разработка урока по теме "Свойства и график показательной функции"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Областное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального обучения

«Курский автотехнический колледж»

Разработка урока  по математике

«Свойства и график показательной функции»

Преподаватель Власова В.Е.

Курск-2013

Технологическая карта урока

Тема урока «Свойства и график показательной функции»

Тип учебного занятия: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма учебного занятия: защита проектов
Форма организации деятельности учащихся: групповая, индивидуальная.
Дидактическое сопровождение: 
1. Тренинг – минимум (Приложение №1).

2. Справочный материал «Преобразование графиков функций» (Приложение №2)
3. Домашнее задание. (Приложение №3).

4. Листы умений и оценочные таблицы (Приложение №4).

Оборудование кабинета:
1.Парты расставлены парами для групп по шесть человек.
2. Компьютер, мультимедиапроектор.

Дополнительная литература.
1.Денищева Л.О., Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под. Ред. Г.С.Ковалевой. Единый государственный экзамен: Математика: 2004-2005.Контр. измерит. матер. – Мин. образования и науки Рос. Федерации. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.: Просвещение, 2005. 
2. Доброва О. Н. Задачи по алгебре и математическому анализу. Пособие для 9-11 кл. -М.: Просвещение,2003

 На экране: Тема урока «Свойства и график показательной функции»  и эпиграфы к уроку:
Человек способен постичь только то, в чем он сам принимает непосредственное участие. А. Моруа. 
Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда он сам его сделал или проверил. Л.Толстой

Цели урока: – выработка умений самостоятельно добывать, применять знания и осуществлять перенос их в новые условия.

Образовательные задачи:
Расширение объема понятия «Показательная функция»; формирование навыков свободного чтения построенных графиков, умение отражать свойства функции на графике;

формирование умений построения графиков показательной функции, использовать понятие показательной функции для описания и анализа зависимостей величин, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически.

Развивающие задачи:
развитие  познавательного  интереса студентов;
развитие  у студентов математической речи, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;

создание  ситуации для применения основных понятий.
Воспитательные задачи:

активизировать интерес  студентов  к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей;
создать условия для развития у студентов умения работать во времени; формировать адекватную самооценку: по указанным критериям оценить результаты своей деятельности на каждом этапе выполнения учебной задачи.

Ход урока.

I.Организационный момент

II. Формулировка темы, цели урока

Функция – одно из математических и общенаучных понятий. Она выражает зависимость между двумя величинами. Каждая область знаний – физика, химия, биология, социология, лингвистика и другие – имеет свои объекты изучения, уточняет их свойства. На нашем уроке мы постараемся вспомнить основные свойства показательной функции, ее применение в различных областях науки, способы построения графиков функции.

Как образно заметил великий Г. Галилей (1564 – 1642) « Книга природы написана на математическом языке …  и  именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе».

 Будьте готовы к трудностям. Обращайтесь за помощью к консультантам, которые есть в каждой группе. Как мы с вами убедились, бархатных дорожек для вас на этом пути не было и подъемников тоже не было. Был труд, ошибки, разочарования и постоянное ощущение чего-то недостигнутого, нераскрытого.

III.Актуализация знаний  

1. на каком рисунке изображен график показательной функции?
2. чем отличаются рисунки 2 и 6? Сделайте вывод;
3. какими еще свойствами обладает показательная функция?
4. какие  из следующих чисел не входят в область значений показательной функции:

3;  -3;  0,4;  0;  -0,09;  16;  2,1;

5. сравните числа: 52 и 54 ;  и ;  60  и.

IV.Защита мини - проектов

Мы с вами заранее определили названия творческих работ по теме Показательная функция. Сегодня состоится защита ваших работ. Творческую работу представляет участник каждой группы.

1. Показательная функция в стихах, пословицах и поговорках.
2. Показательная функция в моей профессии «техник – спасатель»
3. Показательная функция в различных сферах науки и деятельности человека.
4. Преобразование графиков показательной функции

Обсуждение: 
-перечислите три наиболее сильные стороны представленной презентации;
-перечислите два момента, требующие доработки;
-внесите предложения по усовершенствованию проекта.
Оцените работу каждого участника проекта по предложенным критериям, присвоив ей от 1 до 4 баллов.

