Разработка урока по теме «Производная степенной функции. Применение производной в решении задач физики» 11 класс
план-конспект урока алгебры (11 класс) на тему

Номер этапа урока

Учебный материал с указанием задания

Управление обучением

65 мин

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Оргмомент.

Ребята, предлагаю вам обсудить понятие производной с разных точек зрения. Мы уже достаточно времени уделили этому понятию. Исходя из своего имеющегося опыта, ответьте, какая особенность у производной по сравнению с теми понятиями, которые вы знали до сих пор?

Ученики говорят, что возникло  много новых терминов: бесконечно малая величина, сходимость последовательности, окрестность точки, стремление переменной к бесконечности, к точке, понятие предела последовательности, предела функции и т. д.

Из обсуждения самым необычным термином остается «бесконечно малая величина». Ребята, попробуйте выразить бесконечно малое в виде чего –либо реального. Вам знакомого. Нарисуйте ваше видение.

Давайте обсудим ваши картинки. Как вы думаете, можем ли мы все-таки обходиться без бесконечно малых в жизни, науке? Ответьте, для чего мы их изучаем? А кто может привести пример того, чего не было ни видно, ни слышно, а уже ученые знали, что оно существует, потому, что они вывели математически обоснованное заключение?(например, открытие планет Нептун и Плутон)

Вернемся все же к бесконечно малым величинам. Мы с вами наблюдали их на примере пути и скорости движения. И к определению производной мы подошли через среднюю и мгновенную скорости.

Определение зоны ближайшего развития.

На основе имеющихся у вас знаний поставьте соответствие между левой и правой частями

v мгн =                                                                                                                                                

v ср =                                                                        

                                                                     0

А сейчас желающие по очереди прокомментируют  выбранные соответствия у доски с их формулировкой. В это время на месте каждый выполняет проверку своих соответствий и слушает правильность ответа товарища.

Запишите в рефлексивный лист отметку 5, если все выполнено без ошибок, 4. если допущена одна ошибка, 3, если ошибок больше двух, но выполнена половина задания.

Мы повторили весь теоретический материал по теме.

Для дальнейшей работы каждый из вас проверит себя в выполнении устных упражнений по нахождению производной.

Определение зоны ближайшего развития

 Выбрать номера правильных ответов. За каждый правильный ответ + в рефлексивный лист.

,  ,  ,  , ,  

                                        1) 0   2)5   3) 2,5x   4)  

                                      1) 7x  2)     3)14x  4) 7

Подсчитать количество + и выставить отметку за устную работу в рефлексивный лист. ( критерии помещены выше)

Мотивация.А теперь расскажите, что говорится в литературе о возникновении бесконечно малых и происхождении производной. (Двое заранее подготовленных ребят выступают с сообщениями).

Соотнесения имеющего учебного опыта с научными открытиями разных эпох, связанными с производной.

Историческая справка:

«Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века»

Ф. Энгельс

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи встречались у Евклида. Ряд задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной – возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики, и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построение касательной к произвольной плоской кривой. Первой проблемой занимался великий Исаак Ньютон, второй проблемой занимался не менее великий Го́тфрид Лейбниц. Они работали независимо друг от друга, но пришли к выводам, сводящимся к одному понятию – производной, однако в разных областях знаний. Ученые опубликовали свои исследования в печатных работах. Если в «Методе флюксий (производной)» Ньютона в качестве первоначального понятия фигурирует скорость, то в «Новом методе» Лейбница таким понятием является касательная. Мы сегодня будем последователями Ньютона и разовьем его исследования и на другие разделы физики.

Целеполагание

Ребята, выберите цели, которые вы можете поставить перед собой на этот урок:

Личностные цели: осмыслить необходимость изучения бесконечно малых,  утвердиться в своих знаниях, показать уверенность в своей правоте.

Преметные цели: необходимо знать в теме

По 1 уровню:  определение    средней    скорости движения,     мгновенной     скорости     движения, производной   функции,    производной   степенной
функции, правила дифференцирования.

По 2 уровню:   все, что относится к 1 уровню, производную от скорости движения.

По 3 уровню:     все, что относится к 1, 2 уровням, а также   производныетеплоемкости,   скорости   радиоактивного
распада, линейной плотности.

Уметь:

По 1 уровню:  решать    простейшие    задачи    на нахождение         скорости         движения         при прямолинейном  движении  и  при  вращении  по известным законам движения.

По 2 уровню:   решать    задачи    на    нахождение
производной от скорости,
находить другие физические величины, связанные с этим понятием.

По 3 уровню:     решать    задачи    на    нахождение
теплоемкости, скорости радиоактивного распада,
линейной    плотности    через    производную    и
использование их для решения других физических
задач, связанных с ними.

Креативные цели: составить таблицу «Функции и их производные», используя свой жизненный опыт, знания по физике и интуицию.

Оргдеятельностные цели: умение ставить перед собой цель, развивать навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Итак, цели поставлены, озвучьте их в парах.

Изучение нового материала.

Начинаем следующий этап работы. Мы с вами точно знаем, что мгновенная скорость есть производная от пройденного пути. А я вам хочу предложить сложить некоторую мозаику из физических величин:

cкорость  v, 

масса радиоактивного распада вещества, m,

Количество теплоты, Q,

 Скорость радиоактивного распада, v,

Масса неоднородного стержня, m,  

Угловая скорость, ,

Угол поворота при круговом движении, 

 Линейная плотность,

Ускорение,a

Теплоемкость, L

Масса радиоактивного вещества, m,

Время,t,

Длина, l,

Температура, t.

Выбрать из набора таких величин парами те, одни из которых могут быть функциями, а другие их производными. Укажите также их возможный аргумент. Если есть затруднения, воспользуйтесь справочниками  по физике, которые есть в кабинете.

