Урок алгебры в 10 классе по теме "Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

 Тема  урока. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Цели:

• Образовательная научить находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке, сформулировать основные теоретические  положения, рассмотреть алгоритм решения такого вида задач, отработать шаги алгоритма, рассмотреть частные случаи;
• Развивающая развивать умение работать в команде( паре), умение читать график функции, анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы, развивать исследовательские умения.
• Воспитательная воспитывать упорство, трудолюбие, открытую познавательную позицию.

Ход урока

1. Оргмомент.  Здравствуйте ребята. Садитесь. Начнем наш урок.
2.  Тестирование.  

Для начала, я предлагаю вам проверить вашу готовность к уроку  с помощью небольшого теста.

Вариант 1.

2. Найдите значение выражения 6x1 + x2, где x1- точка минимума, x2 - точка максимума функции

1) 9; 2) 5; 3) –1; 4) -3.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку минимума:

1) –1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.

1. Найдите промежутки возрастания функции

1) (0; 6); 2) (-∞; 0); 3) (6; +∞); 4) (0;1/6).

Вариант 2.

2. Найдите значение выражения 3x1 + x2, где x1- точка максимума, x2- точка минимума функции

1) 7; 2) –9; 3) 8; 4) 4.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку максимума:

1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) 1.

1. Найдите промежутки убывания функции

1) (-∞; 0); 2) (0;1/2); 3) (0; 2); 4) (-2;0).

3. Самопроверка и самооценка

 Обменяйтесь листочками.  За каждый правильно решенный пример «+» - 1 балл. Поставьте оценки.  Если получили 3 б – «5»,  если одна ошибка – «4», если 2 ошибки – «3»

Ответы  434,  341

Какие примеры вызвали затруднение? Что необходимо уточнить?

4. Коррекция знаний

 1) Задания на вычисление производных.

у=(2х +5)5

у=х5 + 3х4 -2х – 5

2) Сформулируйте, какие точки называются стационарными? -/- критическими?

Назовите стационарные и критические точки по графику функции

3) Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.

3. Сформулируйте признак максимума.
4. Сформулируйте признак минимума.
5. Назовите по данным таблицы промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и точки минимума.

5. Отчет творческой группы ( Черепанова Ф. и Хандогиной А.) – анализ открытого банка заданий – типы задач. Планы их решения.  

Итак, девочки выяснили, что в заданиях ЕГЭ, существует новый класс задач, задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.  Скажите пожалуйста, а можем ли мы  найти наибольшее и наименьшее значения функции каким - нибудь способом? Да , с помощью графика функции. А легко ли это делать?..

        Сегодня мы будем искать более простые пути решения данной задачи.

Итак. Тема урока «Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке».

6. Мотив изучения новой темы.

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н.И. Лобачевский

                Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или как часто говорят, оптимального  решения поставленной задачи. Как, располагая определенными  ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затрат времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не  все такие задачи поддаются математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддается исследованию с помощью методов математического анализа – это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.

                Наиболее важной для приложений ситуацией является следующая: функция y=f(x) задана на [a;b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Необходимо найти её наибольшее и наименьшее значение на [a;b].

7. Организация (исследовательской) работы групп

Ведение алгоритма

Сегодня я предлагаю вам выступить в роли исследователей. Разобьемся по парам. Каждая пара получает задание, выполнение которого должно привести вас к алгоритму решения таких задач,  задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. На выполнение работы – 10 минут

8. Анализ результатов работы групп.

Результаты работы :

Выводы обсуждают  с помощью мозгового штурма. Обобщают, уточняют и озвучивают.

Итак, в ходе работы  вы получили несколько важных выводов. Послушаем их.

Должны быть сделаны следующие выводы:

1. Если  функция непрерывна  на отрезке [a;b], то она достигает на нем своего наибольшего и своего наименьшего значения.
2. Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее ( или наименьшее) значения функции достигается внутри отрезка, то либо  в критических точках, либо в стационарных точках.
4. Если  функция y=f(x) не имеет на отрезке[a;b] критических и стационарных точек, тогда

а) если f´(x)>0 на (а; b)⇒< f(x) – возрастает на [a;b], поэтому  наибольшее значение на отрезке функция  принимает  в точке b ( правом конце промежутка), а наименьшее в точке а ( в левом конце промежутка).

