Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Тема: Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Цели: вывести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке и формировать умение его применять; продолжить формирование навыка: исследования функции на монотонность и экстремум с помощью производной, решение заданий типа В8 ЕГЭ.

Ход урока

1. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. По графику определить свойства функции. (слайд №3)

2.Работа проводится по заданиям типа В8 ЕГЭ, учащиеся выполняют задание самостоятельно, записывая ответы в тетрадь, затем идет проверка и комментарии. (См. приложение) (слайды №4-12)^[1]

3.По графику функции, изображенному на рисунке, найдите её наибольшее и наименьшее значения. В каких точках они достигаются?

III. Объяснение нового материала.

Рассмотреть график некоторой функции и предложить учащимся найти её наибольшее и наименьшее значения на различных отрезках.

а) [–8; –4];                б) [–6; –2];                в) [–4; –0];

г) [–2; 1];                д) [3; 4];                е) [4; 9].

Далее предложить учащимся сформулировать тему урока и определить его цели, после ответов учащихся записать тему урока.

После этого задать учащимся ряд вопросов и прийти к важным выводам.

1) Является ли функция, график которой изображен на рисунке, непрерывной?

2) На любом ли отрезке, определенном для данной функции, можно найти её наибольшее и наименьшее значения?

Вывод 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

3) В каких из рассмотренных случаев функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка?

4) В каких случаях функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений внутри отрезка?

Вывод 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

5) В случае в) чем являлись для функции точки, в которых она достигла наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке?

6) В каких ещё случаях функция достигла своего наибольшего и наименьшего значений в точках экстремума?

Вывод 3. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается внутри отрезка, то только в точке экстремума.

7) Может ли функция достигать своего наибольшего и наименьшего значений и не на концах отрезка, и не в точках экстремума?

Вывод 4. Своего наибольшего и наименьшего значений функция может достигать или на концах отрезка, или в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку.

Из всех полученных выводов вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, который учащиеся записывают в тетрадь.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке:

1. Показать, что функция непрерывна (записать D(y))
2. Найти производную функции
3. Вычислить точки экстремума, выбрать те из них, которые расположены внутри заданного промежутка.
4. Вычислить значение функции в точках, отобранных в шаге 3 и на концах промежутка, среди этих значение выбрать наибольшее и наименьшее.

IV. Формирование умений и навыков.

В первой группе заданий даны элементарные функции, наибольшие и наименьшие значения которых учащиеся смогут найти и без использования производной. А во вторую группу входят задания, при выполнении которых обязательно использование производной.

1-я группа.

1. № 32.1 (а; г) (№934(а,г))

Решение:

а) у = 3х – 6,    [–1; 4]

Рассуждения могут быть следующими:

– функция у = 3х – 6 является линейной;

– она монотонно возрастает на всей числовой прямой;

– своего наибольшего и наименьшего значений данная функция будет достигать на концах отрезка [–1; 4];

– поскольку функция возрастающая, то при х = –1 её значение будет наименьшим, а при х = 4 – наибольшим.

у (–1)= 3 · (–1) – 6 = –9

у (4) = 3 · 4 – 6 = 6

Ответ: унаим = –9;  унаиб = 6.

г)

данная функция монотонно убывает на своей области определения.

Ответ: унаим = 1,5;  унаиб = 10.

2. № 32.2 (б), № 32.3 (б), № 32.7 (б). (№936(б), 937(б), 940(б))

При выполнении данных заданий можно использовать два способа решения: воспользоваться знаниями о свойствах функций и используя производную. В этом случае работу можно организовать по группам

Решение:

№ 32.2 (б).

1-й способ.

Замечаем, что на указанном промежутке функция  у = cos х принимает все свои значения, то есть [–1; 1]. Значит, наибольшим значением функции  будет 2, а наименьшим –2.

2-й способ.

Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1)

2)       

На отрезке  получим два корня  и

3)

Ответ:

3. № 32.4 (в), № 32.5 (а; б).

При выполнении этих заданий также можно не использовать производную.

2-я группа.

1. № 32.6 (а). (№935(а))

Решение:

Здесь также можно использовать два способа.

1-й способ.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Своего наименьшего значения такая функция достигает в точке, которая служит вершиной этой параболы. Найдем её:

Эта точка входит в рассматриваемый промежуток, причём х = 4 является осью симметрии параболы. Значит, наибольшего значения функция достигает в точке х = –1.

Ответ:

2. № 32.8 (а). (№941(а))

Функцию, предложенную для рассмотрения в этом упражнении, можно исследовать на наибольшее и наименьшее значения только с помощью производной.

3. № 32.12. (№945)

Решение:

           1)

2)                 

     х – 1 = 2                или        х – 1 = –2

        х = 3                                х = –1

3) а) [2; 4].

Данному отрезку принадлежит точка х = 3.

Ответ:

б) [–2; 0].

Данному отрезку принадлежит точка х = –1.

Ответ:

При выполнении данного задания можно предложить индивидуальную работу более сильным учащимся, которые смогут самостоятельно применить алгоритм.

№ 32.10 (№943)

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Всегда ли непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Если функция монотонно возрастает на отрезке, то в какой точке она достигает наибольшего значения?

– В каких точках функция может достигать наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Опишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Домашнее задание: № 32.2 (в), № 32.11. (№ 935(в), 942) ^[2]

Вариант ЕГЭ (часть С – для более сильных учащихся обязательна, для остальных по желанию).