227-275-197  Преподавание математики.
Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней».
Учитель математики МБОУ СОШ №6  г. Железнодорожного Московской области Лодина Виолетта Сергеевна.

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

 Этот метод основан на  применении теоремы Безу. Если число является корнем многочлена  степени n, то его можно представить в виде , где  Q(x)-многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена  Р(х) на двучлен  равен , т.е. значению многочлена при ” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения  Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1),  понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь является корнем уравнения  с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена , а  q делителем старшего коэффициента . У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x)  на   (   “углом” или по схеме Горнера.   Схема Горнера

         ,=-корень многочлена.

Пример №1.   Решение. Выпишем делители свободного члена

 ,  

Понизим степень уравнения делением многочленов в столбик «углом»

4

Разложим на множители      

Ответ  

Решить самостоятельно.

Пример № 2            

Пример № 3             

Понижение степени по схеме Горнера.

Пример №4     

Решение. Найдем делители свободного члена   ,  

Разложим на множители     

Пример №5     

Разложим на множители  

     Ответ  

Пример№6    2х4 – 7х3 – 3х2 + 5х – 1 = 0,  p = ± 1,  q = 1;2   = ± 1; ± 2; ±

(х + 1)(х – 0,5)(2х2 – 8х + 2) = 0

х2 – 4х + 1 = 0     D/4 = 4 – 1 = 3      x = 2 ±       

Решить самостоятельно.

Пример №7            

Пример №8                        

Замена переменной.

Пример №9           

Введём замену    

         ,  

1.Возвратные уравнения

- Возвратное симметричное, если  и т.д.   1)Для нечетных возвратных многочленов справедлива теорема: “ Всякий возвратный многочлен нечетной степени имеет корнем х=-1. Затем схема Горнера.
2)Возвратное уравнение 4-й степени  Делим на

Получим замену

Пример №10 

Делим на , получим       

         ,  

Решить самостоятельно.

Пример №11            

Пример №12           12            

2.Однородные уравнения.

  Делим на ,  

, получим замену

Пример №13    Делим на , получим

2+                   ,  

Решить самостоятельно.

Пример №14            

3.Уравнения  

Если выполняется одно из условий  , то выполняется замена переменной.

Пример №15    2+1=-3+6

  ,            ,  

Решить самостоятельно.  Пример №16 

4.Уравнения ,  приводим к замене

Делим числитель и знаменатель на х      ,

Пример №17

     ,   2            ,  

Решить самостоятельно.   Пример №18   

5.Биномиальные уравнения

,   замена     , получим . Применяем формулу бинома  Ньютона

Пример №19   ,

 ,  

      ,  

  ,          

Решить самостоятельно.   Пример №20    ,        

Домашнее задание

Пример № 2            

Пример № 3             

Пример №7            

Пример №8                        

Пример №11            

Пример №12           12            

Пример №14            

Пример №16 

Пример №18   

Пример №20    ,          

Историческая справка

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Индийский ученый Брахмагупта (VIIв) – правило решений квадратных уравнений.
2. После трудов Нидерландского математика А.Жирара (1595-1632г.), а также Декарта и Ньютона способ решений квадратных уравнений принял современный вид.
3. Ф. Виетт (1591г.) – зависимость корней от коэффициента.

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ    х3+рх +q = 0

4. Сципион Даль Ферро (1465-1526г.) и его ученик Фиори.
5. Н. Тарталья (1499-1557г.) – не опубликовал своих трудов.
6. Д. Кардано (1501-1576г.), «Великое искусство, или о правилах алгебры» - узнал об открытии Тартальи.

Формула корней кубического уравнения (формула Кардано)

х3+х - 1 = 0

р=1   q= -1

УРАВНЕНИЯ 3-й и 4-й СТЕПЕНИ

7. Ученик  Кардано  Л.Феррари (1522-1567г.)-метод решения уравнения степени.
8. Р.Бомбелли (1530-1572г.)- полное исследование кубических уравнений.
9. Ф.Виет (1540-1603г.)- полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений  и степени.

УРАВНЕНИЯ 5-й СТЕПЕНИ

10. Норвежский  математик Н. Абель (1802-1829г.)- доказал, что в общем случае корни уравнений  степени и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы.
11. Французский математик Э. Галуа (1811-1832г.) выделил класс  алгебраических  уравнений, которые разрешены в радикалах.

227-275-197

Преподавание математики. Тезисы

Урок алгебры в 10 классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней».          Учитель математики МБОУ СОШ №6  г. Железнодорожного Московской области    Лодина Виолетта Сергеевна.

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов  по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Рассматриваются возвратные, однородные, биномиальные и другие виды уравнений, приводящихся к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.