Программа элективного курса
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Составила

Кулакова Наталья Александровна

Учитель математики МОБУ «Солнечной СОШ»

Вышневолоцкого района Тверской области

г. Тверь

Введение

Противоречия:

Между

ЦЕЛЬ:

Создание программы элективного курса «Свойства функций в задачах», который позволит систематизировать уже полученные знания по данной теме и значительно расширить базовый уровень всем учащимся, посещающим данный курс.

ЗАДАЧИ:

• Изучить концепцию предпрофильного и профильного обучения;
• Познакомиться со структурой программы, принципами построения программ;
• Выбрать тему, исходя из желаний и возможностей учащихся;
• Создать условия для реализации математических способностей учащихся, путем использования рациональных методов и приемов обучения математики, направленных на формирование ЗУН, с учетом индивидуальных  особенностей учащихся;
• Сформировать у школьников систему знаний и умений по теме: «Свойства функций в задачах», которыми они смогут пользоваться в дальнейшем;

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

Создать программу элективного курса, дидактическое и методическое обеспечение к ней.

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

«Свойства функций в задачах»

ПРОГРАММА

Элективного курса для учащихся 10-11 классов средней общеобразовательной школы.

Пояснительная записка

ПРОБЛЕМА:

Повышение уровня математической подготовки учащихся через решение задач повышенной сложности. В настоящее время в связи с введением новых Государственных стандартов высшего образования курс высшей математики в большем или меньшем объеме изучается студентами практически всех факультетов и специальностей: будущими физиками и психологами, медиками и юристами, химиками и социологами. Для успешного продолжения обучения в вузе выпускникам школ, по меньшей мере, необходимы твердые знания и уверенное владение материалом не только школьных учебников математики, но и владение приемами решения нестандартных задач. Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. При решении последних заданий ЕГЭ по математике, выпускники могут использовать любые известные математические методы, изученные на элективных курсах.

Одной из важных задач общеобразовательной школы состоит в том, чтобы прививать учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность. В связи с этим актуальной становится проблема разработки таких средств обучения и методики их использования, которые содействуют формированию исследовательских умений и навыков у учащихся. Однако практика показывает, что потенциал задач, имеющихся в учебниках, недостаточно используется для воспитания исследовательских умений.

АКТУАЛЬНОСТЬ:

Свойства функций – одно из важнейших понятий математики. Знание свойств функций и умение применять их,  являются необходимыми условиями успешного выполнения заданий второй части ЕГЭ. На ЕГЭ  включают задания с параметрами, уравнения и неравенства при решении которых надо исследовать необходимые и достаточные условия, активно использовать свойства функций. Использование учащимися свойств функций для решения уравнений и неравенств должно стать для них вообще привычным методом рассуждений и при обучении, и при повторении, и при подготовке к экзамену.

Другими словами, для нахождения решения нужно обладать достаточно развитым функциональным мышлением, чего в настоящее время ожидать от учащихся мы не можем, поскольку учебники не содержат для этого достаточного материала. Несмотря на повторяемые в течение уже почти целого века слова о важности развития функционального мышления учащихся при обучении математике, изучение свойств сводится к выработке алгоритмов их исследования.

ЦЕЛЬ КУРСА:

Создание целостного представления о теме, расширение и углубление математических знаний.

ЗАДАЧИ:

• обобщение, систематизация и углубление знаний по теме;
• развитие логического мышления, творческих способностей, познавательных интересов;
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса;
• прививать учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность;
• убедить в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;

• овладеть основными приемами решения задач с параметрами;
• научиться применять некоторые преобразования, основанные на свойствах функций;

ФОРМЫ И МЕТОДЫ РАБОТЫ:

• использование наиболее эффективных приемов, активизирующих работу обучающихся;
• использование таких средств обучения и методик, которые содействуют формированию и развитию исследовательских умений и навыков у учащихся.
• развивать интуицию, без которой немыслимо творчество, располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Учить рассуждать, выдвигать гипотезы, давать время на размышление;
• использовать работу в группах, парах, осуществлять дифференцированный подход;
• при решении задач рассматривать несколько способов решения, что позволит усилить развивающую функцию задач и дифференцировать работу;
• исключить метод принуждения в учебе;

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

• сформировать общеучебные умения через организацию индивидуальной работы, работу в парах и группах;
• развить интеллектуальные умения, используя внутреннюю дифференциацию обучения;
• в результате изучения курса обучающие приобретут уверенность в решении уравнений, неравенств, систем уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
• показать учащимся, что использование свойств функций, входящих в уравнение или неравенство нередко сильно упрощает техническую часть решения, а порой без него просто немыслимо решить задачу;

СОДЕРЖАНИЕ

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных знаний. Все свойства, входящие в элективный курс и их обоснование не вызовут у обучающихся трудностей. Все содержание располагает к самостоятельному поиску и повышает интерес к изучению предмета. В курсе решается и разбирается и учителем, и  учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Материал предлагаемого курса поможет учителю показать своим ученикам как красоту и совершенство, так и сложность, и изощренность математических методов.

        Не исключено, что данный курс поможет ученику найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки или, по крайней мере, приобрести в непрофессиональное увлечение (хобби) пусть и не «на всю оставшуюся жизнь».

        Учащимся сообщается цель и значение элективного курса, систематизируются знания о свойствах функций и их применение при решении задач, в том числе задач с параметром. Работу по применению знаний можно проводить в группах, используя приемы исследовательской деятельности. В результате изучения курса учащиеся приобщатся к исследовательской работе.

