Размещения
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Задача 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу? Решение: P 9 = 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362 880. Ответ: 362 880.

Слайд 3

Задача 2. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Решение: а) P 6 = 6! = 720; Ответ: а) 720; б) 1 способ (метод исключения лишних вариантов): P 6 – P 5 = 6! – 5! = 720 -120 = 600; 2 способ (правило произведения): 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600. Ответ: б) 600.

Слайд 4

Задача 3. Решите уравнение: а) n ! = 7 · ( n -1)!; б) ( k – 10)! = 77 ·(k – 11)! Решение: n ! = 7 · ( n -1)! n·(n-1)! = 7 · ( n -1)! n = 7 Ответ: 7. Решение: ( k – 10)! = 77 ·(k – 11)! (k – 10)·(k – 11)! = = 77·(k – 11)! K – 10 = 77 K = 87 Ответ: 87.

Слайд 5

Задача 4. Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, из которых 3 книги – это книги одного автора, так, чтобы книги одного автора стояли рядом? Решение: Из 7 элементов 3 элемента можно «склеить» P 3 = 3! = 6 различными способами. Число различных перестановок из 5 элементов (4 элемента + «склейка») равно P 5 = 5! = 120. Общее число способов расставить 7 книг, из которых 3 должны стоять рядом, равно 6 · 120 = 720. Ответ: 720 .

Слайд 6

Задача. Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 4 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров в ячейках? Решение: Число размещений 4 шаров в 4 ячейках равно числу перестановок из 4 элементов P 4 = 4! = 24. Ответ: 24 .

Слайд 7

Пусть имеется 4 шара (красный, синий, зеленый и желтый) и 3 пустых ячейки. Сколько существует способов размещения шаров в ячейках? Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

Слайд 8

Определение. Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Размещения отличаются друг от друга как составом, так и порядком расположения элементов в комбинации. Число размещений из n элементов по k обозначают

Слайд 9

Дерево возможных вариантов или граф-дерево. Число размещений из 4 шаров по 3 к с з ж с з ж к з ж к с ж к с з ж з с ж с з з ж к ж к з с ж к ж к с с з к з к с

Слайд 10

Таблица размещений из четырех элементов по три. к c з ксж кзс кзж кжс кжз скз скж сзк сзж сжк сжз зкс зкж зск зсж зжк зжс жкс жкз жск жсз жзк жзс

Слайд 11

Правило произведения. Первый шар можно выбрать четырьмя способами, так как им может быть любой из четырех шаров. Для каждого выбранного первого шара можно тремя способами выбрать из трех оставшихся второй шар. Для каждых первых двух шаров можно двумя способами выбрать из двух оставшихся третий шар.

Слайд 12

Вывод формулы для вычисления числа размещений из n элементов по k , где k ≤ n . Первый элемент можно выбрать n способами. Для каждого выбора первого элемента можно n -1 способами выбрать второй элемент (из n -1 оставшихся). Для каждого выбора первых двух элементов можно n -2 способами выбрать третий элемент (из n -2 оставшихся) и так далее. Наконец, для каждого выбора первых k -1 элементов можно n - (k -1) способами выбрать k -й элемент (из n - (k -1) оставшихся). Число размещений из n элементов по k равно произведению k последовательных натуральных чисел, из которых наибольшим является n .

Слайд 13

Определение. Произведение k натуральных чисел, начинающееся с n , в котором каждый следующий множитель уменьшается на единицу, называется убывающим k -факториалом от n и обозначается ( n) k .

Слайд 14

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? Решение : Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования предметов. Значит, речь идет о размещениях из 8 элементов по 4.

Слайд 15

Задача № 1. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; Ответ: 30. б) 4 фотографии; Ответ: 360. в) 6 фотографий? Ответ: 720.

Слайд 16

Размещения из n элементов по n отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. представляют собой перестановки из n элементов.

Слайд 17

Задача № 2. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? Ответ: 24.

Слайд 18

Задача № 3. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать? Ответ: 870.

Слайд 19

Задача № 4. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? Ответ: 336.

Слайд 20

Задача № 5. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда? Ответ: 840.

Слайд 21

Задача № 6. Сколькими способами 6 учеников, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов? Ответ: 27 907 200.

Слайд 22

Задача № 7. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать ( в латинском алфавите 26 букв)? Ответ: 7 893 600.

Слайд 23

Задача № 8. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9. Ответ: 120.

Слайд 24

Домашнее задание. Задача №1. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим? Задача №2. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов? Составить и решить задачу на размещения из 25 элементов по 4.