Зачет по алгебре для 8 класса
материал по алгебре (8 класс) по теме

Свойства модулей:

Задания для самостоятельной работы

Уровень 1.

1. Поставьте вместо  знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

2. Расположите в порядке возрастания числа:

3. Найдите корни уравнения:

4.  Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

5. Решите неравенство:

Уровень 2.

1. Решите неравенство:

2. Изобразите на координатной прямой промежуток:

3. Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:

4 . Решите уравнение:

5. Решите систему неравенств:

Зачет № 2 по теме: «Квадратные корни».

Цели:

1. Систематизировать полученные ранее знания о рациональных числах;
2. Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Основные понятия и определения:

• арифметический квадратный корень;
• действительные числа;
• квадратный корень из степени;
• квадратный корень из произведения;
• квадратный корень из дроби.

Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся должны знать:

• иметь представление об иррациональных числах, знать определение и свойства арифметического квадратного корня.

Учащиеся должны уметь:

• выполнять вычисления и алгебраические преобразования в выражениях, содержащих квадратные корни; уметь строить график функции.

Теоретический материал

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Действительные числа

Рациональное число можно  записать в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.

Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Квадратный корень из степени

Теорема 1. Если а  и в 0, то  =.

Теорема 1 верна и тогда, когда число множителей под знаком корня больше двух.

=.

Теорема 2. Если а 0 и  в 0, то=.

Для доказательства достаточно установить, что 1)  0 и 2) ()2=.

Задания для самостоятельной работы № 2

1. Найдите значение арифметического квадратного корня:

2. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:

3. Вычислите:

4. Найдите значение корня:

5. Найдите значение выражения:

6. Найдите значение произведения:

Зачет № 3 по теме: «Квадратные уравнения».

Цели:

1. Систематизировать полученные ранее знания о квадратных уравнениях;
2. Выработать умения решать квадратные уравнения; уравнения, сводящиеся к квадратным и применять их к решению задач;
3. Познакомить с общим видом квадратного уравнения и формулами для нахождения корней.

Основные понятия и определения:

• квадратное уравнение и его корни;
• неполные квадратные уравнения;
• метод выделения полного квадрата;
• решение квадратных уравнений;
• приведенное квадратное уравнение;
• теорема Виета;
• уравнения, сводящиеся к квадратным;
• решение задач с помощью квадратных уравнений;
• решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени;
• комплексные числа.

Требования к уровню подготовки учащихся

Учащиеся должны знать:

• определение квадратного уравнения, формулы его корней, теорему Виета; 

Учащиеся должны уметь:

• решать разнообразные квадратные уравнения, дробные рациональные уравнения, решать задачи с помощью уравнений.

Теоретический материал:

Квадратные уравнения

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида

где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причем a ≠ 0.

Коэффициенты a, b, c различают по названиям: a — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при x; c — свободный член.

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Так, уравнение

— неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение

— приведенное квадратное уравнение.
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Определение 3. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.
Обратите внимание: об    речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Определение 4. Корнем квадратного уравнения   называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен    обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения — это такое значение x, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Теорема Виета

Например, для уравнения  , не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна  , а произведение корней равно  , т. е. - 2. А для уравнения    заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.

Доказательство теоремы Виета. Корни x1 и x2 квадратного уравнения    находятся по формулам

где    — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим

Первое соотношение доказано:  .
Теперь вычислим произведение корней x1 и x2 Имеем

Второе соотношение доказано: 

Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения . В этом случае получаем:

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, x1 и x2 — корни приведенного квадратного уравнения . Тогда

Итак,

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

Доказательство. Имеем

По теореме Виета,  ,  . Значит,

Формулы корней квадратных уравнений

Пусть дано квадратное уравнение  . Имеем

Обычно выражение    обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения    (или дискриминантом квадратного трехчлена  ).
Таким образом,

Значит, квадратное уравнение    можно переписать в виде

и далее

                                                            (1)

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях x принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения x, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение  .
Решение. Здесь a = 2, b = 4, c = 7,

Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид  . Значит,  , т.е.  - единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что    — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции  ? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения  ? «Ларчик» открывается просто: если D = 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции    является парабола с вершиной в точке    (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

Пример 2. Решить уравнение  .
Решение. Здесь a = 4, b = -20, c = 25, 
Так как D =0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле    Значит,  .
Ответ: 2,5.

Задания для самостоятельной работы № 3

Уровень 1.

