Применение производной при решении задач с параметрами
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) по теме

Вологодский Государственный Педагогический Университет

Курсовая работа

Тема: Производная в курсе алгебры средней школы, нестандартное применение производной.

Вологда

2009г

Элементы математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

        Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

        Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и интеграла дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

        Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Производная и ее применение

1. Понятие производной

1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли  Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значению соответствует значение функции  y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент:

То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y.

2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:

Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:

Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0

и для частного случая z = f(x, y):

Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)

Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида

Решение:

Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1

Уравнение искомой плоскости:

Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

3.  Некоторые применения производной

3-1.  Применение производной при решении неравенств

        Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

        Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

        Если точка x0 является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f/(x0)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

        Если функция f непрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f/(x0)>0 (f/(x0)<0 ) на интервале (a,x0) и f/(x0)<0 (f/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f.

        Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b  и в критических точках из отрезка [a,b].

        Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

        Пусть, например, требуется доказать, что на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)0, т.е.

 f(x)g(x).

Задача 3.1.  Доказать что (e+x)e-x>(e-x)e+x  для 0

Решение.

Данное неравенство равносильно следующему: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Пусть        f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

тогда                f/(x)=-ln(e+x)+(e-x)/(e+x)-ln(e-x)+(e+x)/(e-x).

Так как        (e-x)/(e+x)+(e+x)/(e-x)=2(e2+x2)/(e2-x2)>2,

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2)2=2,

то f/(x)>0 при 0. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0x то f(x)>0 при 0 Отсюда получаем решение задачи 1.

Задача 3.2. Доказать неравенство tgka+ctgka2+k2cos22a, 0натуральные.

Решение.

Неравенство можно записать в виде: (ctgk/2a–tgk/2a)2k2cos22a.

Пусть сначала 0. На этом интервале ctg a> tg a, cos 2a>0, поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству  ctgk/2a–tgk/2a  k*cos 2a.

Положим  f(a)=ctgna–tgna–2n*cos 2a, где n=k/2.

Далее, f/(a) = –(n/sin2a)ctgn-1a – (n/cos2a)tgn-1a + 4n*sin 2a = – n((ctgn-1a + tgn-1a) + (ctgn+1a + tgn+1a) – 4sin 2a)  – n(2-2sin 2a)<0  при 0

Здесь, как и в предыдущей задаче, использован тот факт, что сумма взаимно обратных положительных чисел больше или равна 2. Таким образом, на интервале 0 функция f убывает. В точке a=/4 она непрерывна, поэтому (0; /4] является промежутком убывания f. Наименьшим значением функции на этом промежутке является f(/4)=0. Следовательно, f(a)0 при 0 Для указанного промежутка неравенство доказано. Если /4, то 0</2–a</4. Однако неравенство не меняется при заменен a на /2–a. Задача 2 решена.

Задача 3.3. Что больше e или e ?

Решение.

Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: ab=ba, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a. Ввиду симметричности вхождения a и b в уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение ab=ba равносильно уравнению b*(ln a)=a*(ln b), или

(ln a)/a = (ln b)/b.

        Пусть f(x)=(ln x)/x   (1). Существование решений уравнения (1) эквивален-тно наличию значений x1 и x2 (x12) таких, что f(x1)=f(x2). В этом случае пара (x1,x2) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная f/(x)=(1–ln x)/x2  в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0/(x)>0  функция f возрастает, а при x>e  f/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e  f  принимает свое наибольшее значение  (1/e). Так как функция (ln x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от – до 1/е. Аналогично, на промежутке [e,) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Если 0 и a1, то (ln a)/a<(ln b)/b. Поэтому aba . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение ab=ba не имеют решений.

2. Если  1 то aba  и уравнение ab=ba также не имеют решений.

3. Если  b>a>e, то ab>ba.

        Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1 найдется единственное значение b>e такое, что ab=ba 

        Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b= и воспользоваться утверждением (1). Итак, e > e . Задача 3 решена.

Задача 3.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению  предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.

Решение.

Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn/. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то

Приравнивая n-е члены прогрессий, находим

Тогда   , где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что , где n>2, q>1   (2)

При n=3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем

Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение  при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной.

Пусть   Производная    положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.

3-2. Использование основных теорем дифференциального исчисления

при доказательстве неравенств

ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:

1) fC[a,b];   2) x(a,b) существует f/(x);   3) f(a)=f(b).  Тогда  C(a,b): f/(C)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль  у производной.

ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a,b]R удовлетворяет условиям:

1) fC[a,b];   2) x(a,b) существует f/(x).  Тогда  C(a,b): f(b)-f(a)=f/(C)(b-a).

