"Математика и литература, архитектура и прогрессии: арифметическая и геометрическая", 9 класс
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Урок - проект

по теме

в 9-ом классе

'' Математика и литература, и архитектура…

арифметическая и геометрическая прогрессии''

Учителя математики

Школы №868

Южного округа

Колесниковой Т.А.

Цель урока:

• обобщить и систематизировать базовые знания учащихся по данной теме;
• показать  сложное взаимодействие математики с основами наук естественного и гуманитарного цикла;
• развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение работать с дополнительной литературой с определённой целью;
• эстетически воспитывать учащихся пониманию красоты и изящества математики в изучении других предметов;
• формировать духовную сферу учащихся с помощью запаса общечеловеческих и общекультурных ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего развития в России;
• создавать культурно-историческую традицию в обучении математики.

 Математика и литература, архитектура и…

арифметическая и геометрическая прогрессии.

Урок-проект

            Подготовительная работа к уроку.

Класс разделён на 4 группы, которые готовят сообщения по следующим темам:

1 группа - арифметическая прогрессия, историческая справка;

2 группа - геометрическая прогрессия, историческая справка;

3 группа - прогрессии и литература;

4 группа - прогрессии и геометрия, биология.

Эпиграф урока:  

Закончился 20-й век.

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звёзд и вся Земля

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

'' Прогрессио – движение вперёд ''.

Учитель: сегодня мы проводим урок-проект, посвященный арифметической и геометрической прогрессии. Ваша цель на уроке: заслушать представителей проекта каждой группы, сделать вывод о взаимосвязи данной темы по алгебре с другими науками естественного и гуманитарного цикла.

 Ребята работали по группам, стараясь найти исторический материал. Давайте посмотрим, что у них получилось. Каждая группа выбрала капитана и секретаря. Роль капитана - распределить задания между членами группы и координировать работу группы во время урока. Роль секретаря – заполнять рабочую таблицу в ходе урока (таблица прилагается).

1.  Выступление первой группы. Представляется домашнее задание.      

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Например, египетская задача из папируса Ахмеса. '' Пусть тебе сказано: разделить десять мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры''. При решении этой и других аналогичных задач египтяне, видимо, пользовались правилом, которое можно записать в современной символике так:

а=S/n – (n-1)·d/2          или            S=(a+b)/2· n  

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.п.

Пример № 1

Прогрессия из домино.

Выложено 6 косточек домино по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках ( на двух половинках каждой косточки) возрастает на 1: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков:

4;5;6;7;8;9.

Представитель 1-ой группы заполняет сравнительную таблицу на доске.

2. Выступление второй группы. Представляется домашнее задание.       

Издавна большой популярностью пользуется следующая задача-легенда, которая, как полагают, относится к началу нашей эры.

'' Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую- 2 зерна, за третью- 4 зерна и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это ''скромное'' желание Сеты''.

В этой задаче идёт речь о суммировании геометрической прогрессии.

Её сумма равна : 264 – 1= 18 446 744 073 709 551 615. (восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

В древнерусском юридическом сборнике ''Русская правда'' содержатся выкладки о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определённого участка земли, и т. д. В некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений над явлениями природы и из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.

3. Выступление третьей группы. Представляется домашнее задание.      

То, что математики являются не только тонкими ценителями изящной словесности, но и сами зачастую выступают маститыми литераторами, общеизвестно. Достаточно вспомнить профессора Оксфордского университета Чарлза Латуиджа Доджсона (1832 – 1898) , который под псевдонимом Льюиса Кэрролла написал знаменитую сказку ''Алиса в стране чудес''. Можно вспомнить и скромного и великого русского учителя математики Александра Солженицына, ставшего не только гордостью современной русской литературы, но и совестью современной России.

Но то, что строгие современные математические законы часто определяют структуру всего литературного произведения, подчас вызывает удивление даже у профессиональных филологов. Законы формы отличают искусство от неискусства, симфонию от какофонии, архитектурный шедевр от заурядной постройки, литературное произведение от информационного сообщения. Но форма – это порядок, а порядок – это математика.

В поэзии более ярко выступают законы построения данного типа художественной формы и более отчётливо проявляются строгие математические закономерности.

Речь – это набор звуков. В поэзии главную организующую роль играют сила и длительность звука. Разговорную речь принято делить на слоги.

Сила слога – это ударный или безударный. Повторяющиеся комбинации ударных и безударных слогов называются стопами. Стопы и являются базисными элементами во всякой системе стихосложения.

Вспомним строки из романа А. С. Пушкина ''Евгений Онегин'' , сказанные о его герое:''…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить''. Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на чётных слогах стиха ( Мой дядя самых честных правил…), т. е. Ударными являются второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д. слоги.  Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2,4,6,8…

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха (Буря мглою небо кроет…). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1,3,5,7…

4. Выступление четвёртой группы. Представляется домашнее задание.       

Геометрическая прогрессия в геометрии (рассказ о пентаграмме).

Пятиконечной звезде – около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье как полагают, звездчатый пятиугольник перевёз Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. В средние века пентаграмма '' предохраняла '' от нечистой силы, что, в прочем, не мешало называть её '' лапой ведьмы ''. сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звёздчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звёздчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты её математического строения, была замечена  ещё Пифагором и с тех пор не устаёт радовать глаз художника и разум математика.