Эту тему желательно изучать после темы «Уравнения и неравенства  с параметрами», так как при изучении данного курса углубляются и систематизируются знания  и несколько расширяется материал по теме «Задачи с параметрами». Решаются задачи разного уровня в том числе задачи вступительных экзаменов в вузы.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим метод решения уравнений вида f(x)=g(x),  основанный на использовании областей определения функций f(x) и g(x). Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции с ограниченной областью определения, такие, как y=arcsin x, y=arccos x, y=loga x, y=x. Рассмотрим утверждения, положенные в основу данного метода.

Решениями уравнения f (x)=g(x)  являются абсциссы точек пересечения графиков функций f(x) и g(x), причём значения этих абсцисс обязательно принадлежат пересечению областей определения функций f(x) и g(x); обозначим его D(f)D(g). А так как области определения функций  f(x) и g(x) не имеют общих значений, то графики функций f(x) и g(x) не могут пересечься, значит, уравнение f(x)=g(x) решений не имеет.

Пример. Решите уравнение

Для решения данного уравнения найдём пересечение областей определения функций

f(x)=        и   g(x)=

D(f)=(-4;4),

D(g)=(-;-4][4;+ ).

Так как D(f)D(g) = , то исходя из утверждения 1.1, уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пересечением областей функции f(x) и g(x) является действительное число а. Значит, если графики функций f(x) и g(x) пересекаются, то только в точке с абсциссой а (рис. 3, рис. 4). Значит, а является единственным возможным решением уравнения (1). Таким образом, остаётся проверить прямой подстановкой, является ли число а корнем уравнения f (x)=g(x). Если а не удовлетворяет уравнению (1), то уравнение корней не имеет.

Пример. Решите уравнение  

        arccos x= Рассмотрим функции f(x)=arccos x и g(x)= .

Легко видеть, что

D(f)=[-1; 1],

D(g)=[1; +).

Тогда D(f)D(g)={1}.

Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только x=1.

Проверим это с помощью прямой подстановки значения  x=1 в уравнение

Так как arccos 1=, то x=1 – единственный корень уравнения.

Ответ: 1.

Так как пересечением областей определения функции f(x) и g(x) является конечное число  чисел  {a1 и а2} то графики данных функций могут пересечься только в точках с абсциссами  а1 и а2, значит, только эти числа могут быть корнями данного  уравнения. А действительно ли они являются корнями, можно проверить с помощью прямой подстановки их в данное уравнение. Если же ни одно число из a1; a2;....;an  не удовлетворяет уравнению f(x)=g(x), то оно не имеет решений.

Пример. Решите уравнение

arccos x =- Рассмотрим функции f(x) = arccos x и g(x) = -

        D(f) = [-1;1],

        D(g) = (-;-1][1;+ ),

D(f)D(g) = {-1;1}.

Проверим, являются ли  эти числа корнями уравнения:

        аrccos (-1) = -

действительно, аrccos (-1) = , значит, -1 – корень уравнения . При подстановке в уравнение  х = 1 получаем ложное  равенство аrccos (1) = , что свидетельствует о том, что 1 не является корнем уравнения

Ответ: -1.

Использование ограниченности функций (области значения)

    Еще одно свойство функции – ее ограниченность сверху или снизу – может помочь либо найти

    корни уравнения (или неравенства), либо опровергнуть утверждение об их существовании. Рассмотрим метод решения уравнений, основанный на этом свойстве функции. Более того, он помогает не только решать уравнения, но и неравенства, и при этом тратить намного меньше времени, чем при решении другими способами.

 Наиболее результативен данный метод при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены:    

 y = sin x;     y = cos x;     y = arccos x;     y = arcsin x;     y = arcctg  (x);   y =x;   y =x  ;  y =a x.

Так как пересечением областей значений функций f(x)иg(x)является число а, то графики функций могут пересекаться только в точке с ординатой  а (абсцисса этой точки является решением данного уравнения), следовательно, решение уравнения f (x)=g(x) сводится к решению системы  

Пример1. Решите уравнение

Sin()=x2-4x+5.

Рассмотрим функции f(x)=sin и g(x)=x2-4x+5.

Так как Е(f)=[-1;1], E(g)=[1;+), то Е(f)   E(g)=1.

Следовательно, уравнение равносильно системе

Решим второе уравнение системы: х2-4х+4=0, (х-2)2=0. Корнем второго уравнения системы являются значение х=2. Решим первое уравнение системы:

Sin(, х=2+8к.

Так как значение х=2 является решением системы, то оно является и решением уравнения

Ответ:2.

Пример2.Найдите количество целых значений а на промежутке [2; 17], для каждого из которых уравнение =sin имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим функции

f(x)=  и g(x) = sin. Е(f)=[0;1], E(g)=[-2;0], так как

Е(f)   E(g)={0}, то уравнение равносильно системе

Решив первое уравнение системы, получим х=7к (кZ). Подставим найденное значение аргумента во второе уравнение системы: а=+(7к+4n) (кZ; nZ), а=+l (lZ).

Ответ: на указанном промежутке количество целых значений а равно 16.

Так как наибольшее значение функции g(x) меньше наименьшего значения функции f(x) , то график функции f(x) расположен выше графика функции g(x), следовательно:

а ) графики функций f(x) и g(x) не могут пересечься, поэтому уравнение f(x)=g(x) не имеет решений;б) любое значение функции f(x) больше любого значения функции g(x), следовательно, решением неравенства f(x)>g(x)  является пересечение областей определения функций  f(x) и g(x).

в) неравенство f(x)

Пример. Решите неравенство

2х+arctg x.

Рассмотрим функции f(x)= 2х+ и g(x)= arctg x. Е(f)=( ;+); Е(g)=(- ;);

Так как области значений данных функций не пересекаются и любое значение из множества Е(f) больше любого значения из множества Е(g) , то решением неравенства являются все действительные числа из пересечения областей определения данных функций, то есть х(-;+). Ответ: (-;+).

Упражнения.

I.1);

 2)

3)sinx

4)(4x-x2-3)

5)

II.6) При каких значениях параметра а , которые удовлетворяют условию 5имеет хотя бы 1 решение х на [1;2].

7) .  8)Решить уравнение

9) Решить уравнение 2cosx=2x+2-x.

Монотонность

Теорема 1. Если функция f(x) возрастает на промежутке I и функция g (x) возрастает на промежутке I,то функция h(x) = f(x) + g(x) + C также возрастает на промежутке I (C – произвольная постоянная).

        Аналогичное свойство имеет место и для убывающих функций.

Пример 1. По теореме 1 функция h (x) = 2x + 3 x возрастает на R , а функция

h (x) =()х+ log0,5х+2  убывает на промежутке (0;+ ).

        Понятно, что соображения монотонности могут применяться не только при решении уравнений, но и в задачах с неравенствами.

Пример2. Решите неравенство

+4.

Решение. Найдем область допустимых значений переменной данного неравенства:

 х1.

При этих значениях х левая часть — возрастающая функция (вершина параболы — графика квадратного трехчлена у = х2 + х - 2 — имеет абсциссу х = -0,5, поэтому при х  1 первое подкоренное выражение, а вместе с ним и все первое слагаемое левой части , возрастает, второе слагаемое — также возрастающая функция), а правая часть — константа. Поскольку при х = 2 левая часть  равна правой, данное неравенство справедливо при всех допустимых значениях х, меньших 2 (при больших значениях х левая часть  больше, чем при х = 2).

 Ответ: 1 х < 2.

Замечание. Полезно отметить, что мы, по существу, использовали следующее утверждение: если  у = f(x) — функция, возрастающая на промежутке [а; b], то для любого числа с, такого что  

   а < с < b, неравенство f(x) < f(c) равносильно неравенству а  х < с.

Теорема 2.Если функция (х) неотрицательная и возрастает на промежутке I, функция g(х) неотрицательна и возрастает на промежутке I, C0, то функция h(х)=C(х)g(х) также возрастает на промежутке I.

        Аналогично свойство имеет место и для убывающих функций, а также для C 0.

Пример3.По теореме 2 функция h(х)= 4х3sin х возрастает на промежутке 0;  , а функция  h(х)=  log2х убывает на промежутке 1;+).

Теорема 3. Если функция (t) возрастает (убывает) на промежутке I , то неравенство

 (g(x)) < (h(x)) равносильно на промежутке I  неравенству g(х)  h(х) (g (х) h(х)).

Аналогично свойство имеет место и для нестрогих неравенств.

Пример 4. на основании теоремы 4имеем:

log0,2хlog0,2х2        

3x  + log2 x < 83  3x + log2 x < 34 + log2 4     

Теорема 4. Если  функция f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x) = C имеет на промежутке I не более одного корня.

Пример 5.x =3 корень уравнения x3  + x  = 30 (если легко найти подбором). На основании теоремы 5 он будет единственным, т.к. функция f(x) = x3 + x возрастает на R.

Пример6. Решите уравнение.        - =2.                  (2)        Решение. Левая часть уравнения (2) – возрастающая в своей области определения функция (первый радикал при увеличении х, очевидно, увеличивается, а второй – уменьшается, но он вычитается из первого, поэтому их разность возрастает). По теореме уравнение (2) имеет не более одного решения. Его легко предъявить: это х = 1. Действительно, при подстановке этого значения неизвестного в (2) получается верное равенство 7 –5 = 2.        Ответ: х = 1.        

Замечания.

1. Откуда взялся корень х = 1? Мы его просто угадали! Некоторые школьники считают приведенное решение «нестрогим» — как это можно что-то угадывать? Но в нашем решении все в порядке — доказано, что решений не больше одного, и предъявлено решение (неважно, откуда мы его взяли). Кстати, угадать решение было довольно просто — мы начали перебирать целые неотрицательные значения х и искать, при каких из них «извлекается» второй корень (там просто меньше коэффициенты, чем под знаком первого корня). При х = 0 корень «не извлекся», а при х = 1 — извлекся (под корнем получился полный квадрат — число 25), тогда мы подставили х = 1 в уравнение (2) и получили верное равенство. Начинали мы с х = 0, так как при отрицательных целых х первый радикал не существует  — подкоренное выражение отрицательно. Конечно, угадать корень можно далеко не всегда, но мы и не претендуем на универсальность такого подхода к решению.

Пример7. Решите уравнение

++=6.

Комментарий. Конечно, немыслимо решить это уравнение почленным возведением в степень (третью, девятую, причем неоднократно!). Это, как ни странно, сильно облегчает задачу — предостерегает от неправильного пути и заставляет искать другие способы.

Решение. Левая часть данного уравнения — возрастающая функция. Поэтому у него не более одного корня. Решение легко предъявить — это х = 7: при подстановке его в уравнение получаем 3 + 2 + 1 = 6, это — верное равенство.

Ответ: х = 7.

«Встречная» монотонность»

Теорема 5

 Пусть функция у = f(x) возрастает на промежутке I, а функция у = g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке I не более одного корня.

Задача 8. Решите уравнение

х2-х+2=-.        (5)

Решение. Правая часть уравнения (5) — функция, убывающая на своей области определения, то есть при всех значениях х 1:

+=

очевидно, что дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель возрастает, убывает. С другой стороны, при  х 1 квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения (5), возрастает, так как вершина его графика, параболы, имеет абсциссу, равную 0,5, а ее ветви направлены вверх. Таким образом, у нас имеется ситуация, описанная в теореме5, и уравнение (5) имеет не более одного        корня. Но при х=2 левая часть (5) равна правой.

Ответ:х=2.        

Задача 9. Решите неравенство

3х - 7 > 41/х.

Решение. Очевидно, при х < 0 неравенство решений не имеет: его левая часть отрицательна, а правая — положительна; х = 0— тоже не решение. Пусть теперь х > 0. Тогда левая часть данного неравенства возрастает, а правая — убывает (с ростом х показатель степени убывает) — опять «встречная» монотонность. При х = 2 левая часть равна правой (и равна двум). Поэтому при х > 2 левая часть больше двух, а правая часть меньше двух, и данное неравенство будет выполнено. При

 0 < х < 2 левая часть меньше двух, а правая — больше, так что эти значения х не являются решениями.

Ответ: х > 2.

Задача 10. Решите неравенство

4arctgx<.

Решение. Функция у = 4arctg x возрастает на всей числовой оси. Функция у=убывает и при х<0, и при х>0.

 Поэтому рассмотрим отдельно отрицательные и положительные значения х. На каждом из этих множеств имеется «встречная» монотонность. Корни соответствующего уравнения угадываются легко: х = ±1 (можно воспользоваться и нечетностью левой и правой частей).

Ответ: х < -1, 0 < х < 1.

Замечание. Обратите внимание на то, что мы рассматривали отдельно два промежутка монотонности правой части. Дело в том, что все наши рассуждения верны лишь на общем промежутке монотонности двух функций. Если бы мы забыли, что правая часть монотонна не на всей числовой прямой, а лишь на полуосях оси абсцисс, произошла бы ошибка; например, при х = 1 левая и правая части равны, левая часть возрастает, правая — убывает, поэтому при всех х < 1, х  0 неравенство верно.

Упражнение. Решите уравнения и неравенства:

а)

б) 4        -1=32х-1; в) log3(1+)=5-х;

        г) log2x-log3x=;         д) arcsinx

Преобразование к монотонным функциям

Во всех рассмотренных ранее задачах  мы имели дело с монотонными левыми и правыми частями уравнений и неравенств, причем это была «нужная» монотонность - либо «встречная», либо с одной стороны монотонная функция, а другой - константа. Чаще встречается  ситуация, когда надо предварительно привести данное соотношение к такому виду, чтобы получились удобные для приведенных нами рассуждений функции. Вот классический пример такой задачи.

ЗАДАЧА 11.Решите уравнение.

3x+4x=5x.        (1)

Комментарии. Конечно, корень x=2    «виден» сразу (вы, наверное, помните «египетский» прямоугольный треугольник), но доказать его единственность аналогично предыдущим случаям не удается: ведь в уравнении (1) левая и правая части возрастают и применить к этому уравнению теорему 5   мы не можем. Но с этой ситуацией в нашем случае легко справиться.

Решение. Разделить обе части уравнения (1) на не равную нулю (и даже положительную) при всех значениях x функцию 5x, приходим к уравнению

()х+(  )х=1,

у которого левая часть убывает, а правая – константа. Значит, уравнение имеет не более одного корня, но x=2 – корень.

Ответ: x=2                

Пример.

1. Решите систему уравнений

а)     

Решение. Заметим, что пара х=0, у=0 – решение данной системы. Если же у0,то  и х0. Перепишем первое уравнение так:

Поскольку функция f(t)=t5+t возрастающая, из полученного равенства следует, что , то есть х=у2.

Аналогично, возрастания функции  g(t)=t3+t следует, что второе уравнение системы  равносильно уравнению х2=2у.

Осталось решить систему

Ответ:

Теорема 6. Если функция (х) возрастает на промежутке I , то уравнение ((x)) = x равносильно на промежутке I уравнению (х) = х.

Пример 12. По теореме 7 имеем:  = х  2х  = х ;    +2 = х   3х + 2 = х

Теорема 7. Если для функции (х) и g(х) Е() Е(g) = {А1;…..;Аk}, то

   (х) = g(х)  

Пример 13. На основании теоремы 7 получаем:

х2 + 1 =2-х      х = 0

Здесь (х) = х2 + 1, g(х) = 2-х, Е () = 1;+);

Е (g) =(0;1], ) Е() Е(g) ={1}.

Понятно, что соображения монотонности могут применяться не только при решении уравнений, но и в задачах с неравенствами.

Пример 15. Решите уравнение

Решение. Рассмотрим функцию f(x)=

Эта функция возрастает на R, а исходное уравнение вида f(x)= С. По теореме 4 оно имеет не более одного корня.  Подбором нетрудно установить, что х=а является корнем.

Ответ:а .

Решить задачи самостоятельно:

а) х5+х3+2=0; б) =х-1; в) ; г) ; д) log2x<3-x;

е) ;ж)

з) 2х3 + х - 3 = 0; и) х5+3х3+4=0; к) 2х+х=6;

л) lgx +=4

м)        + 17х + 13  = 12;

н)        ++=4;

о)- =1.

II.1.Решить уравнение Ответ: а-а2001

2.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет два различных корня. Ответ: (-;0].

3.Решить уравнение 2cos ax=x+

Ответ: при а= 2n (nZ)x=1; при а= 2n+1 (nZ) х=-1; при арешений нет.

Монотонность и метод интервалов

Здесь мы рассмотрим метод решения неравенств, представляющих собой некоторое усовершенствование метода интервалов. Именно, в задачах, где существенным является знак функции можно заменять разность значений монотонных функций разностями значений их аргументов. Это позволяет решать довольно сложные неравенства сравнительно просто – методом интервалов, применяемым обычно к рациональным функциям.

Для обоснования указанной замены мы переформулируем определение возрастающей функции.

Функция у=f(x)возрастает (убывает) на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых u и v из этого промежутка знаки чисел f(u)- f(v) и u и – v совпадают (соответственно, противоположны).

Пример16. Решите неравенство

Решение: Область определения данного неравенства описывается системой

И приведем ее к общему знаменателю:

Неравенство, очевидно, справедливо при х. При х< запишем его так:

В неравенстве заменим разность корней разностью подкоренных выражений:

то есть  Решив последнее неравенство методом интервалов, получаем ответ.

Ответ: х<2; 1х2.

Пример17. Решите неравенство

Решение: Сначало находим допустимые значения:

При этих значениях х, перенеся число 2 в левую часть данного неравенства, можно переписпть его в следующем эквивалентном виде:

Осталось решить полученную систему.

Ответ: -2

Решение уравнений вида

f((x))=f((x))

Теорема 8. Если  функция (t) строго  монотонна на R, то уравнение (g(x)) =(h(x)) равносильно на R  уравнению g(x) = h(x).

Пример 18. На основании теоремы 8 имеем:

        2х  = 2х х = х2;

        log 0,2 x = log 0,2 x2 

x + 3x5 = y + 3y5   ( либо у 0).

Пример 19.Найдите все значения параметра a, при  которых уравнение

        + = 3а-х +

имеет ровно один корень.

Решение. Рассмотрим функцию f(t) = 3t+  Эта функция возрастает на R (теорема 1).Исходное уравнение можно записать в виде f(x2 + x ) = f( a – x). По теореме 8 оно равносильно уравнению х2 + х = а – х .Ясно, что требование задачи выполняется, когда дискриминант квадратного уравнения х2+2х-а=0 равен нулю. D=1+a и D=0при а=-1.

Ответ:-1.

Пример 20. Решим уравнение.

(arcctg(x2+1002))27 = (arcctg(2004x-1001))27.  (1)

Так как функция f(u)=u27 строго возрастает на R, то на основании теоремы38 уравнение (1) равносильно утверждению

arcctg(x2+1002) = arcctg(2004x-1001).  (1/)

Так как функция (u)=arcctg u строго убывает на R, то на основании теоремы8 уравнение (1/) равносильно уравнению

x2+1002=2004x-1001,     (1//)

имеющему два корня х1=1 и х2=2003. Уравнение (1), равносильно уравнению (1//), имеет тоже два корня.

Ответ: 1, 2003.

Пример 21. Решим уравнение.

      (2)

Так как функция f(u)=()u строго убывает на R, то на основании теоремы8 уравнение (2) равносильно уравнению

 (2/)

Так как функция (u)= 3u строго возрастает на R,то на основании теоремы8 уравнение (2/) равносильно уравнению  

х3-х-1=х3+х2-3,   (2//)

Имеющему два корня х1= - 2 и х2= 1. Уравнение  (2),равносильно уравнению (2//), имеет те же два корня.

Ответ:-2;1.

Пример 22. Решим уравнение

 (3)

Область существования функции f(u)= u+23u есть множество  R,  функция f (u) строго возрастает на R (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании теоремы8  уравнение (3) равносильно уравнению sin x=sin2 x,   (3/)

имеющему две серии решений хк=к, кZ, и хn=   +2n, nZ. Уравнение (3), равносильно уравнению (3/), имеет те же решения.

Ответ: к, кZ;    +2n, nZ.

Покажем, как с помощью теоремы8  решается задача 6.139 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы.

Пример 23.

        (4)

Система (4) равносильна системе

  (4/)

Функция f(u)=2u-sin u имеет область существования R. Так как f/(u)=2-cos x >o для любого uR, то функция f(u) строго возрастает на R. Поэтому по теоремы8  второе уравнение системы (4/) равносильно уравнению х= , имеющему  единственный корень х1=3. Тогда система (4/) имеет единственное решение (3;3). Система (4), равносильная системе (4/), имеет тоже единственное решение.

Ответ: (3;3)  

Пример 24. Решим уравнение

(5)

Перепишем уравнение (5) в виде    (5/)

Функция f(u)=u(2+ имеет область существования R.

 Так как

для любого uR, то функция f(u) строго возрастает на  R. Значит, уравнение (5|) равносильно уравнению 2х+1=-3х, (5//) имеющему единственный корень х1=-0,2. Уравнение (5) равносильно уравнению (5||), имеет тот же корень.

Ответ: -0,2.

Утверждение 1. Пусть функция f(и) имеет область существования - промежуток I, и пусть она строго монотонна на I. Тогда уравнение f((x))=f((x)) равносильно системе

Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: или  (x)I, или (х)I(что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действительно, если для некоторого числа х0 справедливо равенство  (x0)= (х0) и одно из условий, например (x0)  I, то тогда справедливо и второе условие (х0) I,   (x0)= (х0)

Приведем несколько примеров применения утверждения1

Пример 6. Решим уравнение

arccos(x2 - 8) = arccos(9х - 26).        (6)

Область существования функции f(u) =arccos и — это промежуток [—1; 1]. На нем функция строго убывает. Поэтому на основании утверждения 1 уравнение (6) равносильно системе (6/)

Уравнение системы имеет два решения х1= 3 их 2= 6. Из них двойному неравенству этой системы удовлетворяет только число х1. Следовательно, система (6/) и равносильное ей уравнение (6) имеют то же решение.        Ответ: 3.

Пример 7.Решим уравнение

lg(sinx) = lg(-cosх).        (7)

Функция f(u) = lgu строго возрастает на своей области существования - промежутке (0; + ). Поэтому на основании утверждения 1 уравнение (7) равносильно системе

(7/)

Уравнение системы имеет серию решений хк=-+,kZ.  Неравенству этой системы удовлетворяют лишь те из них, для которых к = 2п + 1,т.е хn=   n, nZ. Следовательно, система (7') и равносильное ей уравнение (7) имеют те же решения.

 Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Область существования функции f(u)=есть промежуток I=[0;+). Функция f(u) строго возрастает на этом промежутке. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (8) равносильно системе

Уравнение системы имеет два решения х1=-5 и х2=1. Из них неравенству системы удовлетворяет только число х1. Следовательно, система и  равносильное ей уравнение (8) имеют единственное решение х1.

Ответ:-5.

Пример 9. Решим систему уравнений

Система равносильна системе

Функция f(u)=u+log2u строго возрастает на своей области существования – промежутке I=(0;+) ( как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 1  второе уравнение системы равносильно системе

Уравнение системы имеет два решения х1=3 и х2=-4. Из них неравенству системы удовлетворяет лишь х1. Следовательно, второе уравнение системы имеет единственное решение х1, но тогда системы равносильны и имеют единственное решение (3;3).

Ответ: (3;3).

Утверждение2 Пусть функция f(u) строго монотонна на промежутке I, тогда системы

и равносильны

Пример 10. Решить уравнение

Решение: Область существования функции f(u) = есть R, на R функция f(u) не является строго монотонной, поэтому для нее неприменимо ни одно из утверждений. Однако если заметить, что для любого х R 1+sinx0 и 1+cosx 0, то обозначив (х)= 1+sinx , (х)= 1+cosx , получим, что уравнение равносильно системе

На промежутке I=[0;+) функция f(u) строго убывает. Поэтому система равносильна системе

Учитывая условия, получаем, что система равносильна уравнению (х)=(х), т.е. уравнению 1+sinx=1+cosx , которое имеет серию решений хк=

Следовательно, исходное уравнение имеет те же решения.

Ответ:

Пример11. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде

Так как для любого хR х2+11 и 2х2-4х+51, то обозначив (х)= х2+1, (х)= 2х2-4х+5, f(u)=получаем, что уравнение равносильно системе

Так как область существования функции f(u) есть промежуток (0;+) и f|(u)= для u>1, то функция f(u)  строго возрастает на промежутке I=[1;+). Поэтому по утверждению 2 система равносильна системе

Учитывая, что неравенства выполняются для любого хR, последняя система равносильна уравнению х2+1=2х2-4х+5, имеющему единственный корень х0=2. Следовательно, уравнение также имеет единственный корень х0.

Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения

II.1. Ответ:1

2. Ответ:-1

3. Ответ:4

4.Ответ:

5.(х2+4х-3)10+(х2+4х-3)22=(х+1)10+(х+1)22. Ответ:1;-4;

6.   Ответ:-

7. Ответ:6.

Симметрия

Анализ

Ответ задачи, полученный учеником, должен быть проверен им с точки зрения разумности. Этого мы добились, например, в тригонометрии.  Во всяком случае,

большинство учащихся, верно, замечают, что уравнение   cos f (x) =10   решений

не имеет. Гораздо менее приятная картина ожидает нас на координатной плоскости.

Немногие ученики сразу видят, что множество точек, удовлетворяющих условию

2‌‌x +  3y= 10, лежит в ограниченной части плоскости как по оси абсцисс, так и

по оси ординат, поэтому присутствие в ответе точек с абсциссой, например (-6),

является для их решений обычным делом. Именно поэтому на вводной части к серии уроков «Анализ систем уравнений и неравенств с параметрами. Методы решений» способствует следующий набор упражнений.

1. Какие значения может принимать каждая из входящих в условие переменных? (В скобках приведены ответы.)

1)y + 2x =3  (x-любое, y  3).

2)y - 2x  =3  (x-любое, y 3).

3)y  - 2x =3  (x  -1,5, y-любое).

4)y + 2x =3 (x  -1,5,y-любое).

5)y + 2 x  =3 (-1,5  x  1,5; -3  y  3).

6)y  -2x = 3 (x –любое, y  -3 или y  3).

После этого следует предложить аналогичные задания, в которых все знаки равенства заменены на различные знаки неравенства. Бывает полезно давать задания-ловушки,

 Предлагая ученикам до боли знакомые соотношения.

    7)  (x-2)2 + (y + 5)2 16   ( ведь начнут же искать что-то, связанное с окружностью!)

  А здесь достаточно заметить, что левая часть неравенства никаким образом не может быть меньше 25, поэтому решений нет. А если заменить 16 на 25?

8. + y =1. ( Решений нет. Достаточно проанализировать первое подкоренное выражение.)
9. 2у+х2=4 (-2 х 2; -2 у  2).
10.                          (х<-1или х>1, у<-1или у>1).

Рассмотрим класс примеров, в которых требуется определить взаимосвязь количества решений системы уравнений со значениями параметров, входящих в данную систему. Например, при каких значениях параметров система имеет два решения или найти значения параметров, при которых система имеет максимальное количество решений.

Системы, симметричные относительно знака переменной

 Назовем систему симметричной относительно знака некоторой переменной, если она сохраняет вид при замене знака данной переменной  на противоположный. Сформулировав определение, неплохо проверить, поняли ли учащиеся его смысл. Для этой цели можно предложить группу простых упражнений.

    Например, попросить ребят выполнить последовательность следующих заданий.

• Придумать систему из двух условий с двумя переменными, симметричную относительно знака одной из переменных
• Придумать систему, содержащую три условия с двумя переменными,

симметричную относительно знака каждой из переменных.

• Что можно сказать о множестве точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе с двумя переменными, если система симметрична: относительно знака одной из переменных, относительно

знака каждой переменной?  

       Скорее всего, в ответе на последний вопрос большинство учеников допустят ошибку,

пропустив необходимую часть «если существуют точки, удовлетворяющие каждому из

условий системы, то…», поэтому желательно вновь вернуться к пунктам 7 и 8 первого примера. А затем предложить учащимся  самим придумать примеры систем  на несуществующие множества точек. Полезно обсудить, какие способы задания могут приводить к несуществующим множествам. Поэтому после непростых воспоминаний следует предложить следующий обобщающий пример.

Пример.         Можно ли изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих следующему условию и почему?

    2х2+5у2-4х у+3х+   +  + 1=9

  Решение данного примера руководит учитель, задавая вопросы.

 Можно ли в данном равенстве выделить неравенство, в котором присутствует сумма взаимообратных чисел?

Можно ли в данном равенстве выделить неравенство, в котором присутствует среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел?

Можно ли выделить полный квадрат? Результатом совместных усилий

 является  равенство:

        - неравенство с суммой двух положительных взаимно обратных чисел.

         -неравенство со средними арифметическим и средним геометрическим.        

      (êх ê+1)21 как полный квадрат с учётом х 0.

      (êх ê- 2у)20 как квадрат двучлена.

Таким образом, значение левой части выражения    строго больше числа 9 , поэтому равенство выполняться не может, и точек, удовлетворяющих ему, на координатной плоскости нет.

Пример1. Найти все действительных а при которых уравнение 4х2+sin2x+2x+a+=0 имеет единственное решение.

Решение: здесь мы познакомимся с эффективным приемом, который всегда нужно иметь ввиду при решении задач. Это – идеи симметричности и четности- нечетности функций. Если в уравнении все выражения g(x), содержащие неизвестные, чётные (g(x)=g(-x)), то мы всегда имеем при ненулевых решениях пары решений (х0  и  - х0, 5  и-5, 17 и -17 и т.д.). В этом случае мы не можем иметь единственное решение, если уравнение имеет хоть одно ненулевое решение. В нашей задаче чётность функции «спрятана», но мы сейчас её выявим: sin2x=-cos(2x+)=-cost (для краткости мы обозначили 2x+=t). 4х2+2x+=(2x+)2=t2. И получили уравнение: t2-cost+a=0. Будет единственное х, если будет единственное t, ибо t и x связаны линейным соотношением 2x+=t. И вопрос задачи теперь сводится к нахождению такого а, при котором есть только одно решение t=0, иначе, как мы уже сказали выше, при ненулевых t мы будем иметь парочки решений (-t и+t). Для t=0 получаем 02-cos0+a=0a=1. Но это ещё не ответ! Доказано лишь, что при а=0 обязательно есть решение t=0, но пока не факт, что нет при этом а других решений. Поэтому нужно убедиться, что, действительно, при а=0 имеем единственное решение. Это легко сделать простой проверкой. При а=0 имеем уравнение : t2-cost+a=: t2-cost+1cost=t2+1. При t0, t2+1>1, получаем cost=t2+1>1, что не бывает. Итак, а=1.

Ответ:а=1.

 Пример2. При каких значениях параметра а система имеет ровна два решения?

Решение. Пусть существует решение системы  (х0; у0). Тогда в силу симметричности системы относительно знаков переменных  х и у пары (х0; -у0), (-х0;у0), (-х0;-у0) тоже являются решениями системы. Следовательно, для того чтобы система имела два решения, необходимо, чтобы либо х0, либо у0 равнялись нулю. Рассмотрим случай, когда х0 обращается в ноль. Но из первого условия, очевидно, вытекает, что êхê2, поэтому остается рассмотреть случай у=0. Тогда система примет вид    

Таким образом, только а = 4 может удовлетворять условию задачи. При данном значении   а существуют решения системы   (2; 0)   и   (-2; 0). Проверим, не существуют ли другие пары решений при а =4 (достаточность). Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое получим уравнение у2 + |у| = 0. Очевидно, его решением является только число у = 0. Таким образом, достаточность проверена, и условию задачи удовлетворяет только а = 4.

Ответ: а = 4

Пример3. При каких значениях параметра b система уравнений имеет три решения? Найдите эти решения.

Решение. Пусть существует пара (х0; у0), являющаяся решением системы при данном значении параметра b. Тогда в силу симметричности системы относительно знака переменной у пара (х0; -у0),так же  является решением. Поэтому для существования нечетного числа решений системы необходимым является условие: (х0; 0) — решение системы. В этом случае система примет вид                 

Таким образом,    b = 2   или   b = -2.   Проверим достаточность подстановкой. Рассмотрим     b= 2.

        Решая систему, получим, что ее решением является пара (4; 0), т. е. при b = 2 существует только одно решение системы, что противоречит условию. Проверяя b = -2, получим, что при данном значении системе удовлетворяют пары

(3;7);(3;-7);(-4;0).

Ответ:  при  b = -2 решение системы(3;7);  (3;-7);(-4;0).

Пример4. При каких значениях параметра а система

имеет нечетное число решений? Найти число этих решений.

Решение. Первый шаг для нас уже очевиден: в силу симметричности относительно знака переменной х необходимые условия задаются равенством х= 0.   В этом случае система принимает вид

Данная система симметрична относительно знака переменной у, поэтому необходимо рассмотреть случай, когда у=0. Подставляя значение у, приходим к тому, что нечетное число решений данной системы может быть лишь при а=0. Проверяя достаточность подстановкой, убеждаемся, что при данном значении параметра а система имеет три решения.

Ответ: при а=0 существует три решения системы.

Рассмотрим систему с двумя переменными х и у, симметричную относительно переменной х. Тогда решениями системы могут быть пары вида

(х0; у0), (-х0; у0),где  (х0 0) и (0; у0). Число решений данной системы будет нечетным лишь тогда, когда число решений вида (0; у0) будет нечетным. Необходимость не дает нам информации о количестве таких решений, поэтому надо проверить достаточное условие. Рассмотрим следующий пример.

6.Может ли система

при каком-либо параметре  а  содержать нечетное число решений? Ответ объяснить.

Решение: Данная система симметрична относительно знака переменной х, поэтому для существования нечетного числа решений должно выполняться условие   х = 0. Рассмотрим систему при этом условии:

Решениями данной системы являются у=2 и у=-4 при а = 1. Это позволяет сделать следующий вывод: нечетное число решений исходной системы могло быть лишь при а = 1, но и в этом случае число решений оказалось четным, данному значению параметра отвечают пары (0; 2) и (0; —4).

 Ответ: система не может иметь нечетного числа решений ни при каких значениях параметра а.

Замечание. Данная задача могла быть решена и по-другому. Перепишем систему в виде

где z=у+1. Число решений полученной системы совпадает с числом решений исходной системы (в силу взаимно однозначного соответствия между переменными у и z). Данная система симметрична относительно знака каждой из переменных х и z, поэтому нечетное число решений может быть лишь тогда, когда пара (0; 0) является решением системы. Но таких значений параметра не существует (проверяется подстановкой), поэтому система может иметь только четное число решений.

Как видно, этот способ решения проще и красивее, что связано с удачной заменой,

При решении некоторых систем, которые нельзя отнести к симметричным, используются аналогичные методы. Отличительная особенность таких систем заключается в том, что из вида системы и существования какого-либо решения (хо; уо) вытекает существование и еще каких-либо решений.

Решить самостоятельно:

IIуровень

1.При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение

х2-2аsin (cosx)+а2=0

Ответ:а=0, а=2sin1.

2. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение

Ответ: при а=

3.Решить систему уравнений

Ответ: х0=3, у0=3,z0=3.

4)При каких значениях параметра а система неравенств имеет единственное решение?

Ответ:а=0 или а=1.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Определение: Т>0 называется периодом функции, если для любого х из области определения х+Т, х-Т также принадлежат области определения и выполняется условие f(x-T)=f(x)=f(x+T).

Пример При каких значениях параметра а система имеет единственное решение

Решение: Симметрия, которой обладает данная система т.е. (х0;у0) – является решением данной системы, то (у0;х0) – также решение системы. Пусть а –искомое значение параметра а, (х0;у0) – соответствующее этому параметру единственное решение, тогда (у0;х0) также решение системы, в силу симметрии х0=у0 т.е. решение имеет вид (х0;х0).При его подстановке в любое уравнение системы получаем верное равенство 1+sinx0=a если подставим х0+2, то тоже получим верное равенство. Это наводит на гипотезу, что исходная система не может иметь единственное решение.

Доказательство: Рассмотрим при выше изложенных теорий (х0+2; х0+2) – также решение системы, докажем это. При подстановки этой пары в каждое уравнение системы получим равенства: 1+sin(х0+2)= а  также верно в силу периодичности.

Ответ: ни при каких а данная система не может иметь единственное решение.

Задача1. Пусть f(x) – нечетная периодическая функция, период которой равен 2. Зная, что f(x)= х2-3х при 0х1, составить уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0=9,7.

Решение: Запишем уравнение касательной: у=f(x0)+f/ (x0)(x-x0),x0=9,7. Найдем  f(x0). В силу периодичности f(9,7)=f(9,7-5. 2)=f(-0,3). Т.к. функция  f(x) нечетная, получаем f(-0,3)=- f(0,3)=-(0,09-0,9)=0,81. Найдем f/ (x0). Т.к. производная периодической функции также является периодической функцией, получаем f/(9,7)= f/(-0,3). Производная нечетной функции – четная функция, следовательно, f/(-0,3)= f/(0,3). При 0х1 f/ (x)=2х-3, f/ (0,3)=-2,4. Подставляя х0=9,7, f (x0)=0,81 и

 f/ (x0)=-2,4 в уравнение касательной, получаем у=0,81-2,4(х-9,7),у=-2,4х+24,09.

Ответ: у=-2,4х+24,09.

Упражнения:

1.Пусть f(x) – четная периодическая функция, период которой равен 4. Зная, что f(x)=2х2-3х при 0х2, составить уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0=6,2.

Ответ:у=х-16.

2.При каких значениях параметра а уравнение 1+sin2ax=cosx. имеет единственное решение.

Ответ: а<

2. При каких значениях параметра а системы уравнений будут равносильны?

и

Ответ: а<

Список используемой литературы

1)Л.В.Долгинцева «Использование характерных свойств функций», лекция, 2004г, г. Тверь, ТОИУУ.

2)Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ.

Минск, издательство «Высшая школа» 1990г.

3)Газета «Математика» №16,2003г,№17,№18,2004г.

4)Журнал «Математика в школе» №8,2003г,№5,2002г, №7,2003г.

5)»Как решать задачи с параметром» Примеры вступительных экзаменов по математике.

С.Л.Попцов. Тверь, 2002г.

6)В.С.Крамор  «Примеры с параметрами и их решения» пособие для поступающих в вузы. Москва 2001г.

7)сеть Интернет WWW.edu. ru

8Журнал «Школьные технологии» №3,2003г.

9)Концепция профильного обучения.

10)Журнал «Профильная школа» агентство Роспечать.