Удивительные свойства чисел
занимательные факты (алгебра) на тему
Мир чисел бесконечен, а потому бесконечно в нем количество красивейших, удивительных и неожиданных свойств и сочетаний различных цифр и чисел. Если быть внимательным и любознательным, то можно заметить и найти удивительные сочетания, открыть для себя необычный и удивительный мир красоты. Многие ученые, следуя Пифагору, изучая свойства чисел, создавали различные сочетания, числовые созвездия и другие числовые узоры.
В материале рассмотрено несколько удивительных числовых диковинок.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 19.28 КБ |
Предварительный просмотр:
« Удивительные свойства чисел»
«Число – язык науки»
Т. Данциг
«Число – это закон и связь мира, сила,
царящая над богами и смертными.
Число есть сущность всех вещей».
Пифагор
Издавна числа казались людям чем- то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя и, вместе с тем, числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эти странности заставили людей приписывать числам сверхъестественные свойства.
Основателем мистического учения о числах является знаменитый древнегреческий философ VI в. до н. э. Пифагор. Он и его ученики считали, что все в природе измеряется, все подчиняется числу, и познать мир – это значит познать управляющие им числа.
Пифагорийцы разбили числа на четные и нечетные. Четные числа считались мужскими, нечетные – женскими. Одни числа, например, 7,12,40 , счастливыми, приносящими добро и радость, другие - несчастливыми, к примеру, 13, 41.
Числа, участвуя в математических действиях, образуют причудливые и по-своему красивые числовые комбинации.
Мир чисел бесконечен, а потому бесконечно в нем количество красивейших, удивительных и неожиданных свойств и сочетаний различных цифр и чисел. Если быть внимательным и любознательным, то можно заметить и найти удивительные сочетания, открыть для себя необычный и удивительный мир красоты. Многие ученые, следуя Пифагору, изучая свойства чисел, создавали различные сочетания, числовые созвездия и другие числовые узоры.
Рассмотрим несколько удивительных числовых диковинок.
Числа, подобно звездам можно сгруппировать в различные числовые «созвездия».
«Созвездие» из шести чисел 2,3,7,1,5,6 занятно тем, что сумма первых трех чисел равна сумме последних трех, но равны даже и суммы их квадратов.
2+3+7=1+5+6
22 +32 +72 = 12 + 52 + 62
Еще ярче «созвездие» из восьми чисел 0,5,5,10 1,2,8,9
и из десяти чисел 1, 4, 12, 13, 20 2, 3, 10, 16, 19
В каждом из них сумма чисел первой половины равна сумме чисел второй половины. Как и в предыдущем случае равны суммы квадратов тех же чисел, более того, равны даже суммы кубов тех же чисел:
0 + 5 + 5 + 10 = 1 + 2 + 8 + 9
02 + 52 + 52 + 102 = 12 + 22 + 82 + 92
03 + 53 + 53 + 103 = 13 + 23 + 83 + 93
Вот еще одно интересное «созвездие» - суммы всех степеней, от первой до пятой, шести чисел 1, 6, 7, 17, 18, 23 равны сумме тех же степеней других шести чисел 2, 3, 11, 13, 21, 22.
1 + 6 + 7 + 17 + 18 + 23 = 2 + 3 + 11 + 13 + 21 + 22
12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 = 22 + 32 + 112 + 132 + 212 + 222
13 + 63 + 73 + 173 + 183 + 233 = 23 + 33 + 113 + 133 + 213 + 223
14 + 64 + 74 + 174 + 184 + 234 = 24 + 34 + 114 + 134 + 214 + 224
15 + 65 + 75 + 175 + 185 + 235 = 25 + 35 + 115 + 135 + 215 + 225.
И самое удивительное состоит в том, что таких «волшебных» чисел существует бесконечное множество. Вот он «золотой ключик», при помощи которого можно найти сколько угодно таких дюжин чисел:
а n + (а+ 4 b + c)n +(а+ b + 2c)n + (а+ 9 b +4 c)n + (а+ 6 b + 5c)n +(а+10 b + 6c)n = (а+ b)n + (а+ c )n + (а + 6b + 2c)n + (а + 4 b + 4c)n +(а +10 b +5 c)n + (а+ 9b + 6c)n, где n = 1, 2, 3, 4, 5, а, b,c – любые натуральные числа.