V.Тренинг-минимум. Чтобы выяснить, какие умения вы приобрели для себя на этом пути, и в чем испытываете затруднения, я предлагаю вам выполнить задания,  имеющиеся у вас на столах. На решение отводится 10 минут. За каждое верно выполненное задание1-2  вы получаете 3 балла, за третье задание 4 балла. Удачи вам!

Итак, сверимся. Ребята, не огорчайтесь, если что-то не закончили. Возьмите в руки листы умений. Знаком «+» отметьте, что у вас получилось сразу, какие затруднения у вас возникли при решении. Наибольшее число затруднений возникло в нашей команде …… 

У каждого из вас есть оценочная таблица. В течение всего урока вы зарабатывали баллы. По количеству баллов оцените сейчас свою работу.

За каждое верно выполненное задание вы получаете 3 балла

VI. Подведение итогов. Информация о домашнем  задании.   Подведем итоги нашей работы. Если вы набрали 14-15 баллов - оценка «5» . Если 11-14 баллов - оценка «4». Если 8-10 - оценка «3» . Ваши оценки в группе… Оцените свою участие в создании проекта от 1 до 5 баллов.              

VII. Рефлексия                     
Я надеюсь, что сегодня на уроке каждый из вас испытал радость успеха. Подтвердите это – дополните  
1) на уроке я узнал
2) мне запомнилось
3) было непросто

4) у меня получилось
5) домашнее задание мне кажется
6) мое настроение

У каждого из вас на парте лежат карточки-мордашки. Просигнализируйте о своем эмоциональном состоянии, дорисовав необходимое на карточках.

Спасибо за работу, урок окончен. До свидания.

                                       Тренинг-минимум                                 Приложение №1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ     Приложение 2

                                                                                                                                        Приложение 3

Домашнее задание

Фамилия, имя  студента______________________________

1.Каждому графику поставить в соответствие  номер ответа.

1)у = -2|х| ;  2)  у =2х + 2 - 3;      3) у = 2х +2;          

   4) у =  -2х ;     5)у =2х – 3;        6) у = |2х - 2| ;               7)  у = 2х - 2 ;             8) у = -2|х| + 1

2. Построить график функции  у = (0,3)|х|-2

3. Решить задачу. Производительность труда на заводе трижды увеличивалась на одно и то же число процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличилось с 64 до 125 штук. На сколько процентов каждый раз увеличивалась производительность труда?

                                                                                                                                    Приложение 4                                                                                                  

Фамилия, имя  студента______________________________

Оценочная таблица                                                                                               Критерии отметок       

Лист умений.

                                                Дополнение к презентации                                                                                                 Приложение 5

Преобразование графиков

Математический язык – это язык цифр, чисел, символов и рисунков, графиков и чертежей.

Правильно выполненные графики и чертежи способны понять люди разных национальностей, здесь не существует языковых барьеров. Они могут заменить долгие разъяснения.

Рассмотрим преобразования графиков показательной функции.

Воспользуемся другим способом построения графика. Перенесем оси: ох на 2 единицы вправо, ось оу на 2 единицы вниз(показано пунктиром). А затем строим график у = 3х относительно новых координатных осей  х1, У1    

                                                                                                             Приложение 6

Показательная функция в стихах, пословицах и поговорках

        Стихотворение  «Показательная функция» 

Слушайте, слушайте внимательно!
И тогда признаете обязательно:
Самая важная функция  - показательная!
Экспонента – имя линии моей!
Хоть нет как у параболы, ветвей,
Я – положительна! И это всем нам видно.
И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно,
Вторым концом я устремляюсь ввысь!
А ну-ка, степенная, доберись!
Давно сравнили нашу скорость роста.
Ты по сравнению со мной – малютка просто!
Я монотонна, это правда:
Иль возрастаю иль спускаюсь вниз.
Но помнить вам еще о том бы надо,
Что в свойстве этом есть один сюрприз:
Я – обратима! Это ли не счастье – 
В логарифмическую обратиться в одночасье.
Скажу о точке ноль и единице:
Хоть график мой и быстро вверх стремиться,
В любом он случае через нее проходит – 
Она все графики в пучок единый сводит.