б)  если f´(x) <0 на (а; b)⇒ f(x) – убывает на [a;b], поэтому  наибольшее значение на отрезке функция  принимает  в точке а (в левом конце промежутка), а наименьшее в точке b ( в правом конце промежутка).

На основании выше сказанного вы сформировали алгоритмы.  Давайте на них посмотрим.

( Если не видно, то обменяться)

5 Усвоение алгоритма

  Для чего нам в математике нужны алгоритмы? Чтобы научиться решать задачи.

Великий математик Д.... Пойя говорил:    

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…

 Д. Пойя

 Поэтому, я предлагаю вам рассмотреть  образец решения задачи (  на интерактивной доске) Выделите шаги алгоритма в её решении.

Есть ли шаги, которые приведены в решении, но не прописаны в нашем алгоритме?

Как дополнить наш алгоритм

Какие шаги алгоритма мы умеем выполнять?

Какие шаги  новые для нас?

  Алгоритм

1. Найти D(f), содержится ли [a;b] в D(f)
2. Определить непрерывность и дифференцируемость функции на D(f)
3. Найти  производную f´(x)
4. Найти стационарные и критические точки функции.
5. Выбрать те , которые лежат внутри отрезка [a;b]
6. Вычислить значения функции y=f(x), в отобранных на пятом  шаге и  на концах отрезка
7. Выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет унаим) и наибольшее ( это унаиб)

Отработка шагов алгоритма

1. Выбрать особые точки, которые принадлежат отрезку. Функция у=f(x), непрерывна на отрезке[a;b] и имеет на нем

критические точки: -2 и 1;

стационарные точки: -4; 0; 5.

Выберите из них те, которые принадлежат  промежутку:

а) [10;12]     б) [ -7; 3]        в)(-3;6)           г)(0;5)

 Все ли понятно? Решим такой пример у доски.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) =x4-2x2-3 на отрезке [0;2]  ( 1 ученик у доски маркерная остальные на месте)

Рассмотрите следующее задание. Отличается ли оно от предыдущего?  Решите его самостоятельно. У доски Фаина

3. f(x) =2x3-3x2-12x+1  [4;5]  (стационарные и критические точки функции не принадлежат отрезку)

Учащиеся решают по алгоритму (1 ученик молча у доски, остальные самостоятельно, само и взаимопроверка)

Итак, какая же ситуация возникла в этом примере?  Оказалось, что на отрезке нет критических и стационарных точек. Что же это значит для функции.  то она монотонна.  На каких рисунках,   на ваших листах, были монотонные функции? В каких точках достигались наибольшее и наименьшее значения. А значит достаточно узнать характер её монотонности, чтобы выяснить в какой точке она достигает наибольшего, а в какой наименьшего значения.

На интерактивной доске 2 способ решения (определить монотонность функции с помощью производной)

4. f(x) =-x3-3x2+9x-1  (-2;2)  (одна точка принадлежит интервалу)

Учащиеся решают по алгоритму у доски

Чем отличается этот пример от предыдущего?  Какие шаги алгоритма мы можем выполнить , какие нет? Как поступить? Что может помочь? (  Если учащиеся применят монотонность , то сразу перейти на теорему)

На интерактивной доске  2 способ (с помощью промежутков монотонности функции  )

Из этого способа следует

Вообще справедлива теорема ( в презентации)

Если функция у=f(x), непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную  стационарную или критическую точку х=х0, тогда:

 А) если х=х0 – точка максимума, то унаиб= f(x0), ( рис 1)

Б) если х=х0 – точка минимума, то унаим= f(x0),(рис2)

                  Рис 1                                        рис2

6 Закрепление алгоритма  № 948 (а) ( на луче) – самостоятельно с помощью учителя

7 Итоги урока

Чем занимались на уроке?(Познакомились с  новым видом задач на наибольшее и наименьшее значения функции)

Каков  алгоритм решения этих задач?

Какие частные случаи могут возникнуть?

Что помогало на уроке?

9. Тестирование.  

Вариант 1.

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

1) –8; 2) –11; 3) 12; 4) 8.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

1) 17; 2) 16; 3) 13; 4) 20.

