МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ

РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И   НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН С ПОМОЩЬЮ    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

          2.1 Анализ задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений в школьных учебниках по алгебре и началам анализа
10-11 классов

Анализ учебников по алгебре и начала анализа 10-11 классов даст  некоторые представления о тех особенностях изучения  «Решения текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин» с помощью дифференциального исчисления, предлагаемые разными авторами.

Рассмотрим некоторые школьные учебники по математике.

1. Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10-11 классов»[1].

Изучение производной вводится во II полугодии 11 класса в главе: «Применение производной к исследованию функций. Наибольшее и наименьше значение функции». Сначала автор знакомит  учащихся с тем, что задачи, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее значение из всех тех значений, которые функция принимает на отрезке . Дает правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения. Приводит несколько примеров задач. В итоге поясняет, что на отрезке нужно сравнить значение функции в точках экстремума и на концах отрезка.

Далее знакомит с нахождением наибольшего или наименьшего значений на интервале. Поясняя, что функция  имеет на заданном интервале только одну стационарную точку; либо точку максимума или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция   принимает наибольшее значение на заданном интервале, а в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале.

Подходя к решению задач нахождением наибольшего или наименьшего значений функций на промежутке, вводит следующее утверждение: «Если значение функции  неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и  функция , где  – натуральное число, принимает наибольшее (наименьше) значение в одной и той же точке. Приводит задачу с геометрической конфигурацией. Таким задачам с геометрическим содержанием отводится небольшое внимание. А лишь приводятся в качестве дополнительной задачи, более повышенного уровня [13].

2. А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа 10-11 классов»[11].

Данный учебник используется в настоящее время  для обучения учащихся 10-11 классов в средних общеобразовательных школах. Изучение производной и ее применение вводится в I полугодии 10 классе. Тему  нахождение наибольшего или наименьшего значений функций сводит к решению задач непрерывной функции  на отрезке .

В курсе анализа автор знакомит учащихся с теоремой Вейерштрасса: «Непрерывная на отрезке  функция  принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее на  значения. Данная теорема показывает о существовании точек на отрезке , в которых функция достигает своего  наибольшее и наименьшее на  значения. Вводит правило отыскания наибольшее и наименьшее на  значения функции .

Далее переходит к изучению прикладных задач, которые так же применяются с помощью изложенного выше метода (правила), при этом приводит схему действий решения таких задач или составления математической модели.

Предлагает учащимся исторические сведения из истории дифференциального исчисления. Какой вклад внесли великие ученые того времени с их краткой биографической характеристикой и с некоторыми  работами выдающихся математиков [16].

3. Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ 10 класса»[4].

Учебник предназначен для более глубокого изучения курса «Алгебры и  математического анализа» В 10-х классах с углубленным изучением математики и ее приложений.

Тема производная и ее приложения изучаются во II полугодии. С приложениями производной автор уделяет внимание по изучению задач отыскания наибольшее и наименьшее  значения функции  на отрезке . Остановившись на общем методе нахождения таких значений – дифференциального исчисления. Вводит формулировку теоремы с доказательством, а именно о существовании наибольшего и наименьшего  значений. Объясняет правило отыскания таких значений функции на отрезке. Приводит план, по которому решаются задачи. Ссылается на замечания, по которым можно облегчить вычисления. Предлагает задачи с решением для наглядного просмотра и задачи для повторения [18].

Вообще подводя итого по данному учебнику, надо отметить, что автор предлагает учащимся знакомство с рядом теорем, в основе которых лежит дифференциальное исчисление. Когда  в общеобразовательных классах такие теоремы учащимся не предлагаются для изучения.

Проанализировав школьные учебники по курсу «Алгебры и начала анализа 10-11 классов», можно увидеть из рисунка 2 различия или сходства, предлагаемые авторами учебников, при изучении данной темы.

2.2 Методические особенности применения производной  к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений  

Приведем классификацию задач на оптимизацию по способу их решения (рис. 3), и рассмотрим, как с помощью дифференциального исчисления

можно решать задачи нахождения наибольшего наименьшего значения. Методика изучения темы: «Производной и ее приложений» вводится во втором полугодии 10 класса. Понятие производной является одним из важнейших понятий курса математического анализа так, как является фундаментальным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой для решения таких задач. Цель изучения данной темы: познакомить учащихся с методом дифференциального исчисления, сформировать умения применять их решению задач [2].

