Конспект урока 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Геометрический смысл производной

Теория без практики мертва и бесплодна,

практика без теории невозможна и пагубна.

Для теории нужны знания, для практики,

сверх всего того, и умения.

Алексей Николаевич Крылов

Материалы к уроку (раздаточный материал, тест, задачи) 

Цель урока:

• Расширение школьного курса по данной теме;
• Повышение математической культуры учащихся;
• Развитие устойчивого интереса к математике;
• Формирование умений и навыков составления уравнения касательной в задачах более высокого уровня;

 Повторить:

1. В чём состоит геометрический смысл производной.
2. Как определяется угол между графиком функции и осью абсцисс.
3. В каком отношении находятся угловые коэффициенты параллельных прямых.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Найдём связь между угловыми коэффициентами перпендикулярных прямых:

пусть

внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.

, тогда =

, т. е.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№1. Найдите уравнение касательной к графику функции , которая перпендикулярна прямой .

Решение

   Значит угловой коэффициент касательной =-2.

Найдём производную функции , а

Составим уравнение:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№2. На графике функции  найдите точку, в которой касательная перпендикулярна прямой .

Решение

Если , то угловой коэффициент касательной равен -5, тогда .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№3. К графику функции  напишите уравнение касательной, параллельной прямой .

Решение

      k=-1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№4. Составьте уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку A(-1;-2), не принадлежащую этому графику.

 Решение

Составляем уравнение касательной к графику данной функции в точке :

Прямая проходит через точку А. Подставим её координаты в уравнение и решим его относительно :

Составим уравнение касательной к графику функции  в точках:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------      

 Углом между графиками функций  и  в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке. В случае, когда этот угол равен , графики функций касаются друг друга.

, если

Если

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------№5. Найдите угол между графиками функций  и  в точке их  пересечения.

Решение

1. Найдём абсциссу точки пересечения:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Уравнение общей касательной нескольких кривых

Прямая является общей касательной графиков функций

и ,

если она касается как одного, так и другого графиков (но совершенно не обязательно в

одной  той же точке). Функции и имеют в точке их пересечения

 общую вертикальную касательную, тогда и только тогда, когда .

Например, прямая  является общей касательной графиков функций  (в точке ) и  (в точке ).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№6. Докажите, что параболы  и  имеют в их общей точке общую касательную. Найдите уравнение этой касательной.

Решение

1. Найдём координаты общей точки двух парабол:

2. Найдём значения производных для обеих функций в точке и убедимся, что они равны:

 И составим уравнения касательной:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№7. Найдите уравнение всех общих касательных к графикам функций  и .

Решение

1. Пусть - абсцисса. Составим уравнения касательных в точках пересечения с абсциссой .

2. Пусть - абсцисса. Составим уравнения касательных в точках пересечения с абсциссой .

 Уравнения прямых совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны:

 Запишем уравнения этих касательных:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------