мастер - класс по теме "универсальная формула для решения текстовых задач на проценты"
материал по алгебре по теме

На сегодняшнем мастер-классе мы рассмотрим основную формулу с помощью, которой решаются тестовые задачи на проценты.

Проценты всегда связаны с изменением какой-либо величины. Пусть начальное значение нашей величины будет равна Х.

Пусть также известно конечное значение этой величины, обозначим его Y.

Тогда величины Y и X связаны следующей формулой. ,  где k- проценты, а ± зависит от того, увеличивается или уменьшается исходная величина.

На первый взгляд эта формула может показаться более сложной, чем классическая пропорция, которая изучается в школьном курсе математики, но давайте решим с Вами пару тройку задач, используя эту формулу и убедимся, что эта формула очень эффективна.

И так

Задача №1. Владельцы дисконтной карты получают при покупке в книжном магазине скидку 10%. Учебник стоит 880 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за эту книгу, если предъявит дисконтную карту?

Решение:

, - я поставил, потому что скидка означает, что наша исходная величина уменьшается.

Что нам известно из этой формулы?

Очевидно, что известно значение Х=880, и известны проценты k=10.

Подставляем значения в формулу:  ===792

Ответ: 792 рубля.

Вот и все решение, ни каких пропорций, ни каких обозначений. Просто подставили числа в формулу, и нашли значение.

Давайте попробуем так же разобраться со второй задачей.

Задача№2. Мобильный телефон стоит 12500 рублей. После выхода новой модели он сразу подешевел и стал стоить 9500 рублей. На сколько процентов подешевел телефон после выхода новой модели?

Решение:

, - я поставил, потому что модель подешевела.

Что нам известно из этой формулы?        

Известно,  что начальная стоимость Х=12500, и итоговая цена  Y=9500.

Подставляем значения в формулу:  =

                                                                    9500=125*(100-k)

                                                                    100-k===19*4=76

                                                                                 100-k=76

                                                                                   k=100-76

                                                                                       k=24

                                                                                    Ответ: 24%.

Конечно, решение получилось длиннее, чем предыдущее, но в целом все решается по одной и той же формуле, то есть решение очень простое.

Задача №3. Ученикам гимназии предлагает на выбор два языка: французский и немецкий. Известно, что 135 учеников выбрали французский язык, что составляет 15% от числа всех учеников. Сколько всего людей учится в этой гимназии.

 Решение:

, - я поставил, потому что модель подешевела.

В нашем случае известно количество учеников изучающих французский язык, таковых 15% от общего количества, то есть Y=135, а X=?, но вот проблема чему равно k=? Дело в том, что 15% - это доля от исходного количества, то есть от Х, а не те проценты, на которое уменьшается исходное значение, поэтому если исходное значение равно 100 из них нужно вычесть 15, и мы получим 85, это то количество процентов, на которое нужно уменьшить исходное число, что бы получить количество учеников изучающих французский язык.

Подставляем значения в формулу:  135=

  Запишем это выражение в виде пропорции:                                                                                                              

                       =

                135*100=Х*15

               Х===900

         Ответ: 900 учеников.

Разумеется, любую из этих задач можно решить классическим способом: составляя пропорцию и решая ее крест на крест и даже более того, последняя задача решается таким способом гораздо проще. Давайте убедимся в этом:

По условию задачи

135 учеников – 15%

Х учеников – 100%

Составим пропорцию:

, по свойству пропорции: 135*100=15*Х

                                                           Х===900

Ответ: 900 учеников.

Как видите, решение получилось проще, и объем вычислений будет меньше, я специально добавил эту задачу в мастер-класс, что бы Вы не забывали, что есть два способа:

1 классический, это пропорция  =

2 способ это тот, с которым вы сегодня познакомились – наша формула:

А сейчас перейдем от теории к практике. Вашему вниманию представлены 5 задач на проценты, используя знания, полученные из школьного курса и знания, полученные на сегодняшнем мастер-классе, решите их.

B1. Пакет молока стоит 80 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 15%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пакет молока?

B2. Только 78% из 37 500 выпускников правильно решили задачу B1. Сколько выпускников решили задачу B1 неправильно?

Ответ: 8250 учеников

B3. Рулон обоев стоит 300 рублей. Во время распродажи, скидка составляет 40%. Какое наибольшее число таких рулонов, можно купить на 10 000 рублей во время распродажи?

Ответ 55 рулонов.

B4. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. В апреле плата программиста составила 45 000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Ответ: 39150 рублей.

B5. Магазин делает пенсионерам и прочим льготникам скидку на определенное количество процентов. Например, банка черной икры стоит 1700 рублей, но бабуля заплатила за нее всего 1632 рубля. Сколько процентов составляет скида?

Ответ: 4%

Уважаемые коллеги, сейчас я отдам Вам, шаблон буклета, на тему «Нужны ли проценты в жизни?», прошу Вас заполнить пустые графы согласно заголовку.

А сейчас давайте проведем рефлексию в форме  синквейна.

Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) – это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.

Синквейн – это не простое стихотворение, а стихотворение, написанное по следующим правилам:

1 строка – одно существительное, выражающее главную тему cинквейна.

2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка – фраза, несущая определенный смысл.

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Составлять cинквейн очень просто и интересно. И к тому же, работа над созданием синквейна развивает образное мышление.

Общий вывод из этого мастер - класса: большинство задач на проценты решаются по приведенной формуле. Но есть исключения, которые решаются классическим методом пропорций.

Получившийся в результате совместной деятельности буклет можно представить в виде продукта проектной деятельности. А работу на сегодняшнем мастер-классе можно назвать мини проектом.

Практическое задание:

B1. Пакет молока стоит 80 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 15%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пакет молока?

Решение:

Ответ:_____________

B2. Только 78% из 37 500 выпускников правильно решили задачу B1. Сколько выпускников решили задачу B1 неправильно?

Решение:

Ответ:_____________

B3. Рулон обоев стоит 300 рублей. Во время распродажи, скидка составляет 40%. Какое наибольшее число таких рулонов, можно купить на 10 000 рублей во время распродажи?

Решение:

Ответ:_____________

B4. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. В апреле плата программиста составила 45 000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Решение:

Ответ:_____________

B5. Магазин делает пенсионерам и прочим льготникам скидку на определенное количество процентов. Например, банка черной икры стоит 1700 рублей, но бабуля заплатила за нее всего 1632 рубля. Сколько процентов составляет скида?

Решение:

Ответ:_____________