Если заменить а, b,c любыми числами, а букве n придавать значения сначала 1, а затем 2,3,4,5, то получим столько раз по пять равных сумм, сколько захотим.
Еще одни числовые «достопримечательности» - это некоторое подобие пирамид, составленных из чисел.
Самая известная «пирамида» - треугольник Паскаля, названная в честь французского ученого, который создал её и объяснил закон образования.
Первое и последнее число в каждой строке равно единице, а каждое из остальных равно сумме чисел, стоящих на одну строку выше справа и слева от него.
Вот примеры некоторых числовых пирамид.
Пирамида 1.
Для объяснения закономерности, возьмем для примера какой - нибудь из средних рядов нашей пирамиды
123456 · 9 + 7
Вместо умножения на 9 можно умножить на ( 10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть множимое:
123456 · 9 + 7 = 1234560 + 7 – 123456 =
= 1234567
- 123456
1111111
Достаточно взглянуть на последнее вычитаемое, чтобы понять, почему получается результат, состоящий только из единиц.
Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр и прибавления последовательно возрастающих цифр.
Пирамида 2.
Пирамида 3 является прямым следствием первых двух.
Пирамида 3.
Связь устанавливается очень легко. Из первой пирамиды знаем уже, что, например:
12345·9 + 6 = 111111
Умножив обе части на 8 имеем:
12345·8 ·9 + 6·8 = 888888
Но из второй пирамиды известно, что
12345 ·8 + 5 = 98765 или 12345· 8 = 98760
Значит:
888888 = 12345·8 ·9 + 6·8 = 98760·9 + 48 = 98760·9 + 5·9 + 3 =98765·9 + 3
Следующие пирамиды можно достроить по верхушкам до оснований.
Пирамида 4. Пирамида 5.
Интересная структура получится, если число 111111111 умножить само на себя, т. е. возвести в квадрат.
Цифры результата симметрично убывают от середины в обе стороны. Само же расположение всех этих единиц напоминает своеобразную цифровую лестницу.
Чтобы увидеть прекрасное в математике, и математику в прекрасном, надо сделать над собой усилие.
Например, если взять любое число в два, три или больше знаков, прибавить к нему число с переставленными цифрами, и проделать с результатом те же действия, то на каком-нибудь шаге, получится число, которое одинаково читается слева направо и справа налево.
Вот несколько примеров:
Однако иногда для достижения симметричного результата нужно сделать большое количество шагов. Если, например, взять число 89, то только 24-й шаг приведет к симметричному результату:
8813200023188.
Наблюдая за числами можно увидеть много интересных закономерностей.
Используемая литература:
- Давыдов М.А. Красота математики, г. Нижний Новгород, 2007 г.
- Глейзер Г. И. История математики в школе, Москва, «Просвещение», 1981 г.
- Учебно-методическая газета Математика. 1 сентября , №24/2001.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2024/01/03/picture-81541-1704230241.jpg)
Удивительный мир чисел
Презентация "Этот удивительный мир математики" сопровождает интерактивную игру по математики, проходящую в рамках Дней Науки, проходящих в нашей школе....
удивительный мир чисел
занимательный материал по математике, который можно использовать при подготовке к внеклассному мероприятию по математике...
![](/sites/default/files/pictures/2013/07/18/picture-273153-1374160487.jpg)
Удивительный мир чисел
Собранные здесь задачи помогают оказаться в удивительном мире чисел, с его тайнами и загадками.Задачи развивают мышление, внимание, показывают красоту мира математики. Данные задачи - разного уровня с...
![](/sites/default/files/pictures/2017/04/19/picture-918145-1492616165.jpg)
Вечер занимательной математики «Удивительный мир чисел»
Вечер занимательной математики«Удивительный мир чисел»...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/08/picture-1099273-1546957761.jpg)
Программа по внеурочной деятельности "Удивительный мир чисел"
Программа по внеурочной деятельности по математике "Удивительный мир чисел" для 5 класса...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/08/picture-493951-1412751171.jpg)
Презентация "Удивительный мир чисел"
Презентация «Удивительный мир чисел» познакомит учащихся с двумя стихиями: числами и фигурами с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей....
![](/sites/default/files/pictures/2021/10/20/picture-1356532-1634741378.jpg)
Конкурс "Удивительный мир чисел"
Разработка конкурса по математике "Удивительный мир чисел" разработана для проведения внеурочных занятий для обучающихся с умственной отсталостью (интеллектульными нарушениями)...