Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач 11 класс
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Конспект урока по теме

 «Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач»

 11 класс.

Цели урока:

Образовательные

• Познакомить обучающихся с новым методом решения задач – применением тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач;
• Показать практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем

Развивающие

• Развить познавательный интерес, логическое мышление.
• Развить способность преодолеть психологический барьер перед решением сложной конкурсной задачи.

Воспитательные

• Воспитать целенаправленность при решении задач, аккуратность, самостоятельность.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.
2. Ситуация-проблема. Постановка цели урока.

Учитель: На вступительном экзамене в МГУ (на факультет вычислительной математики и кибернетики) однажды было предложено задание:

Решите уравнение     .

Вопросы:

• К какому типу принадлежит данное уравнение? (иррациональное)
• Каков стандартный метод решения? (возведение в степень)
• Уравнение какой степени получится при возведении обеих частей уравнения в квадрат? (6-й)

Итак: Решение задания стандартным методом приводит нас к решению уравнения 6-й степени, найти корни которого – весьма сложная задача.

Но вы можете заметить, что ОДЗ переменного данного уравнения .

В некоторых случаях при решении алгебраических  бывает удобно применять так называемые тригонометрические подстановки, что значительно упрощает, а иногда является единственным способом, позволяющим выполнить задание.

Итак: тема сегодняшнего урока: «Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач».

Цель нашего урока: Показать практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем.

3. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Вспомним  основные тригонометрические формулы, которые мы будем использовать сегодня на уроке. (опорный конспект)

1. Основное тригонометрическое тождество  

2. Формулы двойного аргумента                          

3. Формулы тройного аргумента

4. Ситуация-иллюстрация.

1) Разбор задач я предлагаю начать с доказательства условного неравенства.

Задание 1. (Слайд)  Доказать, что если , то .

Решение. (объяснение учителя)

Очевидно утверждение: если то существует такой угол t,        что a = cos t,  b = sin t.

Пусть .

Неравенство примет вид:

                                                (это очевидно)

Неравенство доказано.

2) Метод использования тригонометрических подстановок можно применить к нахождению экстремальных значений функции.

Задание 2.

Рассмотрим задачу: (Слайд)

Найдите наибольшее значение функции    f(x)=

Вопросы:

• Ваши предложения по выполнению данного задания.
• Каков алгоритм решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции?
• Обратите внимание на выражение, стоящее в правой части равенства. Согласитесь, довольно сложно найти производную данной функции. Давайте опробуем упростить решение.
• Как вы знаете, выполнение любого задания, содержащего функцию, мы начинаем с нахождения области определения. Найдите D(f)

      D(f) = , т.е.   .

Если из условия задачи следует, что , то удобно применять подстановки  или

Презентация: Т.к. , то положим .

Вопрос: Почему можно значение   ограничить отрезком   ?

(Область значений выбрана так, чтобы  принимал свои всевозможные значения по одному разу. Расширение этой области бесполезно, оно вносит многозначность в дальнейшие рассуждения)

Итак, .

Тогда

 f(x)=g(x)=(2sin)=.

Ответ: 2.

Вопрос: Можно ли произвести замену ?  (Можно).

Вывод: Итак, мы рассмотрели применение данного метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

3) Но всё-таки наибольший интерес данный метод представляет в применении к решению уравнений. Ведь алгебра – это наука об уравнениях.

Вернёмся к началу урока и решим предложенное уравнение. ( Представьте, что вы поступаете в МГУ)

Задание 3.  Решите уравнение     .

Решение:

ОДЗ:   .  Пусть  ,  где   , тогда уравнение примет вид

Отрезку  из первой серии принадлежат два числа  и , а из второй серии

Ответ: ,   ,    .

4)Ребята, у вас может сложиться впечатление, что данный метод применим только при решении задач, связанных с иррациональностью.

Как контр пример предлагаю выполнить следующее задание (оно было предложено на городской олимпиаде по математике).

Задание 4.

Сколько корней имеет на отрезке [0; 1] уравнение 8х (1 – 2х2)(8х4 – 8х2 +1) = 1?

Решение.

х ≠ 0;   х ≠ 1 (проверьте)

Пусть х = sin t,    

Уравнение примет вид:

Два решения:

(2 корня)

(2 корня)

Ответ: 4 корня.

Задание 5.

Решите систему уравнений

Решение.

Иногда бывает полезной подстановка , (где  )

Пусть ,   где    

Тогда    (из 1 уравнения)

    (из 2 уравнения)

   (из 3 уравнения)

Получим:

Если n = 0, то х1 = 0;  у1 = 0;  z1 = 0

Если n = 1, то  ,

Если n = 2, то

Если n = 3, то

Если n = -1, то

Если n = -2, то

Если n = -3, то

5. Итог урока. Сегодня на уроке мы познакомились с нестандартным красивым методом решения задач – применением тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач. Показали практическое применение этого метода при решении задач на доказательство неравенств, нахождение наибольшего значения функции, решении уравнений и их систем. Надеюсь, это вам позволит преодолеть психологический барьер при решении сложных математических задач на вступительных экзаменах, на олимпиадах, при дальнейшем обучении в Вузе.

Закончить свой урок я хочу высказыванием великого французского математика Ж.Л.Лагранжа «Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству».

Домашнее задание. Тренажер

Обязательный уровень: №1, №2 (а), №3 (а)

Повышенный уровень: №2 (в), №3 (в), №4 (в).

Тренажер.

Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач.

1. Доказать, что если a2 + b2 = 1, то | a + b | ≤ .

2. Доказать справедливость неравенств:

а)

б)

в)       (a = tg t)

3. Решите уравнение:

а)      (x = sin t)

б)     (x = tg t)

в)        (x = sin t)

г)            (x = tg t)

д)         (x = sin t)

4. Решите систему уравнений:

а)                          (x = cos t,    y = sin t)

б)        (x = cos t,    y = sin t)

в)         (x = sin α,   y = sin β)

Опорный конспект.

Применение тригонометрических подстановок при решении алгебраических задач.

1. Информационная справка

      1. Основное тригонометрическое тождество  

2. Формулы двойного аргумента                          

3. Формулы тройного аргумента

2. Задание 1. Доказать, что если , то .

Решение.

Задание 2. Найдите наибольшее значение функции    f(x)=

Решение.

      D(f) = , т.е.   .

Тогда

 f(x)=g(x)=2sin)=, т.к. .

Ответ: 2.

Задание 3. Решите уравнение     .

Решение.

О.Д.З.

Пусть х =                                                    ,тогда уравнение примет вид:

 и , , т.к.

Ответ: ,   ,    .

Задание 4. Сколько корней имеет на отрезке [0; 1] уравнение 8х (1 – 2х2)(8х4 – 8х2 +1) = 1?

Решение.

1) х ≠ 0;   х ≠ 1

2) Пусть х =           ,, тогда уравнение примет вид:

____________________________________________________ = 1,

____________________________________________________ = 1,

_____________________________________________________ = 1,

_____________________________________________________ = 1   |

cos (             ) = cos t,

t =                                                    ,        или    t =                               ,          

t =                                                    ,        или    t =                               ,          

(2 корня)

(2 корня)

Ответ: 4 корня.

Задание 5.

Решите систему уравнений

Решение.

Пусть ,   где    

Тогда    (из 1 уравнения)

                                      (из 2 уравнения)

                                     (из 3 уравнения)

Если n = 0, то х1 = 0;  у1 = 0;  z1 = 0

Если n = 1, то  ,

Если n = 2, то

Если n = 3, то

Если n = -1, то

Если n = -2, то

Если n = -3, то

 «Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству».

Ж.Л.Лагранж