Доклад "Решение уравнений с параметрами"
план-конспект занятия по алгебре (7 класс) по теме

МБОУ СОШ №14

с углубленным изучением отдельных предметов г. Иркутска.

Дидактическая разработка

по алгебре для 7 го класса по теме:

 «Решение линейных уравнений с параметрами».

Подготовила:

М.Н. Полякова

Иркутск, 2012 г.

Пусть дано уравнение 2х+3=х+а.

Здесь х и а – переменные (неизвестные) величины. Переменная а при решении уравнения считается постоянной (т.е. это как бы зашифрованное число или несколько чисел) и называется параметром.

Будем в уравнении буквами х, у, z, обозначать неизвестные, буквами a, b, c, d, …. k, l, m, n – параметры.

Решить уравнение с параметром – значит указать при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений с параметрами.

1. а·х=0

где х – переменная, а – параметр.

1. Если а ≠0,  то а·х=0

                            х=0:а

                            х=0

2. Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом х, х – любое.

Ответ: а ≠0, х=0; при а=0, х – любое.

2. а·х=а, Рассмотрим возможные случаи.

1) Если а≠0, то а·х=а

                             х=а:а

                             х=1

2) Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом значении х, х – любое.

Ответ: при а≠0, х=1; а=0, х – любое.

2. 2х+3=х+а, преобразуем уравнение к виду:

2х–х=а–3

х=а–3

Это и будем единственным решением, т.к. числовой коэффициент при а равен 1, и нет необходимости выполнять деление, поэтому при любом значении а х=а–3.

Ответ: при любом значении а х=а–3.

3. х+2=а·х Преобразуем уравнение.

х–а·х=–2 Вынесем общий множитель х за скобку.

х·(1–а)=–2

(1–а) ·х=–2

Рассмотрим следующие случаи.

1. 1–а≠0

т.е. 1≠а

или а≠1, тогда х=–2/(1–а);

2. если 1–а=0

             1=а

             а=1, тогда уравнение х+2=а·х будет выглядеть

              х+2=1·х

              х+2=х и, очевидно, решений не имеет.

Ответ: при а≠1, х=–2/(1–а);

            при а=1 решений нет.

4. (3–а) ·х=2–5а. Возможны случаи:

1) 3–а≠0, тогда х=(2–5а)/(3–а)

     а≠3

3. 3–а=0

а=3, тогда уравнение (3–а)·х=2–5а будет выглядеть

                                     (3–3)·х=2–5·3

                                      0·х=2–15

                                      0·х=–13

                            Решений нет.

Ответ: а≠3, х=(2–5а)/(3–а);

            а=3, решений нет.

5. (3а+7)·х=15а+35. Возможны случаи.

1) 3а+7≠0, то есть

3а≠–7

а≠–7/3

тогда х=(15а+35)/(3а+7)

х=5(3а+7)/(3а+7)

х=5.

2) 3а+7=0

3а=–7

а=–7/3, тогда уравнение (3а+7)·х=15а+35 примет вид:

(3(–7/3)+7)·х=15·(–7/3)+35

(–7+7)·х=–35+35

0·х =0 значит х – любое число.

Ответ: а≠–7/3, х=(15а+35)/(3а+7);

             а=–7/3, х – любое число.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. ах=х+3
2. 4+ах=3х+1
3. 3х+1=а
4. 5+х=ах
5. 4=а·х
6. ах=7
7. 2х=3а
8. сх=–5
9. 8х=3с
10. (5+b)·х=7+3b
11. (5b–1)x=15b–3

Литература

1. Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности по математике 5-6 класс. – М.: Просвещение. – 1991.
2. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры».: М «Просвещение», 1990.
3. А.П. Ершова, В.В. Голобородько «Математика» «Илекса», Москва, 2003
4. А.П. Ершова, А.С. Ершова «Математика» «Импекса», Москва–Харьков, 1998.

5. С.В. Гершпигель «решение уравнений с параметрами» Сб. научно-методических трудов. – Иркутск. 1999.