Рассмотрим подробнее свойства звёздчатого пятиугольника. Прежде всего заметим, что уже первый этап его построения – деление окружности на пять равных частей – представляет собой прекрасный пример '' обретения неочевидной истины ''. В самом деле, в то время как деление окружности на три, четыре, и шесть равных частей не представляет затруднений, разделить окружность на 5 равных частей не так-то просто. Вот почему задача о пятикратном делении окружности подробно разбирается в таких велики сочинениях, как '' Начала'' Евклида, '' Альмагест '' Птолемея, ''руководство к измерению при помощи циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знание с надлежащими рисунками в 1525 году ''. Дюрер придавал исключительное значение геометрии в искусстве. Трактат Дюрера '' Руководство к измерению '' является торжественным гимном геометрии в искусстве, блестящей страницей в истории взаимодействия науки и искусства.

Итак, пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Легко видеть, что внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду и так далее.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения. Ряд является геометрической прогрессией. Пятиконечная звезда на ряду с золотой пропорцией содержит все  древние средние: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота её внутреннего математического строения и являются основой красоты её внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Задание классу.

Пример задачи по биологии:

Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток? ( Ответ : 1024 а )

5. Учитель предлагает решить задачу из ''Арифметики''                          Л. Ф. Магницкого, и послушать сообщение учащихся. 

Леонтий Филиппович Магницкий (1669 – 1739) был замечательным педагогом-математиком. Пётр I познакомился с Леонтием Филипповичем в 1700 г., был поражён его математическими познаниями (''словно магнит, притягивающий науки'' ) и дал ему фамилию Магницкий, лично направив преподавать в математико-навигацкую школу. В созданной Магницким учебной книге ''Арифметика'' (1703 ) , наряду с систематическим изложением курса математики, много внимания уделялось общим рассуждениям на математические темы, причём изложенным в стихотворной форме.

Л. Ф. Магницкий, по словам русского поэта XVII в. В. К. Тредиаковского, был '' первым русским арифметиком и геометром''. Его ''Арифметика'' явилась не столько учебником, сколько энциклопедией математических знаний того времени.

Задача.

''Некто продал коня за 156 руб. Покупатель, заплатив деньги, раздумал, считая цену слишком высокой, и возвращает коня. Тогда торговец изменил условия покупки. Он предложил покупателю купить у него только подковные гвозди (по 6 гвоздей на каждой подковке, всего 24 гвоздя) и после уплаты за них получить в придачу и лошадь. За гвозди владелец лошади установил такую цену: за первый – полушку, т. е. ¼  копейки, за второй – ½  копейки, за третий – 1 копейку и т. д.,    т. е. Плата за каждый следующий гвоздь была в 2 раза больше, чем за предыдущий. Покупатель согласился на эти условия, считая, что ему придётся уплатить за лошадь не более 10 руб. В задаче спрашивается, на сколько покупатель просчитался.''

Решение:

b1= ¼, q = 2, n = 24

S24= ¼ ( 1 - 224 )/(1 – 2 ) = 222 – ¼ = 4194304 – ¼ = 4194303,75

156 руб. = 15600 копеек.

4194303,75–15600=4178703,75=41787 рублей 3 копейки 3 полушки

6. Подведение итогов урока.

Учитель: возвращаясь к цели нашего урока, ответьте на поставленный ранее   вопрос: какова взаимосвязь алгебраической  темы "Арифметическая и геометрическая прогрессии" с другими науками естественного и гуманитарного цикла?

Вывод учащихся: как мы смогли убедиться на практике, нельзя математику рассматривать как нечто абстрактное. В действительности же существуют невидимые нити, которые объединяют математику и литературу, математику и биологию, математику и нашу повседневную жизнь. Мы увидели широкое применение арифметической и геометрической прогрессий при решении биологических задач и старинных задач из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого. Законы прогрессий так же позволяют создавать поэзию, придерживаясь определённого размера.

7. Оценка деятельности учащихся в группах по рабочим таблицам

 8.Задание группам: составить синквейн по теме урока.

1 строка - Название, тема.

2 строка - три прилагательных или один причастный оборот.

3 строка - три глагола.

4 строка -  предложение глубокого смысла и содержания.

5 строка - девиз, крик души.

Примеры синквейнов:

1. Арифметическая прогрессия.

Древняя, полезная, вечная.

Применять, увлекать, прослеживать.

Созданная природой в помощь человеку.

Приводит к пониманию красоты и изящества математики.

2. Геометрическая прогрессия.

Возрастающая, убывающая.

Стремиться, не останавливаться.

Геометрическая прогрессия имеет широкое применение в литературе,      биологии.

Вперёд, вперёд к прогрессу.

3. Прогрессия в литературе.

Вечные, закономерные, всеобъемлющие.

Соизмерять, сочетать, применять.

Прогрессия – это движение вперёд.

Жизнь без прогрессии невозможна.

4. Прогрессии в геометрии и биологии.

Универсальные, незаменимые, уникальные.

Увлекать, поражать, восхищать.

Незаменимое явление во все времена и во всех науках.

Донесём знания предков до будущих поколений.

5. Прогрессия.

Геометрическая, арифметическая.

Убывать, возрастать, прогрессировать.

Её свойства охватывают множество областей нашей жизни.

Её Величество Прогрессия на вершине математического искусства.

Учитель завершает урок:

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Образец рабочей таблицы для каждой группы.

Урок-проект по алгебре. Тема “Прогрессии.”

Команда №