На использовании производной основан достаточно универсальный метод решения таких задач. Программа по математике предусматривает знакомство старшеклассников с этим методом и формирование у них умений применять его к решению задач.

Задачи на оптимизацию имеют четкую прикладную направленность по подходу к решению на различных этапах построения и использования математической модели [7]:

1. формализация, решение формализованной задачи;
2. интерпретация - получают соответствующую реализацию: составление функции, описывающей условие задачи, в результате чего осуществляется переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором промежутке; решение этой математической задачи с использованием производной; придание полученному результату соответствующего содержательного смысла.

Методика введения нового материала требует познакомить учащихся с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции на различных промежутках.

Заметим, что использование производной позволяет найти такие значения либо сделать вывод об их отсутствии для любой непрерывной на рассматриваемом промежутке функции, имеющей на этом промежутке лишь конечное число точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю (т.е. конечное число критических точек). Такое исследование для любых промежутков можно осуществить на основе предварительного исследования функции на монотонность

и экстремумы на соответствующем промежутке, которое проводится с помощью производной. Без предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы нельзя обойтись в тех случаях, когда отыскивается наибольшее или наименьшее значение функции на бесконечном промежутке. В других случаях (отрезок, интервал, полуинтервал) можно обойтись и без него, если пользоваться правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, что нередко приводит к более простому решению.

Работа ведения может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и обоснования соответствующего правила.

Подчеркнем, что только для функции, непрерывной на отрезке и отличной от постоянной, гарантировано теоремой Вейерштрасса, в определение которой говорится о существование наибольшего и существование наименьшего среди всех ее значений, принимаемых на этом отрезке. Для других видов промежутков такой гарантии нет.

Опираясь на знания учащихся, а также на наглядные представления, развиваемые с помощью рассмотрения нескольких графиков функций, можно подвести учащихся к установлению и обоснованию правила для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. 

Остановимся на описании подхода, при котором это правило формулируется для функций, непрерывных на отрезке и имеющих на нем лишь конечное число критических точек. При другом подходе это правило формулируется для более узкого класса функций - для функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него.

Если класс не отличается достаточно хорошей математической подготовкой, то сначала следует обратить внимание на тот факт, что функция, монотонная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах. Для этого можно использовать графики монотонных функций.

Далее перед учащимися целесообразно поставить задачу отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, заданной графиком на рисунке 4. Эта функция не является монотонной на отрезке , но легко заметить, что рассматриваемый отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция  монотонна. Из этого следует, что наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке  содержатся среди ее значений на концах указанных отрезков. Числа  являются экстремумами  функции, то отыскание ее наибольшего и наименьшего значений на отрезке  можно свести к отысканию наибольшего и наименьшего значений среди принимаемых этой функцией на концах отрезка  и в точках экстремума.

Подчеркнув, что учащимся уже известно, как с помощью производной могут быть найдены точки экстремума функции и все эти точки содержатся среди критических точек функции. Учитель должен указать, что при отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке часто бывает более целесообразным (по затрачиваемому времени) не выяснять:

1. какие из критических точек функции являются точками экстремума;
2. рассмотреть значения, принимаемые функцией на концах этого отрезка и в критических точках лежащих внутри него, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

После формулировки соответствующего правила следует выделить основные этапы решения математической задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке :

1. найти производную данной функции.
2. найти критические точки, т. е. точки, в которых производная равна нулю либо не существует.
3. выбрать из полученных критических точек те, которые заключены между числами  и :

4)        заполнить нижнюю строку таблицы и выбрать из чисел
этой строки наибольшее число и наименьшее число.

Найденные таким образом числа и будут являться наибольшим и наименьшим значениями функции  на отрезке .

Для закрепления правила целесообразно выполнить несколько упражнений, например такие:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.  на отрезке:  а) ; б)  ;  в)  ;
2.   на отрезке .