Почему вы выбрали именно их? Отвечает представитель от пары.

Объединим вашу мозаику в таблицу.

Связь физических величин с их производными.

«Функции и их производные в физике»

Зная такую таблицу производных, можно решать разные задачи физики  с использованием производной.

Предлагается разноуровневая тестовая работа в парах в двух вариантах. Каждый выбирает уровень к которому, на ваш взгляд вы готовы сегодн

 Закрепление. Развитие компетенций при решении задач.

Выполнение самостоятельной работы.

Карточка 1

1 уровень 

 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону  Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3с.

v : 1) 6 2) 8  3) 7 4) 5

a :  1) -2  2) 0  3) 2   4)1

   2. При торможении маховик за время t поворачивается на угол  Найдите угловую скорость  вращения маховика в момент времени t = 2

1) 4   2) 3   3) 2   4)5

2 уровень

1. Точка движется по координатной прямой  согласно закону , где x(t) – координата точки.  В какой момент времени скорость точки будет равна 6? Найти ускорение точки в этот

момент времени.

t:  1) 1   2) 2    3) 62    4) 4

a:  1) 2     2)3     3) 4      4) 5

2. Найдите силу F (F=ma), действующую на материальную точку  с массой m, движущуюся прямолинейно по закону  

а: 1)20    2)22      3)18   4) 16

F: 1) 20m   2)22m   3)18m    4)16m

 3 уровень

1. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении   (t -время движения, h- расстояние от поверхности земли до тела). Определить начальную скорость движения

1) 9     2) 8   3) 10      4) 0

2. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону .

Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в  секундах. Найдите кинетическую энергию Е тела через 2с после начала движения.

1) 23     2) 25  3) 20   4)0

Карточка 2

1 уровень

1.Материальная точка движется прямолинейно по закону  Найдите скорость  и ускорение  в момент времени t=5с.

v: 1)30 2) 35 3) 33 4) 37

а: 1 )22 2) 20 3)25 4) 27

2. При торможении маховик за время t поворачивается на угол  

Через какое время после начала движения угловая скорость  вращения маховика  будет равна 3.

1)  1   2)5    3 )2     4)3

2 уровень. 

  1. Точка движется по координатной прямой  согласно закону ,  где x(t) – координата точки.  В какой момент времени скорость точки будет равна 12? Найти ускорение точки в этот момент времени.

t:  1) 1   2) 2    3)  3       4) 22

a:  1) 3     2)2    3) 4      4) 5

  2. Найдите силу F (F=ma), действующую на материальную точку массой m, движущуюся прямолинейно по закону  

а: 1)42   2) 40    3)45      4)30

F: 1) 42m   2) 40 m   3)   45m        4) 30m

3 уровень

1. Тело движется прямолинейно по закону  (t- время движения, s – расстояние). Определите время, через которое произойдет полная его остановка.

1) 1     2) 2      3)3       4)4

2. Известно, что для любой точки  С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии , масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле . Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ.

1) 63     2)65    3)64     4) 67.

Сверь свои результаты с ключами к тестам,  которые есть в ваших картах. Обменяйся опытом решения с товарищем в группе. Задай вопросы, которые у тебя, возможно, появились.

Ключи

Постановка домашнего задания:

1 уровень

Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м\с. Найти скорость пули в момент t=10 с и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения пули h=vt – 4,9t.

2 уровень

Тело,  масса которого m=5 кг, движется прямолинейно по закону h=1- t+t ( где h измеряется в метрах, t в секундах). Найти кинетическую энергию тела  через 10 с после начала движения.

            3 уровень

В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону m=2+ 3, где  - длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

2) в конце стержня.

Рефлексия деятельности учащихся

Рефлексивный лист

Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:

1. Сделали ли вы для себя открытия на уроке? Какие?
2. Убедились ли вы, что математика действительно является инструментом для решения задач физики? В чем это выразилось?
3. Что у вас хорошо получилось на уроке?
4. Какие проблемы возникли?
5. Над чем вы еще хотите поработать на следующем уроке?
6. Достигли ли вы те цели, которые ставили в начале урока?

Постановка новой цели к следующему уроку

Спасибо за работу

5 мин

Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

Актуализация опорных  знаний.

восходящий анализ

10 мин

Проверка теоретических компетенций с использованием интерактивной доски:

самоконтроль. Выставление отметок в рефлексивный лист.

Метод репродуктивный.

Форма работы индивидуальная

Форма работы фронтальная

Рефлексия

Проверка

практических компетенций.

Метод репродуктивный.

Форма работы фронтальная.

Рефлексия

5 мин

Мотивация через философскую проблему. Использование исторической ситуации во времена открытия производной.

Метод информационно-познавательный

5 мин

Работа с карточкой ученика

Форма работы индивидуальная. Работа в парах

7 мин

Метод проблемно-поисковый,

восходящий анализ

15 мин

Идея опоры.

Метод работы:

самостоятельная работа по уровням с программируемым контролем

Репродуктивный уровень

Работа в парах.

Взаимоконтроль по карточкам контроля

Конструктивный уровень

Работа в парах.

Взаимоконтроль по карточкам контроля

Поисковая деятельность

Творческий уровень

Работа в парах.

Репродуктивный уровень

Работа в парах.

Взаимоконтроль по карточкам контроля

Конструктивный уровень

Работа в парах.

Взаимоконтроль по карточкам контроля

Творческий уровень

Работа в парах.

Взаимоконтроль по карточкам контроля

3 мин

5 мин

Определение уровня обученности

Выставление отметок в рефлексивный лист

5 мин

Рефлексия

5 мин