8 Домашнее задание

Алгоритм, конспект, № 941 – 943(а), 947 ( а, б) на лучах  935 (а,б) для одной функции на разных отрезках.

  2 группа + Пример 2, с. 201 – его особенности, план решения.

Задания для работы на уроке

1. Рассмотрите образец решения задачи и выделите шаги его решения.

Решите задания

1.  Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) =x4-2x2-3 на отрезке [0;2] .

4. Решите самостоятельно №948а

5. Проверь и оцени свою работу.

Вариант 1.

1. Найдите промежутки возрастания функции

1) (0; 6); 2) (-∞; 0); 3) (6; +∞); 4) (0;1/6).

2. Найдите значение выражения 6x1 + x2, где x1- точка минимума, x2 - точка максимума функции

1) 9; 2) 5; 3) –1; 4) -3.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку минимума:

1) –1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.

Вариант 2.

1. Найдите промежутки убывания функции

1) (-∞; 0); 2) (0;1/2); 3) (0; 2); 4) (-2;0).

2. Найдите значение выражения 3x1 + x2, где x1- точка максимума, x2- точка минимума функции

1) 7; 2) –9; 3) 8; 4) 4.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку максимума:

1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) 1.

Цель групповой работы: Сформулировать  основные теоретические факты по теме, сформировать алгоритм решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Задание группам

1. Рассмотрите рисунки и ответьте на вопросы

1. Непрерывна ли функция на отрезке [a;b]?
2. Найдите стационарные и критические точки.
3. В какой точке  достигается унаиб?
4. В какой точке   достигается унаим?

2. Сделайте выводы:

А) В каких точках функция может принимать свое наибольшее и наименьшее значения?

_______________________________________________________________________

Б) Если наибольшее ( наименьшее) значения функции достигаются  во внутренних точках отрезка [a;b], то какие это могут быть точки?

_______________________________________________________________________

В) Всегда ли непрерывная на отрезке [a;b] функция имеет и наименьшее и наибольшее значение?__________________________________________

3. Закончите предложения.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем  и своего _______________и своего___________________ значения.

2) Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать, как на ________________________, так и внутри него.

3) Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в ________________________ или _____________________ точке.

4. Ответьте на вопросы.

1) На каких рисунках функция не имеет стационарных и критических точек?___________________________________________________________

2) Охарактеризуйте монотонность функций на этих рисунках. ___________________

_________________________________________________________________________

3) В какой точке достигаются унаиб  и унаим, если функция убывает на отрезке [a;b]?

_________________________________________________________________________

4) В какой точке достигаются унаиб  и унаим, если функция возрастает на отрезке [a;b]?

_________________________________________________________________________

5.   Закончите предложения. 

Если  функция y=f(x) не имеет на отрезке[a;b] критических и стационарных точек, тогда

а) если f´(x)>0 на (а; b)⇒ f(x) – возрастает на [a;b], поэтому  наибольшее значение на отрезке функция  принимает  в точке b ( _______ конце промежутка), а наименьшее в точке а (__________ конце промежутка).

б)  если f´(x) <0 на (а; b)⇒ f(x) – убывает на [a;b], поэтому  наибольшее значение на отрезке функция  принимает  в _________ (___________________), а наименьшее в _____________ ( _________________________).

Что необходимо знать, чтобы найти унаиб  и унаим, для функции на отрезке [a;b], если функция непрерывна на этом отрезке?

1)______________________________________________________________________

2)____________________________________________________________

____________________________________________________________

6. Предложите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. (   Оформите ваш алгоритм на большом листе маркером)

7. Обсудите результаты работы групп с учителем и классом.  Уточните и запишите  алгоритм.

АЛГОРИТМ

___________________________________________________________

__________________________________________________________

___________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

8. Работайте по распечатке №2 Задания на урок.

Теорема

 Теорема: Если функция у=f(x)непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую  точку х=х0, тогда:

а)________________________________________________________

б)_________________________________________________________

9. Тестирование.  

Вариант 1.

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

1) –8; 2) –11; 3) 12; 4) 8.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

1) 17; 2) 16; 3) 13; 4) 20.

9. Тестирование.  

Вариант 1.

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

1) –8; 2) –11; 3) 12; 4) 8.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

1) 17; 2) 16; 3) 13; 4) 20.