Открытый интегрированный урок Алгебра+Информатика по теме "Построение графиков функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Интегрированный урок (информатика + математика) в 10-м классе по теме "Построение графиков функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля"

Оборудование: 

• доска,
• компьютер,
• компьютерная презентация.

Тип урока: “Урок обобщения и систематизации знаний” .

Технология урока:  интегрированный урок (математика + информатика), информационные технологии.

 Результат урока нацелен на овладение учащимися программным и дополнительным материалом по данной теме и рассчитан на выход каждого ученика на свой уровень развития.Построение графиков является основным рабочим материалом всего курса алгебры. Результат урока обоснован требованиями Программы к обязательной математической подготовке учащихся по данной теме:освоить общие приемы построения графиков; овладеть техникой построения графиков с помощью симметрии относительно осей координат; научиться применять изученные приемы построения графиков в измененной ситуации для произвольных кривых.

Триединая дидактическая задача.

Образовательные задачи:

• актуализация знаний о функциях и их графиках.
• закрепление знаний о построении графиков линейной, квадратичной и тригонометрической функций,
• повторение преобразования симметрии относительно прямой,
• знакомство с графиком и свойствами логарифмической функции,
• укрепление умений и навыков  в построении графиков на компьютере,
• перенос знаний в новые условия.
•  

Развивающие задачи:

• развитие логического мышления, познавательного интереса, творческой активности,
• развитие общеучебных навыков и умений – организационных, интеллектуальных и коммуникативных.

Воспитательные задачи:

• воспитание взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата, направленного на компетентностный подход к обучению и воспитанию.

Структура урока: 

1. Организационный момент.
2. Этап всесторонней проверки знаний.
3. Этап усвоения новых знаний.
4. Этап закрепления нового.
5. Обобщение и систематизация знаний.
6. Применение знаний, умений и навыков в новых условиях.(с использованием компьютера)
7. Информация о домашнем задании.
8. Подведение итогов урока, рефлексия.

Для достижения триединой задачи использовались:

Методы обучения: 

• словесный,
• проблемно-поисковый,
• практический,
• наглядный,
• репродуктивный,
• вопросно-ответный,
• индуктивный,
• аналитико-синтетический.

Формы организации познавательной деятельности: 

• общеклассная,
• индивидуальная,
• групповая.

Учитывая психолого-педагогическую характеристику класса и в соответствии с поставленными задачами, было отобрано следующее:

Содержание учебного материала:

- В домашнем задании были заложены все вопросы, которые помогут учащимся на уроке в ходе вопросно-ответной беседы самостоятельно овладеть новым материалом:

а) построении графиков функций и уравнений;
б) применение преобразования симметрии относительно прямой.

В ходе урока проводится:

а) повторение построения графиков линейной, квадратичной и тригонометрической функции;
б) формирование учебно-организационных и учебно-интеллектуальных навыков при выполнении практической работы;
в) формирование учебно-коммуникативных навыков в течение всего урока.

Основная цель урока: С помощью вопросно-ответной беседы как одного из методов дидактической работы добиться того, чтобы учащиеся самостоятельно овладели новыми знаниями, с помощью наводящих вопросов учителя переносили усвоенные знания в новые условия, творчески применяли их.

Ход урока

1. Орг. момент.

Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока.

Слайд

2. Этап всесторонней проверки знаний.

 Функция- это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами в физике, химии, биологии, технике, географии

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему нашего с вами исследования я обозначила так: «Функции рядом с нами».

Историческая справка

• Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке. Но греки рассматривали лишь вопросы, имеющие “геометрическую” природу, и не ставили вопроса об общем изучении различных зависимостей.
•  Графическое изображение зависимостей широко использовали Г.Галилей (1564–1642), П.Ферма  (1601–1665) и  Р.Декарт (1569–1650), который ввел понятие «переменной величины». 

• Развитие механики и техники потребовало введения общего понятия функции.
• Термин «функция» возник в 1664 г. в работах немецкого философа и математика Готфрида Вильгельма  Лейбница. Слово «функция» -от латинского «functio» - исполнение обязанностей, деятельность.
• В термин «функция» Лейбниц вкладывал смысл, отпичный от нашего.

(1646 – 1716).

• Следующий шаг в развитии понятия функции сделал ученик Бернулли,  Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он писал: “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями”.  Эйлер ввел для функции обозначение f(х), которое используется и сейчас.

• Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

В наши дни без функций невозможно  рассчитать

•  космические траектории,
•  работу ядерных реакторов,
•  экономично управлять производством,
•  прогнозировать течение химических реакций,
•  изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений,

 потому что все это – динамические процессы, которые описывает функция.

1. Физика Прямая пропорциональность

Время и расстояние прямо-пропорциональные величины.

2.Квадратичная функция

Траекторией камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет парабола

3. Гиперболические функции

С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета.

 Комета или метеорит, залетевшие в Солнечную систему, движутся по ветви параболы В фокусе находится Солнце. Одна асимптота дает направление, в котором комета прилетает, вторая- направление, в котором она покидает Солнечную систему.

Области человеческой деятельности

Метеорология

Метереологическая служба фиксирует изменение температуры, строя с помощью термографа график температуры.

2. Экономика

Широко применяется понятие функции в экономике.

Кривая спроса и предложения позволяет эффективно управлять процессом.

 Графики производственных процессов наглядно представляют управление производством, распределение ресурсов, организацию технологичных процессов.

Прояви смекалку

Пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом.

• Чем дальше в лес, тем больше дров.
• Выше меры конь не скачет.
• Тише едешь, дальше будешь.
• Пересев хуже недосева.

Графическое изображение зависимостей, представленных пословицами

m, м

        S,м

        H

мера

S

         m,

3. Этап усвоения новых знаний.