                                                         Н. Будлянская

      Русские пословицы наглядно иллюстрируют некоторые свойства функций и являются ярким примером того, что функция повсеместно присутствует  в нашей жизни.
Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам.

Область определения Д (у) = (-∞; +∞),  непрерывность  можно сравнить с пословицами:

Не нами свет начинался, не нами и кончится.

Век живи, век учись. Очевидно, что предела знаниям нет.

  Думаю поговорка  Попал пальцем в небо отражает свойства показательной функции Множество значений:  Е (у) = (0; +∞).  Нет наибольшего значения

Показательная функция ограничена  снизу,  горизонтальная асимптота  у=0

Здесь уместна пословица : Видит око, да зуб неймет.

Монотонность

У медали две стороны Показательная функция может быть как возрастающей, так и убывающей.

С каким свойством  ассоциируется пословица Живи не под гору,  а в гору

Возрастание   если  основание   а >1

Также:  Чем дальше в лес, тем больше дров. Понятно что  нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. График представит количество дров как функцию пути.

Согласно пословице эта функция возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров).

Убывание-основание   0<а <1 очень хорошо демонстрируют пословицы:

Дальше кумы – меньше грех  Функция монотонно убывающая, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы.

Тише едешь, дальше будешь

Курить – здоровью вредить. Каждая выкуренная сигареты сокращает жизнь на 12 минут, а жизнь укорачивается примерно на 8 лет.

Кто пьет до дна, тот живет без ума показывает как  изменяется мера ума по мере потребления алкогольных напитков. Хочется пожелать всем вести  здоровый образ жизни и  не дружить с алкоголем, чтобы ум всегда оставался ясным.

Думаю все мы убедились, что свойства показательной функции нашли свое отражение в народном творчестве.

                                                                                                                                             Приложение 7

Показательная функция в моей  профессии «техник – спасатель»

     Наша будущая специальность - спасение пострадавших в экстремальных ситуациях. Спасатель – один из тех людей, кто приходит на помощь одним из первых.
Эта профессия включает в себя сразу несколько специальностей: водитель, пожарный, медик и др.

   Сотрудникам МЧС приходится работать, не дожидаясь конца бедствия. Например, не лесных пожарах, наводнениях(совсем недавно такое произошло на дальнем Востоке), авариях на атомных станциях. В 1986 году произошла авария на Чернобыльской АС, в 2011 в Японии  на АЭС Фукусима в результате которых произошел выброс  радиоактивных веществ и соответственно радиоактивное заражение местности. Живые организмы подвергаются лучевому поражению, т. е. возникает лучевая болезнь, последствия которой могут быть очень тяжелыми.

    Радиоактивность- явление самопроизвольного превращения неустойчивых ядер в устойчивые, сопровождающееся испусканием частиц и излучением энергии.

    Период полураспада –время, за которое распадается половина начального числа радиоактивных атомов. За это время активность радиоактивного вещества уменьшается вдвое.         Закон радиоактивного распада представлен формулой и графиком. Видим, что это тоже показательная функция.

   График спада уровня радиации при ЯВ и аварии на Чернобыльской АЭС представляет собой тоже график показательной функции.

  Почему некоторые люди начинают плохо себя чувствовать после поездки по городу на вроде бы дорогом и современном автомобиле?  Почему в машинах погибают люди, пытаясь согреться от работающего двигателя?

В этом виноват угарный газ – СО. При накоплении 15-20%  окиси углерода в крови появляются первые признаки отравления, а при 65% и более наступает смертельный исход

При отравлении угарным газом необходимо срочно оказать первую медицинскую помощь.
Профилактика заключается в контроле за эксплуатацией автомобильного транспорта, уровнем выхлопных газов и своевременная регулировка карбюраторов на максимальное сжигание горючего.
  Зависимость концентрации и времени дыхания показана на графике. 

