Урок обобщения и систематизации знаний по алгебре в 9 классе "Арифметическая и геометричексая прогрессии"
план-конспект урока (алгебра, 9 класс) по теме

Урок обобщения и систематизации знаний
                            по теме:

«Арифметическая     и

                                  геометрическая

                                                           прогрессии»

                                  9 класс

   Учитель :
                                            Кляпцова Л.А.
                                             МБОУ ООШ № 81
                                            г. Краснодар

Тема урока.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Цель урока.
Обобщение изученного материала по теме, формирование умений применять формулы к решению практических задач.
Развитие познавательной активности, творческих способностей учащихся.

На доске написан девиз урока:
« Дорогу осилит идущий,
математику –мыслящий» ,

и план урока.

1. Разминка.
                           1) Блиц- турнир

                            2) «Ты мне- я тебе»

2. Из истории математики.
3. Угадай слова.

Ход урока.

Весь класс делится на 2 команды « Арифметическая прогрессия»  и

 « Геометрическая прогрессия», рассаживаются за два ряда.

1. Разминка
                       1) Блиц турнир.

Учитель задает вопросы каждой команде 1 минуту. Выигрывает та команда, кто быстрее дает больше правильных ответов.
                        2) «Ты- мне, я –тебе».

Каждая команда записывает на листах формулы по теме « Арифметическая прогрессия»(одна команда), «Геометрическая прогрессия» (другая команда) и спрашивают друг у друга «Какая это формула?», « Что находят по этой формуле», и т.д.

Вопросы блиц – турнира.
1. Дать определение арифметической прогрессии.
2. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
3. Число d в арифметической прогрессии.
4. Назовите следующие три члена геометрической прогрессии 1:49,1:7,…,…,… .

5.Является ли  последовательность натуральных чисел прогрессией? Какой?
6. Первый из двух стоящих рядом членов последовательности.
7. 12-ый член арифметической прогрессии выражается формулой… .
8. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей при условии….
9. Какая задана прогрессия 8;4;0;-4

1.Дать определение геометрической прогрессии.
2. Какое число называют разностью арифметической прогрессии?
3. Число g в геометрической прогрессии.
4. Назовите следующие при члена арифметической прогрессии 12;7;2;…;…;… .
5. Является ли последовательность нечетных  чисел прогрессией? Какой?
6. Разность последовательно одинаковых чисел.
7. 9-тый член геометрической прогрессии выражается формулой…
8. Если в геометрической прогрессии модуль знаменателя 1,то она называется…
9. Числовая последовательность 81;9;1;… . Называется..

2. Из истории  развития математики.

Доклады двух учеников:

           1) О развитии  шахмат(о геометрической прогрессии),
          2) о Гауссе( об арифметической прогрессии).

3.  « Угадай слово».
На доске записаны  задания для 2 команд. Ответы (числа) зашифрованы буквами. Через 10 минут по очереди к доске выходят все члены команд и выбирают  ответы.  С обратной стороны  записаны слоги.
1) Последовательность  (ап)- арифметическая прогрессия. Найти седьмой член прогрессии
     5;2;-1;…                                                                      7;5;3;….

2) Первый член геометрической прогрессии равен 81(64),а ее знаменатель 1:3(1:2).
Найти пятый член прогрессии.
3) Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
    -125;-25;-5;…                                                              -343;-49;-7;…
4) Является ли число 25(28) членом  арифметической прогрессии
   -10;-3;4;…                                                                       -7;-2;3;…
Если да, то укажите его номер.
5) Знаменатель геометрической прогрессии равен -2(-3). Сумма ее первых трех членов равна 4,5 (1,4).    Найти четвертый член этой прогрессии.
6) Вычислить : 7,5+9,8+12,1….+53,5.
Чья команда решит быстрее все задания? Когда закончат все вычислять карточки переворачивают обратной стороной и на  доске составляется выражение
  Математика -  гимнастика ума.

                          1 команда

                         2 команда

Дополнительно.
Конкурс эрудитов.

      В старинной арифметике Магницкого нашли следующую забавную задачу.
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель ,приобретя лошадь , раздумал  ее покупать и возвратил  продавцу говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если по-твоему цена лошади высока, то купи тогда только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей  в  каждой подкове 6.За первый гвоздь дай мне всего ¼ коп. , за второй ½ коп. , за третий 1 коп. и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая ,что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
На сколько покупатель проторговался?

5. Итог  урока.

Консультант в каждой команде подсчитывал,  кто получает плюсы за каждый правильный ответ, и кто больше решил верно примеров.

Progressio-

                     движение

                                          вперед.

     Мы изучили две прогрессии - арифметическую и геометрическую. Вспомним их определения. Надо лишь заменить сложение умножением, или наоборот, и из одной прогрессии получим другую. Мы еще раз убеждаемся в том, что операции сложения и умножения имеют много общего. Родство  прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства:
Любой член арифметической/геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим/геометрическим предшествующего и последующих членов.

An=(An-1+An+1) :2                 Bn=√Bn-1 * Bn +1

Здесь  тоже  достаточно  заменить  сложение  умножением, а  деление  на  2 извлечением  корня  второй  степени, из  характеристического  свойства арифметической  прогрессии  получается  характеристическое  свойство геометрической  прогрессии.
Формула n-го члена прогрессии:
An=a1+d(n-1)                     Bn=b1.gn-1

Зная лишь одну формулу, можно легко, заменяя сложение умножением, а умножение возведением в степень, из формулы для арифметической прогрессии получить формулу для геометрической прогрессии.

Сами  по  себе прогрессии известны так давно что, конечно,  нельзя  говорить  о  том,  что  кто  их  открыл.
Это и  понятно -  ведь  уже  натуральный  ряд  1,2,3,4…..n,…. Есть арифметическая прогрессия с первыми членами равными 1 и разностью, тоже равной 1. Последовательность нечетных чисел - тоже прогрессия с разностью равной 2.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.
Индийский царь Шерам призвал  к  себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы  он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры.

Царя изумила скромность просьбы, услышанной или от изобретателя : тот попросил выдать ему за первую  клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - еще в два раза больше, т.е. четыре, за четвертую – еще  в два раза больше и т.д.
Эта задача привела внимание Л.Н. Толстого, и он простыми расчетами высчитал:
на 1-ю  1                      на 33-ю    4294967296

На 2-ю  2                     на 64-ю    92233720368545808

На 3-ю  4

На 4-ю  8

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369    пудов.
Общее число зерен составит число   184464403709551615.

На связь между  прогрессиями  первым, по- видимому, обратил внимание великий  Архимед  (ок. 287- 212 до н.э.).  Вы конечно, знаете из физики о законе Архимеда. Обычно в школе говорят  об Архимеде как о физике. А он еще был и замечательным математиком, положившим начало многим из тех разделов нашей науки, которые развиты лишь в 18 веке.

С формулой Sn =     связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К. Гаусса   (1777-1855) . Когда ему было 9 лет, учитель, занятый  проверкой учеников других классов, задал на уроке следующую задачу :  

 « посчитать  сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+…..+40=..»
Каково же было удивление учителя, когда одни из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: « Я уже решил» . Большинство учеников после долгих   раздумий получили неверный результат. В тетради Гаусса   было только одно число, зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равно 41:

Т.к. пар 20, поэтому  заданная  сумма равна 41.20=820