Следует отметить, что в рамках школьного курса математики круг непрерывных функций, не имеющих производной в отдельных внутренних точках области определения, не широк. Указать формулу, которая задавала бы такую функцию, можно, например, включая выражение . Учащимся в этой связи можно предложить найти наибольшее и наименьшее значения функции   на отрезке ; более сильным ученикам -   на отрезке .

Иногда с той же целью включают в рассмотрение функцию, содержащую , например функцию , которая непрерывна на всей числовой прямой, имеет две критические точки  и , причем в точке  производная этой функции не существует. Как показывает опыт, нахождение производной функции представляет для учащихся значительную трудность; многие неправомерно заменяют эту функцию функцией , которая в соответствии с определением, принятым в школьном курсе математики, определена лишь на множестве неотрицательных чисел, а не на всей числовой прямой, как рассматриваемая функция. Производную функции   можно найти либо воспользовавшись определением производной, либо применив правило дифференцирования сложной функции.

После усвоения учащимися правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно перейти к решению текстовых задач, опирающихся на использование этого правила.

Заметим, что многие практические задачи приводят к необходимости отыскания наибольшего или наименьшего значения функции не на отрезке, а на интервале или полуинтервале. Фактически к отысканию наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке могут привести лишь те задачи, в условии которых содержатся дополнительные ограничения [18].

Поясним сказанное примером.

Задача 1. Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?

Если обозначить через  высоту резервуара, выраженную в дециметрах, то решение задачи можно свести к нахождению наибольшего значения функции  на интервале .

Включение дополнительных ограничений в условие задачи, например требования, чтобы высота резервуара была не менее 5 см и не более 20 см, приводит к отысканию наибольшего значения той же функции на отрезке .

С такой (дополненной) задачи и следует начать рассмотрение, а затем включить в рассмотрение задачи, приводящие к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на интервале и полуинтервале. В ходе решения таких задач учащимся следует пояснить, что если функция непрерывна на концах соответствующего отрезка, то по известному правилу можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке, и потом сделать вывод для решаемой задачи. Для абсолютного большинства таких задач искомое наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри рассматриваемого отрезка, следовательно, и внутри соответствующего интервала или полуинтервала.

При решении текстовых задач наиболее трудным для учащихся является этап формализации, т.е. переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке. Здесь, исходя из условия задачи, производится:

1) выбор аргумента, т.е. выбор и фиксация одной из переменных величин как независимой переменной;

2) выражение величины, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче, как некоторой функции выбранного аргумента;

3) нахождение промежутка изменения аргумента.

На первых порах не следует включать в рассмотрение текстовые задачи, приводящие к составлению функции, содержащей параметры (это встречается во многих примерах, разобранных в учебниках [6], [7], [25], [14], [1], [23]). Так как могут возникнуть дополнительные трудности, ведь учащиеся ранее не сталкивались с отысканием наибольшего и наименьшего значений функций, содержащих параметры, на отрезке, координаты концов которого также содержат параметры [18].

Вызывают у учащихся затруднения и те задачи, при решении которых приходится вводить несколько переменных величин. Следует пояснить, что в этих случаях конечная цель та же самая - выразить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится, как функцию только одной из введенных переменных. Приведем пример решения задачи такого типа.

Задача 2. Из куска проволоки длиной 30 см изготовлен прямоугольный треугольник, имеющий наибольшую площадь. Какова эта площадь?

Решение:

I. Составим функцию площади прямоугольного треугольника, зависящую от   острого угла, который обозначим через α. Очевидно, что

0 < α < 90°.

Воспользуемся формулами  и  (где  и  - катеты, а с - гипотенуза этого треугольника). В равенства  подставим значения катетов и вынесем общий множитель с. Получим: , откуда . Тогда

Задача сведена к нахождению наибольшего значения функции  на интервале 0 < α < 90°.

II. Найдем наибольшее значение функции S (а) на интервале

0 < α < 90°. Можно найти наибольшее значение функции S (а) на отрезке 0 < α < 90°:

В рассматриваемый интервал попадает лишь одна критическая

точка .

Наибольшее значение функции S (а) на интервале

0 < α < 90° достигается в его внутренней точке,   следовательно, оно будет являться и наибольшим значением

III.        Следовательно, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с острым углом , т. е. равнобедренный прямоугольный треугольник, эта площадь равна  (см2).

