Нестандартные приемы решения алгебраических задач
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) по теме

Нестандартные приёмы  решения алгебраических задач.

Ключевая идея решения – создание геометрической модели алгебраической задачи на основе теоремы косинусов.

Пример 1. Найдите положительные корни уравнения.

   4+x2 - 2   3x     +        x2-     3 xy +y2   +      9+y2- 3   3y  =    13.

Решение:  По условию задачи x>0, y>0.

Введём обозначения:

 4+x2 -2  3x = a;               x2-   3xy +y2  = b;          9+y2-3    3 y  = c.  Тогда a+b+c =    13.

 Возведя в  квадрат обе части каждого из  равенств,  получим:    

a2 = 4+х2 -2   3 х;          b2 = x2 -    3 xy+y2;       c2 = 9+y2-3    3 y.  Преобразуя их к виду

.

a2 = 22 +х2 - 2∙ 2х ∙   3    ;          b2 = x2 + y2 – 2xу      3;       c2 = 32 + y2 -2∙3у   3  ,

                                2                                                  2                                       2

первое из них можно рассматривать как теорему косинусов для    треугольника со сторонами   a, 2, x    и    углом   φ1= 30°, где  φ 1 = ∠(2,х),

второе – как теорему косинусов для треугольника со сторонами  

b, х, y   и  углом  φ2= 30°, где    φ2  = ∠(х,y),                                      

третье равенство  – как теорему косинусов для треугольника со сторонами  

с, y, 3  и  углом  φ3= 30°, где    φ3 = ∠(y,3).

1)                                                    2)                                                   3)

           2                        a                          x                       b                           y                      c          

         30°                                                 30°                                                 30°                                    

                     x                                                   y                                                      3                            

Совместив эти треугольниками сторонами x и y, получим пифагоров треугольник.  (22+32=13.)        

Обозначим ∠ B через α. Рассмотрим ∆CDB: по теореме синусов:

   CD                           BC

sin ∠B                  sin∠CDB

∠CDB=180°- (α +30°)=150°- α.  Значит:            

    y                        3                                              3∙sin α

sin α             sin (150°- α)                                   sin (150°- α)

Воспользуемся формулой: sin(α-β) = sin α ∙ cos β - sin β ∙ cos α.

                              3∙sin α

         sin 150° ∙ cos α - sin α ∙ cos 150°  

                                2                        3

Из ∆ACB: sin α=   13;       cos α=   13.

                                    3  ∙  2

Значит,                             13                               6∙2  13                   12                 12(2   3 -3)

                             1   ∙    3       2   ∙    3              13(2   3 +3)          2   3 +3                     3

                             2       13     13      2                                            

=4(2  3 - 3).                                                        

                                               CE               CB

Из ∆BCE  по т. косинусов:  sin β         sin BEC ,   т.е.

   x                   3                                       3∙sin α

sin α       sin (120°- α)                             sin (120°- α)

                        3 ∙ 2                                                    6      

                            13                                   13     3   ∙   3     1   ∙   2                 6 ∙ 2    13  

  sin 120° ∙ cos α - sin α ∙ cos 120°                     2      13    2      13              13 (3   3 + 2)              

      12                 12(3   3 -2)

  3  3 +2                    23           .

Ответ:   x =;      y =4 (2  -3).    

Пример 2: Найти положительные решения системы уравнений:

  x2+xy+y2=9,

  z2+yx+y2=16,

  x2+xz+z2=100.

Решение. По условию x>0, y>0, z>0.

Преобразуем каждое уравнение системы к  виду:

x2+y2+2xy  = 32;  y2+z2+2yz .= 42;   z2+x2+2zх= 102.

  Каждое из уравнений можно рассмотреть как теорему косинусов, записанную для       треугольников со сторонами:

1)  x, y, 3    и    углом     φ1= 60°, где  φ 1 = ∠(x,y).

2)  y, z, 4  и  углом  φ2= 60°, где    φ2 = ∠(y,z).

3)  z, x, 10  и  углом  φ3= 60°, где    φ3 = ∠(z,x).

Совместив эти треугольники, получим следующую модель:

Проверим неравенство треугольника для наибольшей стороны:

10<3+4(неверно). Значит, такой треугольник не существует, т.е. система

уравнений не имеет положительных решений.

Ответ: решений нет.

Источники информации: по материалам Осенней математико-английской школы УРЭК  г. Белорецк.