Повторим определение модуля функции

  Рассмотрим график произвольной функции y = f (х), заданной на промежутке .

 Задача 1. По известному графику функции y = f (х)  построить график функции y = | f (х) |.

 По определению имеем:

 | f (х) | =

Поэтому график функции y = | f (х) | совпадает с графиком функции y = f (х) на тех промежутках, где f (х) >=0, а на тех промежутках, где f (х) < 0, график функции y = | f (х) | получается из графика функции y = f (х) с помощью симметрии относительно оси Ох.

Построение графика функции y =|f(x)|.

Чтобы построить график функции y =|f(x)| достаточно все части графика y = f(x), для которых y ≥ 0, оставить без изменения, а те части, при которых y < 0, отобразить симметрично относительно оси абсцисс.

Задача 2.

По известному графику функции y = f (х) построить график функции y = f ( | х | ).

 Если х >=0, то | х | = х, поэтому f ( | х | ) = f ( х ), т. е. при х >=0 графики функций y = f ( | х | ), и y = f (х) совпадают. Функция y = f ( | х | ) является четной, т. к. y = | х | - четная функция; поэтому её график при х < 0 симметричен относительно оси Оу графику этой функции, построенному для

 х >=0.

Построение графика функции y = f(|x|).

        Чтобы построить график функции y = f(|x|) достаточно часть графика y = f(x), лежащую в правой полуплоскости x ≥ 0 оставить без изменения, а в левой полуплоскости x < 0 построить кривую, симметричную правой части графика  y = f(x) относительно оси ординат.

Так как f(|–x|) = f(|x|), то функция y = f(|x|) – четная, т.е. её график симметричен относительно оси ординат.

Задача 3 По известному графику функции y = f (х) изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию | y | = f ( х ).

Так как в левой части уравнения имеется знак модуля, то надо брать лишь те значения х, при которых f ( х ) >=0. Для этих значений равенство | y | = f ( х ) можно записать в виде у = +-f (х), т. е. мы имеем две функции. Если при всех значениях х выполняется неравенство f ( х ) < 0, то уравнение | y | = f ( х ) не определяется никакая линия. Таким образом, чтобы построить график уравнения | y | = f ( х ), надо взять ту часть графика y = f ( х ), которая расположена над осью Ох, и отобразить её симметрично относительно оси Ох.

y = f(|x|)

Построение графика уравнения | y | =f(x).

        а) при  y ≥ 0   | y | = y.

1) Строим график y = f(x).

2) Оставляем ту часть, для которой y ≥ 0.

3) Отображаем эту часть графика относительно оси ОХ.

4) Часть графика y = f(x), где f(x) < 0, отбрасываем.

4. Этап закрепления

 Учащиеся разбиваются на группы по четыре человека, 1-ая группа работает с линейной функцией 2-ая группа – с квадратичной функцией, 3-я группа– с тригонометрической функцией (самостоятельно). I-я группа  рассматривает линейную функцию y = x – 2,

II-я  группа рассматривает квадратичную функцию y = x2– 2х – 3,

III-я группа  рассматривает тригонометрическую функцию y = sin х.

После построения соответствующих графиков –проверка по компьютеру.

. 1 группа

Задача 1. Построить график функции y = | x – 2 |

Задача 2. Построить график функции y = | x | – 2

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x – 2

II- группа

Задача 1. Построить график функции y = | x2 – 2х – 3 |

Задача 2. Построить график функции y = | x2 | – 2 | х | - 3

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x2 – 2х - 3

3-я группа

Задача 1. Построить график функции y = | sin х. |

Задача 2. Построить график функции y = sin | х |.

Задача 3. Построить график уравнения | y | = sin х

5 Применение полученных знаний в новых условиях. Установить соответствие между формулами ( учащиеся выполняют в тетрадях, оформляют столбиками, затем проверяют свое решение с помощью компьютера).

1. Подведение итогов 1-ого урока

Сегодня на уроке мы повторяли построение графиков уравнений, содержащих модуль. Для этого нам потребовались знания прошлых учебных лет, которые мы использовали на новом, более высоком уровне сложности заданий. Мы с вами увидели, что графики как уравнений, так и функций, содержащих модуль, обладают свойством симметричности. В некоторых случаях – симметрия относительно оси абсцисс, в некоторых – относительно соси ординат, а в некоторых – симметрия относительно двух координатных осей.

Эти знания вам пригодятся, в составлении электронных таблиц для построения графиков на компьютере.

2-0й урок

 Применение знаний, умений и навыков в новых условиях.

Задание классу (перенос знаний в новые условия).

Учитель: В 11-м классе мы будем изучать логарифмическую функцию.

Вам предлагается: Построить график функции y=lnx, описать свойства этой функции

1.Построить графики:

1) . у= |lnx|

2). y= ln |x|

3). |y|= lnx

2. Решить графически уравнение

 ln |x| = х – 2х – 3

3. При каких значениях а уравнение  |lnx| = а имеет

а) 2 корня,

б) 1 корень

в) не имеет корней ?

Ответы

Презентация6. Информация о домашнем задании.

7. Подведение итогов урока, рефлексия. Ученики и учитель подводят итоги урока, анализируют выполнение поставленных задач.

План-задание для 1-ой группы

Задача 1. Построить график функции y = | x – 2 |

Задача 2. Построить график функции y = | x | – 2

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x – 2

План-задание для 2-ой группы

Задача 1. Построить график функции y = | x2 – 2х – 3 |

Задача 2. Построить график функции y = | x2 | – 2 | х | - 3

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x2 – 2х - 3

План-задание для 3-ей группы

Задача 1. Построить график функции y = | sin х. |

Задача 2. Построить график функции y = sin | х |.

Задача 3. Построить график уравнения | y | = sin х