Арифметическая и геометрическая прогрессия 9 класс.
презентация к уроку (алгебра, 9 класс) по теме

Тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Предмет -  алгебра; класс 9; тип урока -  урок обобщения и систематизации знаний.

Продолжительность: 1 урок.

Цели урока:

• Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме;
• Расширить кругозор учащихся, показать актуальность темы, ее применение в жизнедеятельности человека;
• Пробудить желание заниматься изучением математики.

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий».

Задачи урока.

Образовательные:

• Обобщать, систематизировать и расширить ранее полученные знания и закрепить умения у учащихся при решение задач по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
• Проверить полноту и осознанность освоения знаний уч-ся по теме.

Развивающие:

• Развитие памяти, внимания, мышления, математической речи;
• Развитие уверенности в себе, интереса к предмету.

Воспитательные:

• Воспитывать потребность в знаниях;
• Воспитывать культуру общения, взаимопомощь, ответственность.

Оборудование: мультимедиа проектор, интерактивная доска, компьютерная презентация по теме, индивидуальные задания.

Методические приемы:

• Интерактивное обучение;
• Работа в парах;
• Самопроверка:
• взаимопроверка

Структура урока

1. Организационный момент
2. Постановка учебной задачи.
3. Актуализация знаний.
4. Проверка домашнего задания.
5. Решение задач с применением формул (работают в парах , проверяют друг друга).
6. Решение задач: применение прогрессии в жизнедеятельности человека.
7. Исторические сведения о прогрессиях.
8. Подведение итогов.
9. Домашнее задание.

Аннотация: на данном уроке учащиеся обобщают и закрепляют знания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Рассматриваются примеры арифметических и геометрических прогрессий из жизни, проводится устная работа на нахождение сходства и различия у данных прогрессий, заполняется памятка-таблица, , проводится самостоятельная работа с взаимоконтролем, заслушиваются выступления учащихся самостоятельно готовивших дополнительный материал по данной теме.

    Ход урока.

Приветствие и контроль настроения.

Учитель. В жизни бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же значение. Например, поезд едет со скоростью 80км/час,онза каждый час увеличивает пройденный путь на одно и тоже количество километров.Верблюд,идущий по пустыне,ежедневно уменьшает свои запасы  воды в горбах на одно и то же количество.Человек каждый год увеличивает свой возраст на одну и ту же величину.

    Ребята, как можно объединить все эти примеры?

Ученик. Это примеры арифметических прогрессий.

Учитель. Продолжаю дальше приводить примеры. Многие микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных для них условиях, через одинаковые промежутки времени их число удваиваются. Радиоактивные вещества имеют определённыйпериод полураспада. Это значит, что через одинаковые промежутки времени масса куска такого вещества будет убывать вдвое. Вклад в сбербанк за каждый год возрастёт на одно и то же количество процентов, т.е. одно и то же число раз.

А эти примеры как можно объединить?

Ученик.А это примеры геометрических прогрессий.

Учитель. Тогда попробуйте сформулировать тему урока.

Ученик .Арифметическая и геометрическая прогрессия.

Учитель. Какова же учебная задача?

Ученик. Обобщать и систематизировать знания по данной теме.

- Проверим знания формул по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессия».

Совет: «Настройтесь на успех»

Раздаются заготовки листов для проверки знаний теории.

(Ученики в парах заполняют таблицу; затем таблица появляется на экране, ученики проверяют правильность заполнения таблиц друг у друга).

За каждый правильный ответ учащиеся получают один балл.

Учитель. Домашняя работа к этому уроку включала в себя номера ,которые необходимо проверить.(Слайд№4).

Учитель. Сейчас выполним небольшую самостоятельную работу с взаимоконтролем.( Слайд №10 )

Каждый ученик решает самостоятельно ,потом меняются тетрадями и проверяют решение друг у друга

 = 19

         2)В арифметической прогрессии.

                                                                                                         а1 = -12; d=4

        S6 -  ?

= 58      

bn   -геометрическая прогрессиия

 = 150

Нас зовет лозунг: «Прогрессио-движение вперед».

Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания и умение видеть связь между математикой и окружающей средой, умение применять знания пи решении практических задач.

В последнее время больше внимания стали уделять на укрепление здоровья каждого. И мы проверим, знаете ли вы не некоторые процедуры. Попробуйте решить следующие задачи.

Два ученика решают у доски задачи.

(Слайд №14) Задача: Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый деньги увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Ответ: 10 дней.

(Слайд №15) В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?

Ответ:121

Примеры задач на прогрессии встречались в клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамида. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни, распределению продуктов, деление наследства.

Древнейшая задача: «Пусть тебе сказано: разделить 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком его соседом равнамеры». Переведите пожалуйста на математический язык.

В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями можно записать так:

 найти ?

(Слайд №17) В старинной арифметике Магницкого есть следующая забавная задача.

        Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу говоря:

           -Нет мне расчёта, покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

        Тогда продавец предложил другие условия:

-Если,по-твоему цена лошади высока, то купи только её     подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно.          

Гвоздей в каждой подкове 6 шт. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй 1/2 коп., за третий – 1 коп.и т.д.

Покупатель   принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 руб.

На сколько покупатель проторговался?

Решение

За 24 подковных гвоздя пришлось заплатить ; ; 1; 2; 4; 8; 16 … копеек

Эти числа составляют геометрическую прогрессию= , q=2, n=24

 Найдем сумму первых 24-х членов этой прогрессии: S24= * =41943 руб.

