Урок по алгебре по теме Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Дисциплина: "Алгебра и начала анализа"

Тема занятия: "Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке"

Вид занятия: Урок

Форма урока: Урок по изучению и первичному закреплению новых знаний

Методы обучения: Объяснительно-иллюстративный

Метод учения: Репродуктивный и частично поисковый

Цели урока:

Регулятивные: обеспечить изучение понятия наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и алгоритма вычисления наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с помощью производной.

Личностные: формировать основы гражданской идентичности личности и умение оценивать усваиваемый материал исходя из личностных ценностей.

Коммуникативные: способствовать  развитию логического мышления,  умений самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений общаться.

Познавательные: развивать навыки построения логической цепи рассуждений, способствовать развитию самостоятельного решения проблем, монологической и диалогической математической речи.

Ход урока

1. Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний и умений.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление.

5. Задание на дом.

6. Рефлексия.

1. Сообщение темы и целей урока.

Тема нашего урока “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке”.

Сегодня мы вместе с вами научимся с помощью производной находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.

Эпиграфом к уроку возьмем слова русского математика 19 века Пафнутия Львовича Чебышева. Он говорил, что  “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.                                                        

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения именно наибольшего и наименьшего значений функции. Это связано с тем, что в повседневной жизни приходится сталкиваться с тем, что надо определить наименьшие затраты на производство, наибольшую прибыль при сбыте продукции, определить оптимальную загрузку оборудования. И исходя из большой практической значимости, задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке включены в ЕГЭ  по математике, задание В14.

2. Актуализация знаний и умений.

а) Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной и исследования функции.  Ответьте на вопросы:

1. Что значит исследовать функцию на монотонность?
2. Сформулируйте теорему о монотонности функции.
3. Какие точки называют точками экстремума?
4. Сформулируйте теорему о экстремумах.
5. Начертите (в тетради, один у доски) схему, на которой показана связь между производной функции, характером монотонности на промежутках и характером экстремумов.
6. Каков алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

б) Работа по готовым чертежам.

Учащиеся на местах отвечают на поставленные вопросы, ответы заносят в таблицу.

На листах которые лежат перед вами в правом верхнем углу напишите свою фамилию, имя и класс.

Ваша задача ответить на поставленные вопросы, а ответы занести в таблицу.

Задание 1.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-10;4).

1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой   или совпадает с ней.
4. Найдите количество точек максимума функции  f(x).
5. Найдите количество точек минимума функции  f(x).
6. Найдите промежутки возрастания функции  f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
7. Найдите наибольшее значение функции. В какой точке оно достигается?
8. Найдите наименьшее значение функции. В какой точке оно достигается?

Проверим: под правильным ответом ставим +, там где вы ответили неверно, ставим - .

Задание 2.

На рисунке изображен график производной функции  y=f(x), определенной на интервале (-7;5)

.

1. Найдите количество точек экстремума функции  f(x).
2. Найдите количество точек минимума функции  f(x).
3. Найдите количество точек максимума функции  f(x).
4. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите их количество.
5. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
6. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой  у = 2х + 5 или совпадает с ней.

Проверим: под правильным ответом ставим +, там где вы ответили неверно, ставим - .

в) Самостоятельное решение заданий.  (В тетрадях по вариантам, двое на откидных досках)  

Исследуйте функцию на монотонность, найдите точки экстремума и определите их характер.

1 вариант: .

2 вариант: .

Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте. Возьмите ручки с красной пастой. Проверяем. Поднимите руки, кто сделал правильно. Отложите листы, в конце урока сдадите на проверку.

3. Изучение нового материала.        

а) Задание: 

Посмотрите на следующий рисунок.

Рассмотрим возрастающую на отрезке [a;b] функцию:

в какой точке функция принимает наибольшее значение, а в какой наименьшее значение?

Сделаем вывод:

Если непрерывная функция _____________ на некотором отрезке, то своего наибольшего значения она достигает на ____________ конце отрезка, а наименьшего на _____________.

Задание:

На втором рисунке показана убывающая на отрезке [a;b] функция.

Определите по графику в каких точках функция принимает наибольшее значение, а в каких наименьшее значение.

Сделайте вывод:

Если непрерывная функция _____________ на некотором отрезке, то своего наибольшего значения она достигает на ____________ конце отрезка, а наименьшего на _______________.

Задание:

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число точек экстремума.

В каких точках функция принимает наибольшее значение, а в каких наименьшее значение?

Сделайте вывод:

Если непрерывная на некотором отрезке функция  имеет ______________, то своего наибольшего и наименьшего значения она может достигать как на ___________ промежутка, так и в точках _____________.

 А теперь скажите  мне, что же нужно сделать, чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке. (дети отвечают)

  Запишем алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке [а;b]:

1. найти производную f '(x) функции,
2. найти стационарные и критические точки, расположенные внутри отрезка,
3. вычислить значения функции в выбранных точках,
4. вычислить значения функции на концах отрезка,
5. из полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Посмотрите, опираясь на наши знания, мы ответили на главный вопрос нашего урока: Как найти наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке.

Открываем тетради и записываем тему нашего урока.

4. Закрепление.

Задание.

По записанному алгоритму найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

1. y = x³ – 27x  на отрезке [0; 4].

Рассмотреть два способа решения (смотреть презентацию).

Остальные задания выполняем в тетрадях с контролем решения на доске учениками.

2. y = x³ – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0]   Ответ: 6

3. y = x³ – 2x² + x +3 на отрезке [ 1; 4 ]  Ответ: 3

4.  на отрезке [ -3; 3 ] Ответ: 11

5.    на отрезке [-10; 1 ] Ответ: -12,5

6.(дополнительное) на отрезке [ 1; 9 ] Ответ: 37

7. y = 7cosx +16x – 2 на отрезке. Ответ: 5

8. y = 12cosx + 6√3 x – 2√3π + 6  на отрезке. Ответ: 12

5. Задание на дом.  

Учебник §32, п.1.

Задачник  №№ 32.10(а,б), 32.11(в,г), 32.12(а).

6. Рефлексия.

Продолжите фразы: Сегодня я узнал…

Теперь я могу…

Я научился…

Мне захотелось…