Методические особенности обучения тригонометрии
статья по алгебре по теме

Методические особенности обучения тригонометрии

В новой образовательной парадигме содержание образования, средства и методы обучения структурируются так, что позволяют ученику проявлять изобретательность к предметному материалу. Важнейшей задачей современной школы является реализация Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. Практическое внедрение основных идей Концепции ставит перед системой образования проблему недостаточности разработки методологических основ обучения конкретным темам математики, в том числе и модуля «Тригонометрия» при профильном обучении старшеклассников  на старшей ступени общего образования.

Отметим, что первичные тригонометрические  знания учащихся зачастую представлены фрагментарно. Нынешнее отношение школьников к тригонометрии  вызвано непониманием ее роли в общечеловеческой культуре. До 1966 г. тригонометрия служила для школьников наглядным и понятным примером развития математической науки. В меру своих способностей и возможностей с помощью тригонометрии ученик имел возможность «примерять на себя» математический стиль мышления, просканировать свою предрасположенность, свой интерес к человеческой деятельности такого рода. Роль тригонометрического материала в школьном образовании оценивалась высоко, до 1966 г. в 9-х и 10-х изучалась отдельная дисциплина «Тригонометрия», на которую выделяли 2 часа в неделю. Начиная с середины шестидесятых годов, в ходе подготовки и осуществления реформы школьного математического образования, получившей в дальнейшем название «реформа А.Н. Колмогорова», отношение к тригонометрии стало меняться и со временем изменилось принципиально. Это выразилось в изменении программных целей изучения данного раздела науки в школе. Он перестал рассматриваться как педагогический инструмент развития мышления, постепенного и целенаправленного приобщения ребенка к основам научной картины мира через освоение элементарной практики построения этой картины. Таким образом, тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» не только из основной школы, но и из курса старшей ступени обучения в школе.

Необходимо отметить, что курс тригонометрии основной школы продолжает иметь большую практическую направленность, требующую от учащихся прочного овладения основными понятиями, умения выполнять различного рода преобразования всевозможных выражений, исследовать функции и строить графики и т.д. Изучение понятий тригонометрии не ограничивается рамками одного школьного предмета, поскольку они отражают достаточно широкую область человеческого бытия, причинно-следственные связи. Школьники должны иметь прочные знания по тригонометрии, т.к. они являются звеном огромной цепи понятий и имеют большое значение в реализации межпредметных связей. Изучение элементов тригонометрии в средней школе связано с рядом трудностей: высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность учебного времени для осмысления сложности вопросов и др.

Общеобразовательная роль тригонометрии очень важна. Материал должен изучаться индуктивно - от тригонометрии острого угла к тригонометрии любого угла и затем к тригонометрическим функциям действительного аргумента. Полноценное изучение тригонометрии требует достаточно большого объёма времени. В общеобразовательной школе в силу целого ряда причин времени вообще катастрофически не хватает и на тригонометрию в частности. В методической литературе всё чаще и настойчивее звучат голоса в пользу более раннего знакомства детей с единичной окружностью.

Мой опыт преподавания в школе показывает, что должна предшествовать отдалённая по времени отработка решений простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Это полезно не только в общеобразовательном плане, но и для облегчения нагрузки на наши общеобразовательные 10-е и 11-е классы.

Тема «Координатная плоскость» в 6-м классе невелика. У детей среднего возраста она неизменно вызывает интерес. Они не только с удовольствием изображают отдельные объекты и даже целые сюжеты по заданным координатам, но и самостоятельно составляют их, определяя координаты узловых точек. Несмотря на привлекательность таких заданий, дидактическая цель остаётся неизменной: определять координаты точек, заданных на плоскости, и уметь строить точки по их координатам. Педагогический опыт показывает, что, вкрапливая в эту тему другие задания, можно использовать и иные дидактические их возможности.

В учебнике встречаются задания на нахождение координат точки пересечения окружности произвольного радиуса с осями координат. Таким упражнениям всегда уделяю особое внимание. Умение их выполнять считаю, наряду со знанием порядка записи координат, одним из основных результатов знакомства учащихся с координатной плоскостью. Именно они дают хорошую возможность поработать «на перспективу». Здесь нужен не просто результат. а высокий результат. Чтобы его добиться, с опорой на наглядность, вместе с учениками конструируем мнемоническое правило:

 •абсцисса равна нулю у точек, которые расположены на оси ординат;

•ордината равна нулю у точек, расположенных на оси абсцисс,

а затем каждый ученик его раскрывает. На этом первый этап завершен.

Второй этап начинается с введения окружности единичного радиуса в координатную плоскость. С опорой на ранее изученное правило конструируем новое, теперь уже для окружности единичного радиуса:

 •точка справа имеет самую большую абсциссу, равную единице, и ординату, равную нулю;

•точка слева имеет самую маленькую абсциссу, равную минус единице, и ординату равную нулю;

•точка вверху имеет самую большую ординату, равную единице, и абсциссу равную нулю;

•точка внизу имеет самую маленькую ординату, равную минус единице, и абсциссу равную нулю;

•абсцисса равна нулю у точек, которые расположены на оси ординат (вертикальная ось);

•ордината равна нулю у точек, расположенных на оси абсцисс(горизонтальная ось).

Этап считаю завершенным, если вижу свободное владение окружностью единичного радиуса, находящейся в координатной плоскости, каждым.

На следующем этапе продолжаем работать с единичной окружностью (рис.1) Отметив точки, с помощью цветных карандашей в тетрадях, мелков на доске, разноцветных магнитных полосок на магнитной доске медленно, шаг за шагом, отмечаем, выделяем, измеряем абсциссы и ординаты точек А, В, С, Д, М, К, Р окружности, устанавливаем взаимное расположение элементов, анализируем длины отрезков геометрически, выясняем в каких координатных четвертях находятся эти точки, определяем четверть, в которой абсцисса(ордината) точки принимает отрицательное или положительное значения.

Рисунок 1

Цель таких заданий не только в осознании мнемонического правила, порядка записи координат точек плоскости, их названий, значений, но и хорошая возможность развития вычислительных навыков с десятичными дробями, положительными и отрицательными числами. Создаётся ситуация, когда учащиеся могут, путём вычисления суммы квадратов абсциссы и ординаты точки единичной окружности (на миллиметровой бумаге удобнее) не только применить округление чисел, использовать микрокалькулятор, но и «приблизиться» к основному тригонометрическому тождеству, то есть готовить себя к изучению систематического курса алгебры и геометрии.

Убедившись, что у учащихся хорошо отработаны навыки оперирования с единичной окружностью, перехожу на новый уровень. В VI классе ученикам уже предлагаются задания на построение и чтение графиков, выражающие зависимость между различными величинами. Им также известно, что длина окружности радиуса R равна 2πR, где π ≈ 3,14. Выясняем, что если R=1, длина окружности равна 2π и охватывает она четыре угла по 90° и что по окружности можно двигаться как по часовой стрелке, так и против. Тогда развёрнутый угол выразится числом π, прямой угол числом    и т.д.

Изучение тригонометрии в 10-11 классах играет решающую роль в системе профильного обучения, так как универсальность математических методов позволяет в формальных понятиях алгебры, геометрии и математического анализа на уровне общенаучной методологии отразить связь теоретического материала различных областей знаний с практикой. Поэтому практико-преобразующая деятельность определяет значимость тригонометрии в подготовке учащихся к продолжению образования в процессе профессионального становления.