Учащихся целесообразно познакомить с одним из приемов, позволяющим упростить выкладки при решении ряда задач. Речь идет о задачах, связанных с вычислениями, в которых используется теорема Пифагора, а тогда в результирующих выражениях появляются квадратные корни. Нахождение производных от выражений, содержащих квадратные корни, технически сложнее, чем нахождение производных от многочленов. Чтобы свести вычисление к этому последнему случаю, можно воспользоваться утверждением: «Если функция  неотрицательна на некотором промежутке, то функции  и  принимают наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке в одной и той же точке», т.е. отыскание точек, в которых функция   достигает наибольшего или наименьшего значения, может быть сведено к отысканию аналогичных точек для функции .

Задачи, сводящиеся к нахождению наибольшего или наименьшего значений функции на бесконечном промежутке, не могут быть решены с помощью правила, справедливого для отрезка. В этом случае поиск может опираться на результаты исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, из которых и могут быть сделаны выводы. Если ориентировать учащихся на такой путь, то следует дать им образец записи решения.

Во многих случаях такое решение, вернее обоснование, можно упростить, если опираться на утверждение: «Для функции, непрерывной на промежутке и имеющей на нем единственный экстремум, в  случае максимума это и будет ее наибольшее значение, а в случае минимума -наименьшее». Доказательство этой теоремы вполне посильно для учащихся.

Иногда опора на этот факт дает более простое решение и в случае исследования функции на наибольшее или наименьшее значение на отрезке; так бывает в тех ситуациях, когда трудно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.

В учебниках отсутствуют текстовые задачи, в которых искомое наибольшее (наименьшее) значение достигалось бы на конце рассматриваемого промежутка; как правило, внутри промежутка имеется лишь одна критическая точка, в ней и достигается искомое значение. Для формирования у учащихся правильного представления о диапазоне возможных случаев необходимо включать в рассмотрение соответствующие задачи. Приведем примеры таких задач.

Задача 3. Имеется 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены здания равна:

а) 30 м; б)  10 м?

Если обозначить через   м длину стороны участка, прилегающей к стене здания, то задача сведется к отысканию наибольшего значения функции  в промежутках а) ; б) . В первом случае функция достигает наибольшего значения в критической точке , во втором - на конце промежутка, при .

Задачи на наибольшие и наименьшие значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но и при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. При итоговом повторении курса также имеется возможность решать такие задачи, предполагающие широкое использование внутрипредметных и межпредметных связей. Некоторые задачи наряду с применением производной могут быть решены и элементарными методами. Рассмотренные различные способы решения одной и той же практической задачи поможет учащимся осознать возможность использования в одних и тех же условиях различных математических средств и методов. Позволит сравнивать их, выявлять сильные и слабые стороны, что будет способствовать воспитанию правильного понимания роли математики в жизни и практике, готовить к активному участию в практической деятельности [18].

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2

Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач нахождения наибольшего и наименьшего значений.

Проанализировав научно-методическую литературу, необходимо отметить, что для решения таких задач нужно, чтобы учащиеся имели навыки нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. А при изучении непосредственно данной темы ввести математическую модель решения задач на оптимизацию.

Анализ учебников по алгебре и начала анализа 10-11 классов дал  некоторые представления и особенности изучения  решения текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин с помощью дифференциального исчисления, предлагаемые Ш.А. Алимовым, Н.Я. Виленкиным, А.Н. Колмогоровым. Среди названных авторов имеются различия, но самое главное  у них общее одно, что учащимся предлагается сначала нахождение наибольшее и наименьшее значение на отрезке, а потом вводится математическая модель в виде схемы (правила) для решения задач на оптимизацию.

Методика введения нового материала требует познакомить учащихся с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции на различных промежутках.

Работа ведения может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и обоснования соответствующего правила.

После усвоения учащимися правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно перейти к решению текстовых задач, опирающихся на использование этого правила. Практические задачи необходимо включать на отрезке, на интервале или полуинтервале.

Как говорилось выше, для решения таких задач необходима математическая модель. Условно ее разделяют на две части: формализация (составление уравнений) и интерпретация (решение уравнений). Такое разделение можно применить и при изучении решении задач с учащимися.