Т.е. 41943 рубля. За такую цену и лощадь  продать не жалко!

Учитель. Дальнейшая работа будет проходить следующим образом.

В течение 10 минут вы будете выполнять задания, разно уровневые задания,которые находятся в конвертах. 2минуты дается на обсуждение, принятие совместного решения.

.

Решение задания, которое выделено нужно будет объяснить у доски. Вам необходимо

будет совместно определить, кто будет отвечать у доски, т.к. от этого будет зависеть оценкавсей группы. Обращаю ваше внимание на то, что все задачи, решенные у доски, должныбыть записаны в тетрадь каждым из вас, не зависимо от того в какой группе вы работаете

(Слайд №19) Стрелок сделал 30 выстрелов в мишень. За первое попадание ему начисляется 0,75 балла,  а за каждое следующее попадание на 0,5 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 99,75 баллов?(задание 2-го уровня)

Решение.

По условию имеем арифметическую прогрессию, в которой a₁=0,75, d=0,5. Пусть n – количество выстрелов, при которых произошло попадание в мишень.

Sn = 99,75

 = 99,75

2*0,75 + 0,5 (n-1)/2= 99,75

n² + 2n – 399= 99,75

n₁=19, n₂=-21 – не удовлетворяет условию задачи

30 – 19=11 – неудачных выстрелов.

Ответ: 11.

(Слайд №21) Машина выехала из города со скоростью 40 км/ч. Каждые 20 секунд он увеличивал скорость на 5 км /ч. Какую скорость она имела через 7 минут после выезда из города?(задание 1-гоуровня)

                                        Решение

Из условия задачи следует, что за 1 минуту скорость увеличивается на 15 км/ч. Следовательно, получаем арифметическую прогрессию, в которой a₁=40+15=55; d = 15. Тогда a₇ = a₁ + 6d = 145 км /ч

Ответ: 145. км /ч

Задача № 4 (Слайд22)
В арифметической прогрессии  a5 = - 150,   a6 = - 147. Найдите номер первого положительного члена это й прогрессии.(задание 2-го уровня)

Решение
По определению арифметической прогрессии
a6 = a5 + d,  d = a6 – a5,d = – 147 – (–150), d = 3
По формуле п-го члена арифметической прогрессии
ап = а1 + d(n – 1),  a5 = a1 + 4d,  a1 = a5 – 4d,  
a1 = – 150 – 12, a1 = – 162.
             Так как an> 0, то а1 + d(n – 1) > 0, значит,
– 162 + 3(n – 1) > 0,
– 162 + 3n – 3 > 0,
3n> 165,
n> 55,
n = 56.
Ответ. Первый положительный член этой прогрессии стоит на 56 месте

     Задача №5 (Слайд №24)
Существует ли геометрическая прогрессия, в которой
b2  = - 6,   b5 = 48  и
b7 = 192(задание 1-го уровня)

                       Решение
По определению геометрической прогрессии

b5 = b2 · q3


b7 = b5 · q2,   b7 = 48 · 4 = 192.
Да существует.

(Слайд №26) Интересные факты:

1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Экологи  Каждая муха откладывает 120 яиц. Через 20 дней родившиеся мухи снова начинают откладывать яйца. Сколько мух появится на свет от одной мухи через два месяца? Чем грозит такое быстрое размножение насекомых? Что можете сделать Вы для предотвращения этого?

Сегодня нам кажется, чтознание арифметической и геометрической прогрессий вам в жизни не пригодятся, но, к сожалению это не так. Вот послушайте, в каком нелепое положение попал даже правитель государство ,не знающий геометрическую прогрессию.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.

Мудрец поклонился.

Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Стоит ли царю смеяться?

(Слайд №27) Решение задачи - легенды

Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…

Найти:

n = 64

Её сумма равна 18 446 744 073 709 551 615

Наградой за 64-ю клетку должно было быть

18 446 744 073 709 551 615

восемнадцать квинтиллионов

четыреста сорок шесть квадриллионов

семьсот сорок четыре триллиона

семьдесят три миллиарда

семьсот девять миллионов

пятьсот пятьдесят одна тысяча

шестьсот пятнадцать зёрен.

Если всё это зерно засыпать в амбар высотой 4 метра и шириной 10 метров, то длина амбара была бы вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца...

Расстояние от Земли до Солнца равно 1, 496 • 10 11 (м) или 8,31 световая минута.

ВЫВОД:

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Учитель Заглянем дальше в истории.

Прогрессия.(сообщение ученика)

Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio),буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв).Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Первыми предоставления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметической и геометрической прогрессий. Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количествах зерна, собранного с определенного участка земли и т.д.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777-1855 гг), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предположил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100; 2+99 и т.д. равны, он умножил 101 на 50,т.е на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

Формула  суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в III веке).

Из одной  клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая Луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые 5 дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Подведение итогов урока

  (Слайд №28) А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне.

1.Что понравилось на урок?

2.Что не понравилось?

3.Мог ли ты получить другую отметку за урок

4Поставь отметку учителю по по 10-и балльной системе. Обосную её.

5.Поставь себе отметку по 10-и бальной системе. Обосную её.

(Слайд №29) Домашнее задание: Составить кроссворд по теме:» Арифметическая и геометрическая прогрессия.)

  (Слайд №31) Используемая литература:

1. Учебник.Алгебра 9класс.Авторы Ю.Н.  Макарычев, Н.Г.Мендюк.
2. Подготовка к  ГИА 2013 Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.
3. Математика. Устные вычисления и быстрый счёт.Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова