Устные упражнения по математике
консультация по алгебре (5 класс) по теме

Оглавление.

Предисловие.

Тема 1. Число, пропорция.

Тема 2. Уравнение и системы уравнений.

Тема 3. Текстовые задачи.

Тема 4. Неравенства и системы неравенства.

Тема 5. Упрощение выражений.

Тема 6. Последовательности. Прогрессии.

Тема 7. Функция, производная, интеграл.

Тема 8. Планиметрия.

Тема 9. Стереометрия.

Тема 10. Метод координат и векторы на плоскости и в пространстве.

Предисловие.

          Одним из средств, способствующих лучшему усвоению математики, являются устные упражнения. С их помощью учащиеся отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.

          Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявить ошибки учащихся.

        Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включится в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванных письменной или практической работой. В ходе выполнения этих упражнений учащиеся чаще, чем на других этапах урока, получают возможность устно отвечать, причем они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличии от письменных упражнений содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Они составлены с таким расчетом, что отражают важные элементы курса математики.

             Назначение данного сборника – предоставить в распоряже-ние учителя разнообразный материал в виде несложных упражнений (с ответами в квадратных скобках) для дифферен-цированного повторения путем разумного сочетания фронтальной, групповой и индивидуальной работы с учащимися при подготовке к экзаменам по математике.

Тема 1. Число, пропорция.

1. Вычислить: 3 1/2  – 1 1/4 – 1 1/4.       [1]
2. Решить пропорцию:  12 : х = 45 : 15.       [4]
3. Вычислить х, если 20% от х составляет 12.     [60]              
4. Вычислить среднее арифметическое двух чисел  

                 29 3/4 и 30,25.       [30]

5. Вычислить 6% от 150 тенге.    [9 тенге]
6. Сколько % составляет 5кг от 40кг?       [12,5%]                            
7. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби 5/9.

                             [0,555…]                                                                             8. Вычислить наибольшее значение дроби5/(1+5x2).      [5]                     

9. Найти НОД чисел 18; 48 и 36.         [6]
10. Найти НОК чисел 9; 18 и 24.   [72]
11. Запишите формулой число, которое при делении на 7 дает частное а и остаток 5.

                   [7а + 5]

12. Представить дробь 3/20 в виде десятичной дроби.   [0,15]                                               
13. Найти число, обратное   3 1/3.   [0,3]
14. Составить пропорцию из чисел 3; 5; 9; 15.

                       [15:5 = 9:3]

15. Запишите формулу двузначного числа. .

                                              [10а + в]

16. Вычислить среднее геометрическое чисел 3 и 12.    [6]
17. Какое наибольшее число можно записать с помощью трех двоек?   [222]     

                             35 * 120 + 120 

18. Вычислить 11 * 120 + 120.  [3]
19. Записать формулу трехзначного числа.

                  [100а + 10в + с]

20. Разделить число 60 пропорционально числам 3 : 4 : 5.

              [15; 20; 25]

21. Вычислить 15% от  60°.    [90]
22. Вычислить 73+34+27+66-100.        [100]

Тема 10. Метод координат и векторы на плоскости и  в пространстве.

1. Координаты точек на плоскости А(-2;4) и В(4;2). Вычислить координаты середины отрезка АВ.  [(1;3)]
2. На каком расстоянии друг от друга находятся точки    

      А (3;1) и В(5;1)?    [2 единицы]

3. Известно, что |ā|=4 см, |b|=2 см, а угол между ними 600. Вычислить скалярное произведение векторов. [4]         
4. Перпендикулярны ли векторы ā {3;2;1} и b {2;-3;0}? [Да]
5. Коллинеарны ли векторы ā {8;2;-4} и b {4;1;2}? [Нет]
6. Параллельны ли прямые 3х-у=3 и 6х-2у=3?  [Да]
7. На каком расстоянии находится точка М(5;-12) от начала координат?   [13 единиц]
8. Координаты точек А (-2;-1) и В(7;1). Укажите координаты вектора ĀB.   [{9;2}]
9. Написать уравнение окружности радиуса 6 см и с центром в точке (-2;1).  [(х+2)2+(у-1)2=36]

            10. Дано: А(2;0;2), В (0;2;2), С(2;2;0). Найти: АВ*ОС.[0]

            11. Даны точки А(1;7;4), С(1;2;0), Д(0;5;1). Какие из   этих              

     точек лежат: а) в пл-и ху; б) в пл-и yz; [1) С;  2) Д]     

            12. Найти координаты вектора ā{2t;-t;t}, если его длина √54.

                    [{6;-3;3} или {-6;3;-3}]

            13. Найти сумму векторов ā{4;2;-4} и в{6;-4;10}. [{10;-2;6}]

            14. Найти разность векторов а-в, если а{8;-1;5} и в{-2;3;-2}

                          [{10;-4;7}]

15. Найти скалярное произведение векторов: p{-2;-3;1} и q{2;3;1}.  [-12]   

16.  Угол между векторами АВ и СД равен 600. Найдите угол между векторами ВА и СД. [1200]   

17. Чему равен косинус угла между векторами а {-4; 2; 5} и в {4; 0; -2}   [-13/15]   

18.  Найти сумму векторов. АД + Д1 С1+ ВВ1 в параллелепипеде АВСД А1 В1 С1 Д1. [АС1]   

19. Определите координаты вектора а, если а = 5i + 3j - k

     [{5; 3; -1}]   

16. Прямоугольник со сторонами 5 и 4см вращается вокруг большей стороны. Вычислите объем тела вращения. [80πсм2]                    

17. Высота равностороннего цилиндра равна 10см. Вычислите его объем. [250πсм2]

18. Поверхности двух шаров относятся как 4:9. Как относятся их диаметры?   [2:3]

19. Радиус шара равен 5см. Вычислите поверхность шара.  [100πсм2]

20. Радиус конуса равен 4см, а его образующая 6см. Вычислите боковую поверхность конуса.  [24πсм2]

21. Вычислите боковую поверхность усеченного конуса, если радиусы его равны 2 и 4см, а образующая 5см.  [30πсм2]                     

22. Диаметр цилиндра равен 6см, а высота 10см. Вычислите его боковую поверхность.    [60πсм2]

23. Площадь сечения шара равна 9π  см2. Сечение удалено от центра на расстоянии 4см. Вычислите радиус шара. [5см]

24. Определите форму тела, если его проекциями в горизонтальной и вертикальной плоскости являются круги. [шар]

25.  Образующая конуса равна 12см и наклонена к основанию под углом 300. Найти высоту конуса.    [6см]

26. Радиус шара равен 6см. Через конец радиуса под углом 600 проведено сечение шара плоскостью. Вычислить площадь сечения [9π см2]

27. Можно ли вписать цилиндр  в прямую четырех-угольную призму, если площади ее боковых граней относятся как 3:5:9:7? [да]

28. Радиус шара 12см. На касательной плоскости лежит точка К, которая удалена от точки касания на 5см. На каком расстоянии находится точка К от поверхности шара? [1см] 

         23. Вычислить х в пропорции 12:18=2:х.       [3]

24.25% от х равно 12,5м. Вычислить х.      [50м]

25. Какой цифрой оканчивается произведение 11*12*13*…*19? [нулем]

26. Найти НОК натуральных четных однозначных чисел.

                            [24]

27. В классе присутствует 22 ученика из 25. Вычислить % отсутствующих.       [12%]

28. Какое число надо умножить на 2/5, чтобы получить 1? [2,5]

29. Делится ли произведение 32*27*65 на 15?       [да]

30. Округлить до сотых число 5,19507.       [5,20]

31. Записать формулу нечетного числа.          [2n - 1]

32.  Во сколько раз 2/3 больше, чем 4/7?     [в 11/6 раза]

33.  Найти сумму чисел (-5) и ему обратного.      [-5,2]

34. 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники. Тогда 36   человек за сколько дней выполнят ту же работу?

                              [4 дня]

35. Вычислить -8-2/3.      [-1/4]

36. Найти обыкновенную несократимую дробь, соответствую-щую 50%.    [1/2]

37. Разделить число 30 прямо пропорционально числам 1, 2 и 7.  Найти большее число.       [21]

38. Записать число 60315 в виде суммы разрядных слагаемых.    [60.000 + 300 + 10 + 5]

39. Сколько % развернутого угла составляет 1/5 часть прямого угла?           [10%]

40. На начало года в школе было 650 учащихся. За год число учащихся выросло на 4%. Сколько учащихся стало в школе?    [676]

41. Делится ли число 7352 на 3?   [нет]

42. Вычислите численный масштаб карты, если 1см на карте соответствует 25м на местности.  [1:2500]                               

43. Запишите число, обратное 0,01.    [100]

44. Какая дробь больше 0,6 или 3/5?    [равны]

45. Найти число, если 5/6 его равны 30.    [36]

           Тема 2. Уравнение и система уравнений.

2.1 Линейные уравнения и их системы.

1. Вычислить х из уравнения 3х – 5 = 7. [4]
2. Решить уравнения (√х – 1) * (√х + 1) = 2. [3]
3. Решить систему уравнений:    2х + у = 7

                                                           2х – у = 1. [(2;3)]

4. Решить систему уравнений: 3х + у = 36

                                                           у – 3х = 0.    [(6;18)]

5. Решить уравнение: 5 * (х - 1)*(х + 3) = 0.      [1;-3]

6. Решить систему уравнений:    2х – у = 0

                                                            3х + 2у = 7.     [(1;2)]

7. Решить систему уравнений:    х + у

                                                              2    = 10

                                                            х – у

                                                                    2    = 2.      [(12;8)]

8. Решить уравнение: 2х = (√5х - √3)*(√5х + √3).  [1]
9. Решить систему уравнений:   х – у = 12,

                                                         2х – 2у = 25       [ø]

10. Решить уравнение: (√х - 5)*(√х + 5) = 0.    [25]
11. Решить систему уравнений: Ix-3I = 4,

                                                         х+2у = 5.    [(7; -1), (-1; 3)]

  12. Решить систему уравнений:  х+у = 8,

                                                          х-у = 4.        [(6; 2)]

  13. Решить уравнение (1/6)х+60 = 120.       [360]

  14. Решить уравнение (7х+9)/2,5 = (5х-2)/6.       [-2]

  15. Решить систему уравнений    х+2у = 5,

                                                         -х+7у = 13.     [(1; 2)]

  16.  Решить уравнение 4(18+3х)=0.     [-6]

  17.  Решить уравнение 2(х+1)(х-5)=0.    [х=-1; 5]

  18.  Решить уравнение  3(7-х)=0.    [7]

  19.  Решить систему уравнений  х+5у=19

                                                         2х+3у=17      [4;3]

  20. Решить уравнение (2х-1)(2х+6)=0.  [0,5; -3]                               

     9.2. Круглые тела.

            1. Образующая конуса равна 7 см, а его высота 6 см. Найти      объем конуса. [26πсм3]

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Вычислить боковую поверхность цилиндра. [πS]

3. Радиус шара равен 1 м. Вычислить объем шара. [4/3πм3]

4. Радиус шара равен 5 см. На расстоянии 3 см от центра проведено сечение шара. Вычислить площадь сечения. [16πсм2]

5. На окраску шара диаметром 2 дм требуется 20 г краски. Сколько краски потребуется для окраски шара диаметром    6 дм? [180г]

6. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения прямой. Вычислить объем конуса. [9πсм3]

7. Боковая поверхность равностороннего цилиндра равна 20 см2. Вычислить площадь его основания. [5см2]

8. В осевом сечении конуса – равносторонний треугольник со стороной, равной а. Вычислить боковую поверхность конуса.  [0,5πа2]

9. Объем шара равен 36π см3. Вычислить его поверхность.  [36πсм2]

10. Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше площади осевого сечения?   [в π раз]

11. Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как изменится объем цилиндра? [Увеличиться в 2 раза]

12. Высота конуса равна 3дм, а его образующая 5дм. Вычислите объем конуса. [16πдм3]                    

13. Образующая конуса равна 10см, а диметр основания 12см. Вычислить площадь осевого сечения конуса. [48см2]
14. Высота цилиндра равна 10см, а радиус его 5см. Плоскость пересекает цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4см. Вычислить площадь сечения.  [60см2]
15. Сколько осей симметрии у цилиндра?

            [Бесконечное множество]

12. Диагональ основания прямоугольного параллелепи-педа равна 20см. На каком расстоянии находится точка пересечения диагоналей параллелепипеда от боковых ребер? [10см]
13. Высота усеченной пирамиды равна 6см, а сходственные стороны основания относятся как 1:3. Вычислите высоту полной пирамиды. [9см]
14. В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины равны 3, 6 и 9см. Вычислите сумму длин всех ребер. [72см]
15. Площадь основания наклонного параллелепипеда равна 12см. Его боковое ребро равно 10см и наклонено к основанию под углом 45°. Вычислите объем параллелепипеда.   [60√2см2]
16. Сторона основания правильной четырех угольной пирамиды равна 5см, а ее высота 6см. Вычислить объем пирамиды. [50см2]
17. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4см, а ее боковое ребро 5см. Вычислите объем пирамиды. [24см2]
18. У пирамиды и призмы высоты и основания равны. Объем, какой из этих фигур больше и во сколько раз?  [Призмы в 3]
19. Вычислите боковую поверхность правильной треугольной призмы, если каждое ее ребро равно 5см. [75см2]
20. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы равна 20см2. Вычислите боковую поверхность призмы. [60см2]
21. Как изменится объем прямоугольного параллелепи-педа если его измерения уменьшить в 3 раза? [уменьшится в 27 раз]
22.  В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12м2. Вычислите объем призмы. [2√3м3]

         2.2. Квадратные уравнения.    

1. Решить уравнение: 4х2+4х+1=0. [х ½ = - 1/2]
2. В уравнении х2+8х+с=0 значение одного корня в 3 раза больше другого. Вычислить значение с. [12]
3. Чему равно с в уравнении х2-х-с=0, если х1=3? [6]
4. Составьте квадратное уравнение, если х1=√2, х2=√6.

      [х2 – (√6 + √2)х + 2√3 = 0]

5. Решить уравнение: 36х2-1=0. [х = + 1/6 ]
6. Чему равно k в уравнении х2+ kх-3=0, если один его корень равен -1? [-2]
7. Какие знаки имеют корни уравнения 3х2-7х+4=0?

    [оба положительны]

8. Решить уравнение: х2- 3х=0. [0; 3]
9. Дано уравнение х2-12х+36=0. Составьте другое квадратное уравнение с корнями в три раза меньше.

             [х2 – 4х + 4 = 0]

10. Решить систему уравнений:   х-у = 0

                                                         ху = 4. [(2; 2), (-2; -2)]

11. Не вычисляя корней х1 и х2 уравнения 2х2+5х-3=0.

         Найдите х12+х22. [9,25]

12. При каком значении с уравнение  2х2-4х+с=0 имеет два    действительных корня?       [с < 2]

13. Найти значение а, при котором уравнение. 4х2+2х-а=0   имеет      единственный корень.         [при а = - 0,25]

14. Составить квадратное уравнение, корни которого равны  5+√3    и 5-√3.               [х2 – 10х + 22 = 0]

15. Решить систему уравнений     х+у=-2,

                                                          х2+у2=100 [(-8; 6), (6; -8)]

          2.3. Иррациональные, биквадратные, уравнения с модулем и  т.д.

1. Решить уравнение: 3√х-3=0. [27]
2. Найти корни уравнения: х4-5х2+4=0. [ +1; +2]
3. Вычислить корень уравнения: 2√х=10. [25]
4. Решить уравнение: (х-3) (х+3) (х-1)=0. [1; +3]
5. Решить уравнение:   __2__= __1___

                                            х+1        х-1.    [3]

6. Решить уравнение: 1-3х+3х2-х3=0. [х = 1]
7. Решить уравнение: √х2-5=2. [ +3]
8. Найти корни уравнения: |х-3| = 4. [-1; 7]
9. Решить уравнение: √5х+1 = 0.  [ø]
10. Решить уравнение: х3 + 6х2 + 12х + 8 = 0. [х = -2]
11. Решить уравнение (х2-9)√2-х = 0. [-3]
12. Решить систему уравнений  х – у = 16,

                                                       √х - √у = 2. [(25; 9)]

              13. Решить уравнение √х-2 = √3х-6. [2]

              14. Решить уравнение √х+5 +√20 = √45. [0]

  15. Решить уравнение I5-хI = 2(2х-5). [3]

2.4. Тригонометрические уравнения и их системы.

1. Решить уравнение: tg2x-1=0. [π/8+π/2к,кєZ]
2. Вычислить корни уравнения: sinх=1.

                            [π/2+2πk,kєZ]

3. Решить систему уравнений:

       сos x – cos y =__1-√2   если х и у находятся в интервале                              [                            2                                          [0;π/2]

      cos x+cos y =__1+√2.       [x=π/3; y=π/4]

                                   2

4. Сколько корней имеет уравнение sinх=1/2? [∞]
5. Решить уравнение: sin 2 х=0. [πk, kєZ]
6. Найти корни уравнения: cosx+1=0.

                         [x=π+2πn,nєZ]

7. Вычислить корни уравнения: 2sinх-1=0.

                            [(-1)kπ/6+πk,kєZ]

8. Решить уравнение: 5tgx+5=0.

                             [x=-π/4+πk,kєZ]

9. Какое значение может принимать а в равенстве

                   sinх=√ a?.   [0≤a≤1]

Тема 9. Стереометрия.

9.1. Многогранники.

1. Площадь основания пирамиды равна 100 см2. Вычислить площадь сечения пирамиды проведенной через середину высоты. [25см2]

2. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани   равна 5 см, а боковое ребро 3 см. Вычислить поверхность призмы. [36+8√3]

3. Куб с ребром 15 см разделили на кубики с ребром 3 см. Сколько кубиков получилось? [125]

4. В прямом параллелепипеде высота равна 10 см. В основании лежит параллелограмм, стороны которого равны 4 и 3 см, а угол между ними 300. Вычислить объем параллелепипеда. [60см3]

5. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 2, 3 и 4 см, а боковая поверхность 36 см2. Вычислить боковое ребро. [4см]

6. Объем куба равен 64 см3. Вычислить его поверхность.     [96см2] 

7. Сечение насыпи имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями 14 и 10 м, а высотой 2 м. Сколько кубов земли надо завести, чтобы возвести насыпь длиной 10 м? [240м3]

8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а ее боковое ребро 5 см. Вычислить объем пирамиды. [24см3]

9. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 2, 3 и 4 см, и взаимно перпендикулярны. Вычислить ее объем. [4см3]

10. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 600. В основании пирамиды – квадрат со стороной а. Вычислить боковую поверхность пирамиды. [2а2]

      11.  В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины равны 2, 3 и 5см. Вычислите сумму длин всех ребер.  [40см]

10. Площадь прямоугольника равна 180см2, а его длина 15см. Вычислите ширину прямоугольника. [12см]                                   

11. Вычислите вписанный угол, если он опирается на треть окружности. [600]

12. Площадь трапеции равна 30см2, ее средняя линия равна 6см. Вычислите высоту трапеции. [5см]

13. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону пополам, а его периметр равен 60см. Вычислите стороны прямоугольника. [10см и 20см]                                       

14. Вычислить сумму внутренних углов выпуклого семиугольника. [9000]

15. Радиус окружности 3дм. Вычислите длину окружности [6πдм]

16. Диагонали ромба 16 и 12см. Вычислите сторону ромба. [10см]

17. Стороны параллелограмма относятся как 2:3. Сколько процентов составляет большая сторона от периметра? [30]                                 

18. Из точки А, лежащей на окружности проведены диаметр АВ длиной 13см и хорда АС длиной 12см. Вычислите длину хорды ВС. [5см]

19. Около квадрата описана окружность радиуса 3√2см. Вычислите площадь квадрата. [36см2]

20. Площадь прямоугольника равна 120см2, а ширина 8см. Вычислите длину прямоугольника. [15см]

21. Площадь круга равна 100πсм2. Вычислите его диаметр. [20см]

22. Диагонали ромба равны 6 и 10см. Вычислите площадь ромба. [30см2]

23. Две равнобедренные трапеции  имеют соответственно равные углы. Будут ли эти трапеции подобными?

[не всегда]

      24. Радиусы двух окружностей равны 8 и 3 см, а длина общей внешней касательной равна 12 см. вычислить расстояние между центрами окружностей. [13см]

10. Решить уравнение: сtgx -1=0.

          [x=π/4+πk,kєZ]

11. Решить уравнение Cos x = 0.

         [x=π/2+πk,kєZ]

12. Найти корни уравнения √2Sinx= 1.

         [(-1)kπ/4+πk,kєZ]

13. Вычислить корни уравнения 2tgx=3.

         [arctg1,5+πn,nєZ]

14. Решить уравнение Cos3x = 0,5. 

         x=±π/9+2πn/3,nєZ]

15. Решить уравнение  

                      tg2x+tg3x     = 1.    [x=π/20+πk/5, kєZ]

                       1-tg2xtg3x              

2.5. Показательные и логарифмические уравнения.

1. Решить показательные уравнения:

            а)2х = 1/32;  [-5]   б) 9х = 27; [1,5]  

             в)5 -2х-3 = 1; [-1,5]    

                г) 3x-2 = 1; [2]        д) 10х = √1000  [1,5]  

2. Решить логарифмические уравнения:

             а) logх36 = 2; [x=6]   б) logх2√2=1,5;  [х=2]    

             в) lgх = lg20+ lg2-1;  [4]    

             г) log2х =3;  [8]         д) хlog2х=2. [2;1/2]    

     3. Найти корни показательного уравнения:

          а)3х-1 = 27. [4]     б) ах-2 = а2х. (a>0,a≠1) [-2]  

          в) 2х = 23√4. [12/3]    

          г) 3х+2 + 3х = 90  [2]    . д) 2х-2 = -2.   [нет решений]

4. Найти корни логарифмического уравнения:

            а) 2х = 3  [x=log23]           b) lgx = 2lg5. [25]  

            c) logπx = logπtg36°+ logπctg36°.      [x=1]  

            d) lgx = lg(2sin15°) + lgcos15°.      [1/2]  

             e) lgSinx = 1. .[нет решений]

5. Решить уравнение а)3х = 1/81 [-4]      б)  52х = 125   [х=1,5]

                                     в)   (1/2)х = 32   [-5]

Тема 3. Текстовые задачи.

1. Комбайн убрал в первый день 5/12 поля, а на другой день – 21 га. Какова площадь поля?  [36га]
2. Из двух пунктов одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идет со скоростью 6 км/ч., а второй 4 км/ч. Через, сколько часов первый догонит второго, если расстояние между пунктами 12 км? [6ч]
3.  Произведение двух чисел равно 72, причем первое число в 2 раза больше второго. Вычислить эти числа. [12 и 6]

4. Если задуманное число увеличить втрое, а к произведению прибавить 12, то получится 60. Найти задуманное число. [16]

5. Ручка и блокнот стоят вместе 80 тенге. Ручка дешевле блокнота на 10 тг. Вычислить стоимость ручки и блокнота. [35тг и 45тг]

6. Цену на товар увеличили на 20% и она стала стоить 1800 тенге. Какова была цена товара? [1500тг]

7. Одна труба заполняет бассейн за 4 часа, а другая за 2 часа. Какую часть бассейна две трубы заполнят за час вместе? [3/4]

8. Трое учеников заработали 15000 тенге. Первый заработал 40% от всей суммы, а второй 2/3 первого, а остальное заработал третий. Сколько тенге заработал третий ученик? [5000тг]

9. Отцу и сыну 60 лет. Сын в три раза моложе отца. На сколько лет сын моложе отца? [на 30]

10. Расстояние между пунктами 70 км. Лодка по течению плыла 5 ч, а обратно 7 ч. Какова скорость течения реки? [2км/ч]

11. Чтобы покрасить пол площадью 16м2 необходимо 3,2кг краски. Сколько кг. краски необходимо, чтобы покрасить пол площадью 12м2. [2,4кг]

12. Скорость автомашины составляет 90км/ч, что в 3 раза больше скорости велосипедиста. Определить скорость велосипедиста.           [30км/ч]

21. Можно ли из проволоки длиной 14см изготовить треугольник, чтобы одна из сторон была 7см? [нет]

22. Катеты треугольника равны 9 и 12см. Вычислите синус меньшего угла. [0,6]

 23. Для каких углов в прямоугольном треугольнике Sin A ≥ 1/2 ? [А ≤ 300]

 24. Периметр равнобедренного треугольника 20см, а одна его сторона равна 8см. Вычислите остальные стороны треугольника. [4 и 8см или по 6см]

 25. Стороны треугольника относятся как 5:4:3, а периметр подобного ему треугольника равен 60см. Вычислите стороны подобного треугольника. [25, 20 и 15см]

  8.2. Четырехугольник, многоугольник и окружность.

1. Угол ромба равен 300, а высота 10 см. вычислить площадь ромба. [200см2]
2. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна 10 см, а основания 4 и 10 см. Вычислить меньшую боковую сторону. [8см]
3. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма углов равна 5400? [5]
4. Из точки окружности проведены диаметр и хорда, равная половине диаметра. Вычислить угол, образованный диаметром и хордой. [600]
5. Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, а угол между ними 1500. Вычислить площадь параллелограмма. [40см2]
6. Можно ли окружность вписать в четырехугольник, стороны которого относятся 1:3:5:7? [нет]
7. Площадь круга равна 36π см2. Вычислить радиус круга. [6см]
8. Основания трапеции равны 6 и 14 см, а высота 10 см. Вычислить площадь трапеции. [100см2]
9. Вычислить расстояние между центрами окружностей, имеющих внутреннее касание, если их радиусы равны 7 и 4 см. [3см]

7. Площадь равностороннего треугольника равна 25 √3 дм2. Вычислить его сторону. [10дм]

8. Площадь треугольника равна 36 дм2. Вычислить площадь подобного ему треугольника, стороны которого вдвое меньше, чем у заданного. [9дм2]

9. В треугольнике  sin А=√3/2. Вычислить угол А.

[600 или 1200]

10. В равнобедренном треугольнике периметр равен 65 см, а основание на 5 см больше боковой стороны. Вычислить стороны треугольника. [20; 20 и 25см]

11. Основание треугольника равно 6см, высота 4см. Вычислите площадь треугольника. [12см2]

12. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Как относится меньший катет к гипотенузе? [1:2]

13.  Периметр большого треугольника  равен 36см. Вычислить периметр подобного меньшего треугольника, если коэффициент подобия равен 3. [12см]

14. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4см. Вычислить радиус описанной окружности. [2,5см]

15. Угол при основании в равнобедренном треугольнике равен 72°. Вычислить его угол при вершине. [360]

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 100см, боковая сторона его в два раза больше основания. Чему равны стороны треугольника? [20, 40 и 40см]                

17. Можно ли построить треугольник со сторонами 9, 5 и 4см.      [нет]

18. На какой угол нужно повернуть правильный треугольник  вокруг его центра, чтобы он совместился сам с собой? [1200]                                 

         19. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если  сторона его равна 4дм. [4√3дм2]

20. Один из внутренних углов треугольника равен 60°, а один из его внешних углов равен 100°. Найдите два других угла треугольника. [800; 400]

13. Составьте выражение по условию задачи. Тетрадь стоит х тенге, а альбом у тенге. Сколько стоят четыре тетради и два альбома? [4х+2у]

14. Если в сплаве массы золота и серебра находятся в отношении 5:3,   то, сколько золота в 32г сплава? [20г]

15. Для посева на 8га фермер  израсходовал 560 кг гороха. Сколько кг гороха потребуется, чтобы засеять 11га? [770кг]

16. Длина прямоугольника равна в дм, ширина составляет 0,2 его длины. Найдите периметр прямоугольника. Составьте выражение по условию задачи. [2,4в]

17. По плану следует изготовить 60 деталей, а изготовлено 75.  Вычислите процент выполнения плана. [125%]

18. Колесный трактор вспахивает поле за 6 часов, а гусеничный – за 3 часа. За сколько часов они вспашут поле, работая вместе? [за 2ч]

19. В клубе занималось 104 спортсмена. Когда приняли 16 человек, то мужчин оказалось в три раза больше, чем женщин. Сколько женщин стало в клубе? [30]

20. Мальчик живет на 9-м этаже, а девочка – на 3-м. Во сколько раз   больше мальчик пройдет ступенек на лестнице? [в 4]

21. Сумма двух чисел равна 40, а их разность 4. Найдите эти числа.

       [22 и 18]

22. План 120 станков, а изготовили 150. Вычислите процент  выполнения плана.  [125]

23.  В клетке находятся кролики и цыплята. У них 20 голов и 56 ног. Сколько в клетке кроликов и цыплят?  [8 и 12]

24. 6% от зарплаты составляет 1800 тенге. Вычислите зарплату.

      [30000]

25. Со старта одновременно ушли 2 ученика. Первый бежал со скоростью 5м/с, второй 3м/с. Через сколько секунд первый ученик обгонит второго на 30м?     [15с]

26. Сумма двух чисел равна 35, а частное отделения большего числа на меньшее равно 4. Найдите эти числа. [7 и 28]

27.  Костюм стоит К тенге. Сначала его цену уменьшили на 10%, а затем повысили на 10%. Как изменилась его цена?

        [на 0,99 К тенге]

28. Пшеницы собрали 120ц, а ржи 200ц. Сколько % составил урожай пшеницы от урожая ржи? [60%]

29. Цену тетради снизили на 10% т.е. на 7 тг. Вычислить новую цену тетради. [63 тенге]

30. Автомашина прошла S км за t часов. Вычислите среднюю скорость. [S/t км/ч]

Тема 4.   Неравенства и системы неравенств.

4.1 Линейные и квадратные неравенства.

1.  Решить линейное неравенство:

            а) 4(х-3)<20;  [х<8 ]          б) 1-4x ≤0; [х≥0,25 ]   

            в) 3(x-2) >24; [х>10]   

            г) -1≤-2x ≤10; [-5≤х≤0,5]    д) 1-3x  ≤7. [х≥-2]   

2. Решить квадратное неравенство:

            а) х2-4х+3≤0; [1≤х≤3]       б) –х2+2х+3≥0; [-1≤х≤3]       

               в)  х2-2х+1≥0;    [любое действительное число]             

               г) х2-3х≥0;   [х≤0 и х≥3]       д) 4-х2≥0. [-2≤х≤2]       

4.2  Дробнорациональные и иррациональные неравенства.

          1. Решить дробнорациональное неравенство:    

              а) _х2+2х_  >0;  [х>0]        б) 15    >5    [2<х<5]       

                      х+2                                  х-2    

          в)   10_ ≤5;     [х≤2 и х≥4]    г) 12_ >6;  [2<х<4]   

                  х-2                                        х-2;

            д)18  ≥6.           [3≤х≤6]

              х-3    

          2. Решить иррациональное неравенство:

     а) √3х-9 ≤ 3; [3≤х≤6]  б) √2х+6 ≤ 6; [-3≤х≤15]   

     в) √3х+3 ≥ 6; [х≥11]   

     г) √3х-3 ≤ 6; [1≤х≤13]   д) √2х-4 ≥ 4. [х≥10]

4. Вычислить интегралы:

   а) ∫01 х dх.        [1/2]                        б) ∫13 dх    [2]

   в) ∫π/4π/2 –(1/sin2x)dx.   [-1]           

5. Записать в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) у=х2+1, х=-1, х=2 и у=0.   [∫-12(x2+1) dx]

б) у= cos х, х =-π/2 и осью абсцисс.    [∫-π/2π/2Cosx dx]

6. Производная некоторой функции F(x) равна f(x) = 2x, найдите функцию F(x).[F(x) = x2]

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

 у = х, у = 0 и х=3.  [4,5]

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 2х,  х=а и х=в, где а>0, в>0.  [в2-а2]

9. Материальная точка движется со скоростью v(t) = sint + cost.  Найдите уравнение движения точки, если при t=π/4 пройденный путь равен 3м. [s(t)= -cost+sint+3]

10. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v(t) = t2-8t+2. Найдите закон движения точки.

           [s(t) = t3/3-4t2+2t+C]

Тема 8. Планиметрия.

8.1. Треугольник.

 1. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а  боковые стороны по 13 см. Вычислить площадь треугольника. [60см2]

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 40 дм.  Вычислить гипотенузу. [50дм]

3. В равностороннем треугольнике радиус описанного круга равен 2√3см. Чему равна сторона треугольника? [6см]

   4. Сторона АВ треугольника АВС равна 12 см, а сторона АС  равна 15 см. в каком отношении биссектриса угла А делит третью сторону ВС? [4:5]

   5. Стороны треугольника равны 2; 3 и 4 дм. Определить вид треугольника в зависимости от углов. [тупоугольный]

   6. Вычислить углы треугольника, если они относятся как   1:2:3. [300, 600, 900]

7. Найдите угловой коэффициент к графику функции в точке с абсциссой х0: у=х2, х0=1.   [2]

8. Исследуйте функцию f (x)=x2+2x-3 на экстремум.

      [х = -1-точка минимума]

9. Найти промежутки возрастания (убывания) функции    у=3-2х.  [убывает на (-∞; +∞)]

10. Движение точки происходит по закону S (t)  = t2-4t+2. В     какой момент времени скоростью движения равна 0? [t=2c]             

11. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) = 2x3-5x в точке М(2;6).  [tgα=19]

12. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t3+t2-4. Найти ускорение в момент времени t=2.   [26]

13. Найдите промежутки возрастания функции f(x) = x+5.

            [-∞; +∞]

14. Определите количество критических точек  функции

      у = х2/(1-х2).   [3]

15. Найдите точки минимума функции f(x) = x2-6x+9.  [xmin=3]

3. Первообразная, интеграл.

1. Производная некоторой функции F(х) равна f (х)=2х, найдите функцию F(х).    [F(x)=x2]
2. Найдите общий вид первообразных для функций. Предполагается, что первообразная находится на промежутке, входящем в область определения функции

     а) у=2.        [2x+C]           б) у=3х2+2х.      [x3+x2+C]

     в) у=(х-2)4.    [1/5(x-2)5+C]       

     г) у=-2 cos (х/4).  [-8Sin(x/4)+C]

3. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по  закону V (t)  = 3t2-2t. Найти закон движения точки.

      [S(t)=t3-t2+C]

4.3 Неравенства с модулем; тригонометрические неравенства.

1.  Найти решение неравенства:

    а)  |х|≥1; [х≤-1 и х≥1]   

    б) |х-1|<2; [-1<х<3]       

     в) |х|<3; [-3<х<3]

           г) |х+2| ≥3; [х≤-5 и х≥1]     

           д) |х|≥0. [любое действительное число]

2.  Решить тригонометрическое неравенство:

          а) 3 sinx < 0;       [π+2πк<х<2π+2πк,кєZ]

          б) 2cosx ≥ 0;         [-π/2+2πк≤х≤π/2+2πк,кєZ]

          в) cosx ≤ -0.5;      [2π/3+2πк≤х≤4π/3+2πк,кєZ]

          г) tgx  ≤ 1;         [-π/2+πк<х≤π/4+πк,кєZ] 

          д) sin2x ≥1.        [π/2+πк,кєZ]

      3.  Решить неравенство:  а) |2х-5|<3,     [1<х<4]

                                                 б) |х|<10,     [-10<х<10]

                                                  в) |х+6|<2,5,     [-8,5<х<-3,5]

   4.4  Показательные и логарифмические неравенства.

1.  Решить показательные неравенства:

          а) 4х≤1; [х≤0]   б) (1/2)2х>1; [х<0 ] 

          в) (1/2)х<1/8; [х>3]                               

          г) 3х+1>27;  [х>2]           д) 0,2х≥0,04. [х≤2]   

      2. Решить логарифмическое неравенство:

          а) log2 x ≥ 5; [х≥32]     б) log1/3 x ≥ 2; [0<х≤9] 

          в) log0,5 x < log0,5 1; [х>1]

          г) log2 x ≥ log2 π; [х≥π]   д) lg (х-3) ≤ 1[3<х≤13].

Тема 5. Упрощение выражений.

        5.1 Формулы сокращенного умножения.

               1. Упростить выражение (2а +в)(2а - в)(4а2 + в2)

                   [16a4-b4]

               2. Вычислить 29*31, используя формулу разности  квадратов. [899]

               3. Дополнить выражение 4х2 – 12х + ? до квадрата разности. [9]                         

               4. Сократить дробь а2 -2ав + в2     [(а-в)/(а+в)]

                                                    а2 – в2 

               5. Разложить на множители х2 – 5х +6.

                       [(х-2)(х-3)]

               6. Упростить выражение √а + √в - √а - √в   [4√ав/(а-в)]

                                                          √а - √в    √а + √в

               7. Сократить дробь __а3 – в3__        [а-в]

                                                а2 + ав + в2 

               8. Сократить дробь __а2 – 2а +1_     [1-а]

                                                         1 – а  

               9. Разложить на множители а3 – а  [а (а-1)(а+1)]                      

               10. Освободить знаменатель дроби  а√а - в√в    

                                                                          а +  √ав + в

                     от иррациональности.  [√а-√в]

5.2 Определение и свойства корня и степени с рациональным     показателем.

        1. Вычислить 9-1/2      [1/3]

        2. Заменить корень степенью с дробным показателем 4√а6

            [а1,5]

        3. Упростить корень √(1 - √3)2   [√3-1]

        4. Вычислить (2 + 2 * (5 )0)-1

                                              12             [1/4]

        5. Упростить √54 + √24.        [5√6]

        6. Извлечь корень √1 – 2tg х + tg2 х .    

                            [I1-tgxI]

        7. Упростить 5 √3а2

                                    25в4.           [IaI√3/в2]

        8. Вычислить 80 : 23 + 32 * 3 -1.   [13]

        9. Представьте 16/27 в виде целого выражения, вводя    отрицательный показатель. [24*3-3]

13. Какие значения принимает функция у = х2-2х+1?

                  [0≤y<∞]

14. Найти область определения функции у = __1___.

                                                                              Sin х  

          [x≠πk, kєZ]

15. Укажите координаты точки пересечения графика функции    

у = 5х+5 с осью абсцисс.   [(-1;0)]

16. Как называется график функции у = 6/(х-1)?

            [гипербола]

17. Найдите область определения функции у = 5х2-х+3.    [xєR]

18. Определить знак функции  Cos( π/2+1).  [минус]

19. При каких значениях х функция у = х2-х-2 убывает? [х<0,5]

20. Определить обратную функцию к функции у = х+1.  [у=х-1]

7.2  Производная и ее применение.

1. Вычислить производную функции.

         1) у=3х2-4х+1.      [6х-4]

      2) у= 2 Sin х  cos x.   [2Cos2x]

      3) у= √tg x ctg x.      [0]

      4) y= 1/x2.       [-2x-3]

      5) y= (x+1) (x-1).      [2x]

      6) y=5x.     [5xln5]

      7) y= lg x.      [1/(xln10)]

      8) y= ctg 2x.     [-2/Sin22x]

      9) y= 33x+1.         [33x+2ln3]

     10) y= log 2 x2.    [2/(xln2)]

2. Тело движется по закону S=t2+t-3 (м). Какова будет его  скорость через 2 с?   [5м/c]
3. Вычислить критическую точку функции у = 3х2-12х+5. [2]     
4. Под каким углом прямая у = √3х-3 пересекает ось абсцисс?  [600]          
5. При каких значениях х касательная к графику функции у=х2-2х+1 параллельна оси абсцисс?  [1]
6. Найти критические точки функции у = (4х+1) (4х-1). [x=0]     

20. Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, если а1=12, а3= 3.   [±1/2].

21. Последовательность задана формулой хn=n2-n. Вычислите х6. [30]

Тема 7. Функция, производная, интеграл.

7.1  Функции и их свойства и графики.

1.  Какое наименьшее значение принимает функция

     у=х2-2х-3? [-4]                 

2.  Может ли функция у= ___1__ обращаться в 0?   [нет]

                                 х2+2х

3.  При каких значениях функция у=3х2-6х убывает?  

    [при х<1]

4.  Найти область определения функции у =__х2-1__.

[х≠-3;  х≠2]                                                       х2+х-6                                                                        

5.  Запишите функцию, которая симметрична относительно оси  ординат для функции у=5х.   [у=(1/5)х]
6.  Определить четная или нечетная функция у = ___х2__ 

                                                                                          сosх.     

     [четная]          

7.  Найти область определения функции у= tg 2х.

