Содержание:

1. Историческая справка

2. План семинара

3. Опорный конспект

4. Задания для самоконтроля

5. Приложение. Схема Горнера

Семинар “Методы решения уравнений высших степеней”

1. Метод разложения на множители (понизить степень уравнения, т.е. разделить Р на  “уголком” или по схеме Горнера.)

2. Замена переменной.

    5)      

1. Возвратные уравнения

     6)      

     7)      

     8)      

2. Однородные уравнения

     9)      

3. Уравнения вида     

    10)    

4.Уравнения вида       

    11)    

5.Выделение полного квадрата

    12)    

    13)      

     6.Биномиальные уравнения

    14)      

     7.Уравнения решаемые относительно постоянной

    15)      

– 2 –

Опорный конспект

Семинар    “ Уравнения высших степеней. ”

1. Метод разложения на множители.

Этот метод основан на след. применении теоремы Безу. Если число является корнем многочлена  степени n, то его можно представить в виде , где  Q(x)-многочлен степени (n-1).

Т. Безу: “ Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен  равен , т.е. значению многочлена при ”

Таким образом , если известен хотя бы один корень ур – я Р(х)=0 степени n, то с помощью Т. Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1),  т.е  понизить степень уравнения.

Теорема. Пусть несократимая дробь является корнем уравнения  с целыми коэффициентами тогда число Р – является делителем свободного члена , а q делителем старшего коэффициента .                Таким образом , зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить   “уголком” или по схеме Горнера.

                                                                                                                  -корень

2. Замена переменной.         

3. Возвратные уравнения

- Возвратное симметрическое, если , и т.д.

      1)Для нечетных возвратных многочленов справедлива теорема: “ Всякий возвратный многочлен нечетной степени имеет корнем х=-1. Затем схема Горнера.

2)Возвратное уравнение 4-й степени.

Делим на , получим  

      3)Возвратное, несимметричное,            

- 3 -

2. Однородные уравнения.

Делим на , т. К.

Замена                                       ,      

3. Уравнения

Если выполняется одно из условий

, то выпол. замена переменной.

4. Уравнения

Делим числитель и знаменатель на х

,                              

5. Выделение полного квадрата.

1. Разложение на множители
2. Замена переменной

Уравнения вида  

Добавим к общим частям уравнения удвоенное произведение  

, получим замену    

6. Биномиальные уравнения

,    замена    

Получим

Применяем формулу Бинома Ньютона

- 4 -

Семинар “ Решение уравнений высших степеней.”

№16

16) Уравнение с параметром

Ответ:

1) 

2) 

3) 

Геометрическая интерпретация (Рис 1)

- 6 –

Приложение.

Схема Горнера (вывод)

1. a0 xn   +   a1 xn-1   +   a 2 xn-2   +   …   +   an-1 x   +    an =

= (x – α)(b0xn-1 + b0xn-2  +  b1xn-2   +  b2xn-3    +   …   +   bn-2x  +   bn-1)  +  r

2. a0 xn   +   a1 xn-1   +   a 2 xn-2   +   …   +   an-1 x   +    an =

=  b0xn  +  (b1 - α b0) xn-1  +   (b2 - α b1) xn-2   +  …  +  (bn-1 - α bn-2) x   + r   +  α bn-1

ak =  bk  -  α bk-1;   a0  =  b0;      bk  =  ak  +  α bk-1

Схема Горнера позволяет находить значение многочлена Р(х) при х = α.

В первой строке записаны коэффициенты многочлена Р(х).

Во второй строке получаются коэффициенты частного и остаток.

Пример:

2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = 0

P = ± 1

q = 1,2

p / q  = ± 1; ± 2; ± ½        

(х + 1)(х – ½)(2х2 – 8х + 2) = 0

х2 – 4х + 1 = 0

D/4 = 4 – 1 = 3

X3, 4 = 2 ±

Ответ: {-1;   1/2 ;  2 ±}

Семинар: «Решение уравнений высших степеней».

Историческая справка

1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Индийский ученый Брахмагупта (VIIв) – правило решений квадратных уравнений.
2. После трудов Нидерландского математика А.Ширара (1595-1632г.), а также Декарта и Ньютона способ решений квадратных уравнений принял современный вид.
3. Ф. Виетт (1591г.) – зависимость корней от коэффициента.

2. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ    х3+рх +q = 0

1. Сципион Даль Ферро (1465-1526г.) и его ученик Фиори.
2. Н. Тарталья (1499-1557г.) – не опубликовал своих трудов.
3. Д. Кардано (1501-1576г.), «Великое искусство, или о правилах алгебры» - узнал об открытии Тартальи.

Формула корней кубического уравнения (формула Кардано)

                                         х3+х - 1 = 0

                                          р=1   q= -1

3. УРАВНЕНИЯ 3-й и 4-й СТЕПЕНИ

1. Ученик  Кардано  Л.Феррари (1522-1567г.)-метод решения уравнения степени.
2. Р.Бомбелли (1530-1572г.)-полное исследование кубических уравнений.
3. Ф.Виет (1540-1603г.)-полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений  и степени.

4. Уравнения  степени.

1. Норвежский  математик Н. Абель (1802-1829г.)-доказал, что в общем случае корни уравнений  степени и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.
2. Французский математик Э. Галуа (1811-1832г.) выделил класс  алгебраических  уравнений, которые разрешены в радикалах.

- 5 -

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Укажите методы решения данных уравнений.