Практическая часть:

1. В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя – свободный член:

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение и сделайте проверку:

4. Найдите корни уравнения:

5. Найдите дискриминант квадратного уравнения:

6. Сколько корней имеет уравнение:

7. Решите уравнение:

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Решите систему уравнений:

Зачет № 4 по теме: «Квадратичная функция».

Цели:

1. Систематизировать полученные ранее сведения о квадратичной функции;
2. Сформировать представления о функции y=x2 и ее графике;
3. Сформировать представления о функции y=аx2 и ее графике;
4. Сформировать представления о функции y=ax2+bx+c;
5. Уделить внимание на построение графика с использованием координат вершины параболы, нулей функции и нескольких дополнительных точек;
6. Сформировать умения определять по графику промежутки возрастания и убывания функции, нули функции.

Основные понятия и определения:

• определение квадратичной функции;
• построение графика квадратичной функции;
• функция y=x2;
• функция y=аx2;
• функция y=ax2+bx+c

Теоретический материал:

Квадратным уравнением называют уравнение вида  , где    — любые числа (коэффициенты), причем . Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение  .
Решение.
I способ. Построим график функции 
1) Имеем:  . Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая x = 1.
2) Возьмем на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3. Имеем  . Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения    являются абсциссы точек пересечения параболы с осью x; значит, корни уравнения таковы: x1 = - 1, x2 = 3.

II способ. Преобразуем уравнение к виду  . Построим в одной системе координат графики функций и (рис. 69). Они пересекаются в двух точках A (- 1; 1) и B (3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, x1 = - 1, x2 = 3.

Рассмотрим многочлен  , где a,b,c - числа (коэффициенты), причем a ≠ 0. Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент a — старшим коэффициентом.
Функцию , где a,b,c - произвольные числа, причем a ≠ 0, называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена    содержит x в квадрате.
Опираясь на результаты, полученные выше, мы сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.
Пример 1. Построить график  .
Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене  . Имеем

.

Для построения графика функции    перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые x = - 1 и y = 4 на рис. 61). Привяжем функцию  к новой системе координат. С этой целью выберем контрольные точки для функции  , например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу - получим требуемый график (рис. 62).
Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду   и использовали алгоритм 2 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 - кому что нравится). Оказалось, что графиком функции   является парабола, которая получается из параболы    параллельным переносом. А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции    также является парабола; она получается из параболы    параллельным переносом. Оказывается, график любой квадратичной функции   можно получить из параболы   параллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея - выделение полного квадрата.

Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем

.

Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен  к виду  , где  ,    .

Чтобы построить график функции  , нужно выполнить параллельный перенос параболы   так, чтобы вершина параболы оказалась в точке  (рис. 63). Теорема доказана.
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы   служит точка  .  Осью параболы является прямая  , т.е.  .
Итак, осью параболы    служит прямая  ; абсцисса    вершины параболы    вычисляется по формуле

.

Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле , т.е.  ). Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса  , то ординату    всегда можно вычислить по формуле  , где  .

Задания для самостоятельной работы № 4

Уровень 1.

1. В одной и той же системе координат постройте графики функций  и  Используя построенные графики:

1) выясните, какая из этих функций:

        а) возрастает в промежутке

        б) убывает в промежутке

2) решите неравенство:

        а)         б)         в)         г)

2. Принадлежит ли графику функции  точка

3. Найдите координаты точки пересечения параболы  и прямой:

4. Является ли функция  возрастающей (убывающей):

1) на отрезке  2) в интервале

3) на отрезке  4) в интервале

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  где

Уровень 2.

1. Найдите координаты вершины параболы:

2. Найдите координаты точки пересечения параболы с осями координат:

3. Постройте график функции  и найдите, используя график:

1) значение функции при

2) значение х, при которых у = 7; –3;

3) нули функции, промежутки, в которых

4) промежутки возрастания и убывания функции;

5) значение х, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение.

4. Принадлежит ли графику функции  точки  

Литература

1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин «Алгебра, учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений». – М.: Просвещение, 2004 г.
2. Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров «Изучение алгебры в 7 – 9 классах». – М.: Просвещение, 2004 г.
3. Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович «Алгебра. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы». – М.: Дрофа, 2002 г.
4. Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова «Математика. Экспериментальная экзаменационная работа 8 класс. Типовые тестовые задания». – М.: Экзамен, 2008 г.