите уравнение:
а) (x = sin t)
б) (x = tg t)
в) (x = sin t)
г) (x = tg t)
д) (x = sin t)
- Решите систему уравнений:
а) (x = cos t, y = sin t)
б) (x = cos t, y = sin t)
в) (x = sin α, y = sin β)
Опорный конспект.
Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач.
- Информационная справка
1. Основное тригонометрическое тождество
2. Формулы двойного аргумента
3. Формулы тройного аргумента
- Задание 1. Доказать, что если
, то
.
Решение.
Если a = cos t, b = sin t. |
Задание 2. Найдите наибольшее значение функции f(x)=
Решение.
Если из условия задачи следует, что |
D(f) = , т.е.
.
Тогда
f(x)=g(x)=2sin)
=
, т.к.
.
Ответ: 2.
Задание 3. Решите уравнение .
Решение.
О.Д.З.
Пусть х = ,тогда уравнение примет вид:
и
,
, т.к.
Ответ: ,
,
.
Задание 4. Сколько корней имеет на отрезке [0; 1] уравнение 8х (1 – 2х2)(8х4 – 8х2 +1) = 1?
Решение.
1) х ≠ 0; х ≠ 1
2) Пусть х = ,, тогда уравнение примет вид:
____________________________________________________ = 1,
____________________________________________________ = 1,
_____________________________________________________ = 1,
_____________________________________________________ = 1 |
cos ( ) = cos t,
t = , или t = ,
t = , или t = ,
(2 корня)
(2 корня)
Ответ: 4 корня.
Задание 5.
Решите систему уравнений
Решение.
Иногда бывает полезной подстановка (где |
Пусть , где
Тогда (из 1 уравнения)
(из 2 уравнения)
(из 3 уравнения)
Если n = 0, то х1 = 0; у1 = 0; z1 = 0
Если n = 1, то ,
Если n = 2, то
Если n = 3, то
Если n = -1, то
Если n = -2, то
Если n = -3, то
«Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству».
Ж.Л.Лагранж
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация на тему " Геометрические способы решения алгебраических задач"
Данная презентация предназначена для учеников 10-11 классов. В ней рассмотрены геометрические способы решения алгебраических задач. Данные способы позволяют решить задачи быстрее и решение более нагля...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/21/picture-319734-1382360577.jpg)
Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения векторов.
Данная разработка может быть использована на факультативных занятиях в 11 классе. Содержит разнообразные задачи: иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и н...
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.
Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применя...
![](/sites/default/files/pictures/2018/12/06/picture-408239-1544125072.jpg)
Геометрические решения алгебраических задач
Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не­...