Мышление в данном процессе выступает как решения задач, под «решением» задачи которым понимают не только результат (solution), но и процесс достижения этого (solving). Для этого необходимо уметь выделять и анализировать существенные, но, как правило, не воспринимаемые наглядно свойства предметов и явлений, устанавливать закономерности их взаимосвязей.

Опираясь на вышеизложенные сведения, нами был разработан и проведен факультативный курс «Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин с помощью дифференциального исчисления» для учащихся 10-11 классов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализы, учебник для 10-11 классов ср. шк. /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров. – М.: Просвещение, 1992.- 254 с.

2. Блох, А.Я. Методика преподавания математики в средней школе /под общ. ред. А.Я Блох, В.А.Гусев. – М.: Просвещение,1987. – 389 с.

3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов /Н.В. Богомолов. -  М., «Высшая школа», 1973 - 472 с.

4. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ 10 кл. Учебное пособие для школ. и кл. с углубл. изуч. Математики /Н.Я.  Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбург. -  11-е изд., стереотип. М.: Мнемозина, 2004. – 335с.

5. Высшая математика. Общий курс. Рабочая программа, методические указания и контрольные работы для студентов заочников I и II курсов специальностей: организация перевозок и управления на железнодорожном транспорте; экономическая математика и АСУ (ЭИ); экономика и управление на транспорте (Э). Всесоюзный заочный институт инженеров железнодорожного транспорта. М.: Москва, 1990 г.

6. Галицкий, М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: метод. рекомендации и дидакт. материалы: пособие для учителя  М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 1986.- 352 с.

7. Гусев, В.А. Справочник по математике /В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. - 3-е изд., перераб.-  М.: Просвещение, 1995.- 448 с.

8. Дункер, К.А. Подходы к исследованию продуктивного мышления: Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления /К.А. Дункер. – М.: 1981. – С. 37.

9. Зарудная, А.А. Психология /под ред. А.А. Зарудной. – Минск : «Вышэйшая школа», 1970. – 472 с.

10. Карлов, А.В. Общая психология: учебник /под общ. ред. проф. А.В. Карлова. – М.: Гардарики, 2005. – 232 с.

11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: учеб для 10-11 кл. общеобразов учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд. – 14-е изд. -  М.: Просвещение, 2004.- 384 с.

12. Кочетков, А.И. Как заниматься самовоспитанием /А.И. Кочетов.-Минск : «Вышэйшая школа», 1986. - 287 с.

13. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 классы: учеб. для общеобразов. учреждений  /А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2000. - 336 с.

14. Мочалин, А.А. Сборник задач по математике с решениями: учебное пособие 9-11 классы /А.А. Мочалин. – Саратов: «Лицей», 1998. – 128 с.

15. Немов,  Р.С. Психология: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений  /Р.С. Немов. – 3-е изд. Книга 1. Общие основы психологии. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 688 с.

16. Немов,  Р.С. Психология: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений  /Р.С. Немов. – 3-е изд. Книга 1. Общие основы психологии. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 688 с.

17. Нестеренко, Ю.В. Задачи вступительных экзаменов по математике /Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980 – 320 с.

18. Петровский, А.В. Психология: Словарь /под общ. ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. – 2-е изд., испр. и доп. – М: Политиздат, 1990 – 494 с.

19. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии /В.В. Прасолов. - 4-е изд. - М.: изд.-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000. – 584 с.

20. Психология: Курс лекций: учеб. пособие. – М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2006. -248 с.

21. Реанаи, А.А. Психология человека от рождения до смерти /
А.А. Раенаи. – Спб.: прайм – Еврозняк, 2002. - 656 с. - (Серия «Психологическая энциклопедия»).

22. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии /С.Л. Рубинштейн. - в 2 т. - Т. I. - М., 1989. - С. 369 - 370.

23. Саакян, С.М. Задачи по алгебры и началам анализа для 10-11 классов /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. -  М.: Просвещение, 1990.- 256 с.

24. Симонов, А.Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике /А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман, А.А. Бесчинская, Р.М. Мостовой, А.М. Абрамов.  -  М.: Просвещение, 1991.- 208 с.

25. Шклярский, Д.О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум  ∕Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М Яглом. -  
М., 1970. -  336 с.