     Мы также будущие водители автомобиля. И нам придется сталкиваться с ремонтом. Чтобы автомобиль исправно работал, необходимо в хорошем состоянии его содержать. Знайте, что разрядка аккумулятора происходит по закону органического затухания   Q(t)= Q0 ,                                                  

Разрядка необслуживаемой аккумуляторной батареи зависит от силы тока и температуры,  и от температуры и срока эксплуатации .На графике представлена эта зависимость. Чем ниже температура, тем быстрее происходит разрядка.   И чем больше срок эксплуатации, тем быстрее разряжается аккумулятор.

     Если кому- то  придется обращаться в страховую компанию по поводу ремонта, то износ деталей металлических и пластиковых рассчитывают тоже по формулам, содержащим экспоненту - показательную функцию с основанием е 2,72.

                                                                                                                           Приложение 7

Показательная функция в различных сферах науки и деятельности человека.

     Вряд ли стоит объяснять, что одна из важнейших задач математики- помощь другим наукам. Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются науки, фундаментальные результаты которых могут быть сформулированы математически. Используя  математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить
Великий Галилей писал:«Книга природы написана на математическом языке … и именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.»                                      

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.
Процессы, в  которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида .

Показательная функция в физике.В физике есть величины и законы подчиненные показательной функции:
Зависимость давления газа от высоты определяется так называемой барометрической формулой 

,
где
 - разность высот, м
 - молярная масса воздуха, 29 г/моль
 - универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль*К)
 - ускорение силы тяжести, 9.81 м/(с*с)
 - температура воздуха (К)

График зависимости атмосферного давления с ростом высоты над уровнем Земли имеет вид:

Часто на производстве , да и в быту мы наблюдаем процесс остывания тел. Вы видите формулу для определении температуры тела при остывании, это тоже закон органического затухания. Чем больше разность температур между нагретым телом и температурой окружающей среды, тем остывание идет быстрее. Детали автомобиля при работе тоже сильно нагреваются и это нужно учитывать, когда приступаете к ремонтным работам, чтобы не получить ожог. Необходимо выждать некоторое время и только потом приступать к работе.

Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: 
T = T0+ (100 - T0)e-kt - это пример процесса выравнивания, который в физике также можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.

Показательная функция используется при описании многих физических процессов. Вы видите фамилии Нобелевских лауреатов, которые получили премию за исследования в области физики с использованием показательной функции.  Среди них наши ученые Игорь Тамм и Жорес Алферов.

В биологии есть законы, которые можно описать с помощью показательной функции. Закон органического размножения: при благоприятных условиях живые организмы размножались бы по закону показательной функции. N = N0ekt

Эти законы доказывают нам, что показательная функция имеет большое практическое значение в биологии, а особенно в таких её разделах, как экология и медицина.  По этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.

География

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как учёные изучают природные и социальные явления».

Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд.

Численность населения изменяется по формуле: 

Банковские расчёты

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За каждый год нахождения внесённой суммы на счёт она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.
S =  S.

Ниже приведен график зависимости роста вклада от срока вклада и от суммы начисляемых процентов –это график показательной функции.

Решим задачу. Вы положили в банк 50  тыс рублей под 10% годовых на пять лет . какой будет сумма вклада через 5 лет?

Воспользуемся формулой сложных процентов и получим 66550 рублей.

По этой же формуле можно решить и следующую задачу.

Ну и конечно не могу упомянуть о применении показательной функции в спорте. Ровно месяц назад 29 сентября был зажжен Олимпийский огонь в Греции. Сейчас идее по стране эстафета Олимпийского огня, которая закончится в Сочи 7 февраля,  а в Курске побывает 16 января.

Так вот спортсмены во время тренировок и соревнований испытывают колоссальные физические нагрузки.

Так расход кисорода и лактата (молочной кислоты) в зависимости от скорости представлен на графиках. Это все закон органического роста.

Потери  жидкости во время футбольного матча тоже описывается этим законом.
Мы не исчерпали всех примеров применения показательной функции, так как сделать это очень сложно. Она находит применение при расчете топлива во  время космических полетов, при расчете прироста древесины, а также других областях науки и техники.