«Решение тригонометрических неравенств с параметрами»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

 Избранные вопросы математики:

«Решение тригонометрических неравенств с параметрами»,

учитель математики М.Е.Квиткова,

МАНОУ «Лицей № 4» Ленинск-Кузнецкий городской округ.

     Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

ЕГЭ также не обходится без заданий с параметрами:  С5 содержит  такие задачи. И это отнюдь не дань моде, как принято считать. Это связано с высокой диагностической и прогностической ценностью задач с параметрами, которая заключается прежде всего в возможности выявить знание основных разделов школьной математики, уровень логического мышления и  математической культуры, показать способность ученика к творчеству, к умению анализировать, обобщать. Ведь в отличие от большей части учебных задач, имеющих определённый алгоритм решения, требующих лишь слепого следования последнему, они побуждают учеников к поиску, нестандартному подходу к их решению.

     При этом решение таких задач вызывает у школьников значительные затруднения. Как правило, трудно - решаемыми (или задачами повышенной сложности) заданиями на ЕГЭ являются задачи с параметрами. Трудности вызваны, прежде всего, тем, что задача с параметром предполагает не только умение производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Для успешного решения таких задач необходимо рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), что приучает к внимательности и аккуратности. Даже при записи ответа нужно быть предельно сосредоточенным, чтобы не упустить ни одной из его частей, полученных в ходе решения.

 Начинать знакомство с параметрами нужно раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

Решение тригонометрических неравенств с параметрами.

     Тригонометрическими неравенства – это неравенства, содержащие неизвестные только под знаком тригонометрической функции.

     Например, неравенство   тригонометрическое относительно х. При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используются периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. 

                                                              Рис. 1

При решении неравенств вида где — периодическая функция с периодом Т, следует сначала решить это неравенство на одном периоде, например для  а затем получившееся решение периодически продолжить.

В некоторых случаях тригонометрическое неравенство сводится к решению элементарных неравенств вида  и т. д.

Рассматривая график соответствующей тригонометрической функции или изучая ее изменение на тригонометрическом круге, выписываем ответ для одного периода, а затем к обеим частям полученного неравенства прибавляем ,  где Т - период. Так, решением неравенства будет совокупность интервалов

Функция  имеет наименьший положительный период    Поэтому неравенства вида

                                                                          (1)

                                                                          (2)

 достаточно решить сначала на каком- либо отрезке длины  Множество всех решений получим, прибавив к каждому из  найденных  на этом отрезке решений числа вида

     Неравенство (1) удобно решать сначала на отрезке .

Основным методом решения тригонометрических неравенств является метод интервалов.

      Пример1.   Решить неравенство относительно х.   

      Решение:  Для решения его на единичной окружности с центром в начале координат (рис. 1) находим две точки, ордината каждой из которых равна 0,5. Одна из них является концом каждой из дуг множества   а   другая -  концом   каждой   из  дуг  множества  

   Из рисунка видно, что данное   неравенство  справедливо   при

     Ответ: при а > 0 получим:               Рис.1.                                                  

при а < 0    

при а = 0 решений нет.

 Пример2.   при 0 < b < 1. 

     Построив на единичной окружности две точки с ординатой, равной b, (рис. 2), заметим, что данное неравенство справедливо при                                                                  

                                                Рис. 2

      Ответ:   при     а > 0           

                       при     а < 0                 

                       при  а = 0  х – любое действительное число.

     Пример3.  , где   

     Решение: Найдя на единичной окружности

две точки, абсциссы которых равны  (рис. 3),

заметим, что данное неравенство верно при

                                                                                                         Рис.3.

     Ответ:        

     Пример4. 

    Решение: На оси тангенсов (рис. 4) находим точку К, ордината которой равна . Точка пересечения отрезка ОК  с  окружностью является концом дуги . Учитывая, что период тангенса равен , приходим к заключению, что данное неравенство справедливо  при 

Или                                                                                                  Рис.4.

     Ответ: При   а < 0   

при       .

 при  а = 0 неравенство принимает вид:  следовательно при а = 0 и при  .

Рассмотрим решение более сложных неравенств.

Пример5.  При каких а неравенство

выполняется при всех х?

     Пользуясь очевидным тождеством

перепишем данное неравенство в виде

     Левая часть этого неравенства является квадратным трехчленом относительно z = sin x cos x; старший коэффициент этого трехчлена  равен -3. В задачах рассматриваемого типа удобнее иметь дело с трехчленами с положительным старшим коэффициентом. Поэтому рассмотрим неравенство

     В этом месте многие учащиеся считали, что дальнейшая цель состоит в том, чтобы найти такие значения параметра а, при которых квадратное неравенство (2) выполняется для всех z. Они основывались, видимо, на том, что данное в условии неравенство должно выполняться для всех х. Однако условие, что х принимает все значения, вовсе не означает, что и z принимает все значения - ведь  а потому z может принимать значения только из отрезка  

Таким образом, правильная переформулировка задачи будет следующей: при каких значениях параметра а неравенство (2) выполняется для всех  из отрезка

Число а удовлетворяет требуемому условию в том и только в том случае, когда трехчлен  принимает отрицательные или нулевые значения в точках  и . Тем самым мы приходим к системе неравенств

решения этой системы, а следовательно, и исходной задачи, таковы:

Ответ: 

Заключение.

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют  интеллект, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на элективных курсах -это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Рекомендуемая литература

1.      Мордкович А.Г. Уравнения и неравенства с параметрами // Математика (приложение к газете «1 сентября»). – 1994, №36.
2.      Ястребинский Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. – М.: Просвещение, 2008 – 128 с.
3. Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с.
4. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
5. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
6. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве », 2004. – 304с.
7. Математика в школе (научно – теоретический и методический журнал),  № 1. Школа -  Пресс, 2002. стр. 47.
8. Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. –М.: Научный мир,2011-316с.: 262 ил.