Отношение (f(b)-f(a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси  абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f(a)), (b, f(b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f(C)) параллельна секущей.

Следствие 1. Пусть функція f:[a,b]R имеет производную f/ на (a,b) і x(a,b)  f/(x)=0. Тогда для некоторого L R x(a,b)  f(x)=L.

Следствие 2. Функции  f:[a,b]R, g:[a,b]R  имеют произодныеі f/ и g/  на (a,b) и x(a,b)  f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа L R  x(a,b):  f(x)=g(x)+L.

Следствие 3. Пусть функция f:[a,b]R имеем производную f/ на (a,b) и  для некоторого L R x(a,b)  f/(x)=L. Тогда для некоторого M R x(a,b): f(x)=Lx+M.

ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции  f:[a,b]R, g:[a,b]R  удовлетворяют условиям: 1)  f, gC[a,b];  2) x(a,b)  существуют производныеі f/ и g/ ; 3) x(a,b) g/(x)0.

Тогдаі C(a,b):  (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f/(C)/g/(C).  

Теорема Лагранжа – это частный случай теоремы Коши при g(x)=x, x[a,b].

Задача 3.5.  Доказать, что для любых  x, y  R:  sin x – sin yx–y;                        x, y  R:  cos x – cos yx–y;    x, y  R:  arctg x – arctg yx–y;

x, y  [1; +):  x – y 0.5x–y.

Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x

C(x,y): sin x – sin y=cos C(x–y). Учитывая неравенство cos u1, uR, получим требуемое неравенство.

Задача 3.6.  Доказать, что для любого x  R:  ex  1+x, причем равенство может быть тогда и только тогда, когда x=0.

Пусть сначала x>0. По теореме Лагранжа для функции f(u)=eu, u[0,x],

C(0,x): ex – e0 = eC(x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f(u)=eu, u[x,0]. Имеем  C(x,0): e0 – ex = eC(0-x)<–x, так как –x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x0 имеем ex > 1+x.

Задача 3.7. Доказать, что для любого  x >0:  ex>1+x+(x2/2).

Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциям

f(u)=eu,   g(u)=1+u+(u2/2),   u[0,x]. Получим  C(0,x):  (ex – e0)/(1+x+(x2/2)–1) = eC/(1+c).  Учитывая доказанное неравенство, найдем  (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда  ex>1+x+(x2/2).

Задача 3.8. Доказать, что для 0 (2/)x.

Пусть  f(x)=(sin x)/x (0/(x)=cos x (x–tg x)/x2  (0f(/2)=2/, если 0

Задача 3.9. Доказать, что при x>0 выполняется  cos x >1–(1/2)x2.        

Функция f(x)=cos x –1+(1/2)x2  равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0,

f/(x) = –sin x+x>0 (или sin x< x). Т.е., функция f(x) для x0  возрастающая, а при x<0 будет f(x)>f(0)=0, т.е. cos x>1–(1/2)x2.

Отсюда, аналогично при x>0  получим sin x>x–(1/6)x3.        

Задача 3.10. Доказать, что при 0 x+(1/3)x3.

Для этого достаточно установить, что для указанных  x производная функции  tg x–x–(1/3)x3, равна sec2x–1–x2, положительна, т.е. что tg2x – x2>0, а это приводит к известному неравенству  tg x>x.

Задача 3.11.  Доказать, что при x>0 выполняется  ln x  x-1.

Так как функция f(x)=ln x–x (x>0) имеет производную f/(x)=(1/x)–1 > 0 (при 0/(x)=(1/x)–1 < 0 (при x>1), то функция возрастает пока x изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке [1;+). Отсюда получаем, что f(1)=–1 будет наибольшим значением функции, так что для x>0 выполняется  ln x  x-1.

3-3. Применение производной при решении уравнений

        Покажем, как с помощью производной можно решать вопросы существова-ния корней уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств монотонных и непрерывных функций.

Свойство 1. Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке равнение f(x)=0 имеет не более одного корня.

        Это утверждение вытекает непосредственно из определения возрастающей и убывающей функций. Корень уравнения f(x)=0 равен абсциссе точки пересечения графика функции y=f(x) с осью x.

Свойство 2. Если функция f определена и непрерывна на промежутке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то между a и b найдется точка c, в которой f(c )=0.

Задача 3.12. Решить уравнение  

Решение.