      [х≠π/4+π/2к, кєZ]

8.  Найти область определения функции у= lg (х2-4).

             [x<-2, x>2]

9.  Укажите наибольшее и наименьшее значения функции  

      у= 1+2 cos 2х.    [3;-1]

10. Найти область определения функции у=√х-3 + √х+2.

                            [x≥3]

11. В каких точках график функции у = х2-7х+12 пересекает

     ось ординат?     [12]

12. При каких значениях х функция у = _2х-4_

                                                                   0,5

 будет положительной?    [x>2]

       10. Внести множитель под знак корня (а - в)* √ 1   , если а > в.

                                                                                        а – в

               [√а-в]

        11.  Освободиться от знаменателя дроби 2/√2. [√2]

5.3  Определение и свойства логарифма.

      1. Вычислить lg 0,001.     [-3]

      2. Заменить log8 x на логарифм по основанию 2.  [1/3*log2x]

      3. Вычислить 2log 4.     [4]

      4. Заменить основание логарифма log2 x на основание 10.

              [lgx/lg2]

      5. Заменить ln х на десятичный логарифм.   [lgx/lge]

      6. Установить знак выражения lg 5 – 1.  [-]

      7. Вычислить log2 (1 )

                                     16          [-4]

      8. Вычислить 31 + log2.            [6]

      9. Вычислить значение выражения 1000 lg2.  [8]

      10. Сравнить, что больше: log0,6 5 или  log0,6 6.   [log0.65]                                                                

5.4 Значение тригонометрических функций некоторых углов.

     1. Переведите 2250 в радианную меру.    [5π/4]

     2. Что больше: sin200 или sin2000?      [Sin20º]

     3. Известно, что cosα = √ 3. Чему равен  sinα в интервале [0; π ]

                                               2                                                           2

            [1/2]

     4. Вычислить sin 3300. [-1/2]   

     5. Вычислить  cos 21π.    [-1]

     6. Переведите 5π в градусную меру.  [3000] 

                                3

     7. Вычислить cos 1500 .   [-√3/2]

     8. Вычислить tg 300* Ctg 300 -  cos2 300.   [1/4]

     9. В прямоугольном треугольнике катеты равны. Вычислить синус и косинус острого угла.  [√2/2, √2/2]

     10. Какой знак имеет функция у = cos2?   [-]

5.5 Определение обратных тригонометрических функций.

      1. Вычислить:

          а) arcsin √3  - arccos √2  +  arctg 1.     [π/3]

                          2                  2    

          б)  arcsin 1  + arccos 1  -  2 arctg 1.     [0]

                          2                2    

          в) Cos (arccos 1 ) .         [1/2]

                                  2

          г) Sin (arcsin √2/2  + arccos √2/2 ) .      [1]                                                         

          д) Sin (arccos (- √3)).           [-1/2]

                                      2

 е) arcsin 1 – arccos 0.            [0]

 ж) arccos √3 + arcsin 1.                   [π/3]

                           2                2

 з) arccos 0 + arccos 1 – 2 arctg 1.    [0]

          и)  arcsin √2/2   +  arctg 1.       [π/2]

   2. Что больше: 2 arctg 1 или 3 arcsin 1/ 2?    [равны]

5.6  Формулы тригонометрии.

1.  Вычислить: сos 250 сos 200-sin 250 sin 200.   [√2/2]

2. Вычислить значение выражения: у= sin24000+ сos23200. [1]

3. Вычислить: сos 400 сos 200-sin 200 sin 400.   [1/2]

4. Вычислить: sin 400 сos 50+ сos400 sin50.    [√2/2]

5. Вычислить: 2(сos2π/6- sin2 π/6).     [1]

6. Вычислить: tg 300 сtg 300- сos2450.      [1/2]

      7. Вычислить: 2сos 150 сos 750.   [1/2]

      8. Вычислить: tg 600 – tg 150           [1]

                              1+tg 600 tg 150.

      9. Вычислить: 4сos π/12 sin π/12.   [1]

    10. Могут ли tg и сtg быть соответственно равны 2- √3 и 2+√3?

           [да]

     11. Вычислить 2Sinπ/3*Cosπ/3.       [√3/2]

     12. Упростите 1-Cos2x+Sin2x+tgx*Ctgx.  [2Sin2x+1]

Тема 6. Последовательности. Прогрессии.

1. Найти пять членов последовательности: хn=(-1/2) n.

             [-1/2; 1/4;  -1/8; 1/16; -1/32]

2. Вычислить разность прогрессии, если а6=25, а3=13.  [4]
3. Вычислить сумму S=1+1/2+1/4+….     [2]                                             
4. Записать формулу общего члена последовательности 5; 8; 11;….    [3n+2]
5. Вычислить знаменатель прогрессии, если  b2=2,  b 6=32.

             [±2]

6. Записать формулу общего члена последовательности 1; 4; 9; 16; …   [n2]
7. Вычислить сумму S=1+х+х2+…+хn-1.  [xn-1]

                                                                         x-1

8. Вычислить а11 прогрессии 1; 5; 9; 13; … , а11.   [41]
9. Сумма трех последовательных четных чисел равна 48. Вычислить числа.      [14; 16; 18]
10.  Вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 20.    [210]
11.  Назвать 4 члена последовательности хn = 12-3n. [9;6;3;0]
12.  Вычислить разность арифметической прогрессии, если а3=17, а7=41.  [6]
13.  Сколько раз встречается цифра 5 среди чисел от 1 до 100?  [20]
14.  Вычислить знаменатель прогрессии 3; 6; 12..   [2]
15.  Вычислить сумму S = 4+2+1+…  [8]
16.  Записать формулу общего члена последовательности 6; 12; 24..   [3*2n]
17.  Найти среднее геометрическое двух чисел 2 и 32. [8]
18.  Вычислить а10 прогрессии 3; 7; 11;…  [39]
19.  Найти сумму  5+9+13+17+21+25.    [90]