Заметим, что  является корнем уравнения. Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Исследуем функцию f, где , на монотонность. Производная . Установим промежутки, на которых функция  сохраняет знак. Для этого исследуем ее на монотонность. Производная . Так как при   , то  при . Следовательно, функция  возрастает при положительных значениях x; . Поэтому  при . В силу четности функции  она принимает положительные значения при всех . Следовательно, f возрастает на всей числовой оси. Согласно свойству 1, уравнение  имеет не более одного корня. Итак,  – единственный корень уравнения.

Задача 3.13. Решить систему уравнений  

Решение.

Система эквивалентна следующей:

Из первого уравнения следует, что , из второго – . Выразим з первого уравнения x через y: , . Тогда . положив , получим  или . Производная функции f, где , равна . она отрицательна при всех значениях t. Таким образом, функция f убывает. Поэтому уравнение  имеет не более одного корня. Заметим, что  является его корнем. Итак,  единственное решение системы.

Задача 3.14.  Доказать, что уравнение   имеет единственный корень, лежащий в интервале .

Решение.

Уравнение равносильными преобразованиями приводится к виду , где . Функция f возрастающая, так как  при всех . Согласно свойству 1, уравнение имеет не более одного решения. Функция f непрерывна, кроме того, , . В силу свойства 2 уравнение на интервале  имеет корень.

        В задаче 3 требовалось доказать, что корень уравнения принадлежит  некоторому промежутку. Мы пользовались свойством 2 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах этого отрезка значения разных знаков. Этот путь не всегда приводит к цели при решении подобных задач. Иногда целесооб-разно воспользоваться следующим свойством дифференцируемых функций.

Свойство 3 (Теорема Ролля). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и f(a)=f(b), то существует точка  такая, что .

         На геометрическом языке свойство 3 означает следующее: если , то на графике кривой  найдется точка С с координатами , где касательная к графику параллельна оси x.

Задача 3.15. Доказать, что уравнение   при ,  имеет не более одного действительного корня.

Решение.

Предположим, что уравнение имеет, по крайней мере, два корня  и . Функция f, где  дифференцируема на всей числовой прямой. Так как , то согласно свойству 3, ее производная на интервале  имеет корень. Однако при  уравнение  решений не имеет. Полученное противоречие показывает, что уравнение не может иметь более одного корня.

Задача 3.16. Доказать, что многочлен , ,

  имеет не более n корней.

Решение.

        Согласно свойству 3, между двумя корнями многочлена лежит, по крайнем мере, один корень его производной. Поэтому, если многочлен f(x) имеет , различных корней, то его производная  должна иметь не менее (k-1) корней. Точно так же  – не менее k-2 корней и т.д., n-ая производная – не менее (k-n) корней, . Это невозможно, так как  является отличной от нуля постоянной.

Задача 3.17. Доказать, что многочлен  имеет корень между 0 и 1 ().

Решение.

Применение свойства 2  к цели не приводит, так как  . Рассмотрим функцию g, где . Для нее функция f является производной. Так как , то согласно свойству 3, при некотором   .

Задача 3.18. Доказать, что уравнение   не имеет действительных корней.

Решение.

        Пусть , тогда . Если x – корень уравнения, то , т.е. функция f, в силу ее непрерывности, убывает в окрестности каждого корня. Заметим, что если уравнение имеет корни, то они отрицательные. Известно, что многочлен n-й степени имеет не более n корней. Обозначим через  - наибольший из корней. Тогда  существует такое ,  что   . Так как , то на интервале  должен находиться корень x многочлена f(x). получили противоречие.

        Рассмотрим уравнение вида  , где f, g – взаимно обратные, возрастающие функции, имеющие одинаковые области определения. Покажем, что это уравнение равносильно уравнению .  (3)

В самом деле, пусть а является корнем уравнения (3), т.е. . Учитывая, что область определения функции g совпадает со множеством значений функции f им наоборот, можно записать: , или , т.е. , а является корнем уравнения .

        Обратно, пусть , но . Тогда  или .  первом случае . Точно так же получается противоречие и во втором случае.

Таким образом, получен один частный прием равносильного преобразования уравнений.

Задача 3.19. Решить уравнение  .

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде  . Функция  непрерывна, возрастающая (как сумма двух возрастающих функций  и ), поэтому она имеет обратную. Найдем ее: , . Итак, обратной для f является функция , совпадающая  правой частью уравнения. На основании доказанного выше  уравнение эквивалентно уравнению . Ясно, что  является корнем уравнения. Убедимся, что других корней уравнение не имеет.

        Пусть . Тогда  положительна как разность между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел  и .Таким образом, функция h возрастает на всей числовой оси. Так как , то h(x)>0 при  и  при , т.е.  - единственный корень уравнения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 336с.

2. Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.

4. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.

5.  Олехин С.Н. Потапов М.К. Писаченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: справочник