Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение г. Владимира

«Средняя общеобразовательная школа №36»

Преобразование графиков функций

занятие элективного курса по математике в 8 классе

Учитель математики: Андрианова Н.Ф.

Владимир 2010

Оглавление

Цели урока………………………………………………………………………….……………..3

Ход занятия……………………………………………………………………………………….3

I). Повторение основных понятий, необходимых для изучения данной темы……………....3

II). Подготовка к изучению нового материала…………………………………………………4

III). Изучение нового материала (при помощи CD, просмотр фрагментов)…………………5

IV). Пример построения графика функции…………………………………………………….5

V).Решение задач на построение графиков способом преобразования……………………..18

VI). Обсуждение графика функции y=2∙|||x+1|-2|-3|…………………………………………...13

VII). Обсуждение графиков функций, которые могут быть получены из графика  функции у=2|||х+1|-2|-3| при помощи преобразований…………………………………………………..14

VIII). Движение осей координат относительно графика        ……………………………………..16

IX).Возможные  варианты домашнего задания………………………………………………..17

Литература……………………………………………………………………………………….19

Цели урока: 1) продолжить формирование понятия функции, графика функции, области      

                             определения и области значений функции;

                         2) совершенствовать навык построения графиков элементарных функций;

                         3) формировать навык построения графиков функций при помощи сдвига,      

                            деформации, симметрии;

                        4) подготовка к изучению темы 9 класса «Построение графика квадратичной  

                         функции вида  и ».

Ход занятия

I). Повторение основных понятий, необходимых для изучения данной темы.

   1)  Какую зависимость между величинами называют функциональной зависимостью?

        Функциональной зависимостью (функцией) называют такую зависимость при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

    2)  Дайте определение графика функции.

         Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы, которых равны значению аргумента, а ординаты - значениям функции.

    3)  Что называют областью определения функции?

          Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область  определения функции.

   4) Что называют областью значений функции?

           Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область  значений функции.

    5) Какие способы задания функции вы знаете?

            Функцию можно задать при помощи формулы, таблицы, графика и словесно.

6. Какие функции вы знаете?          

 Прямая пропорциональность (), обратная пропорциональность (),    

        линейная функция (), модуль числа (), , .

II). Подготовка к изучению нового материала. (Устная работа.)

     а) Соотнесите график функции с её аналитической записью:

1) ;  2) ;  3) ; 4) ; 5)  ;  6) ;  7) ;   8) .

б) Охарактеризуйте график функции:

 в) Задайте формулой график прямой пропорциональности (обратной пропорциональности), если известно, что они проходят через точку  М(2;-4).

 г)  График, какой функции:

    является:

а) гиперболой;

б) параболой;

в) кубической параболой.

III). Изучение нового материала (при помощи CD, просмотр фрагментов).

Преобразование графиков.

 Сдвиг.

Симметрия.

Деформация.

IV). Пример построения графика функции.

      (при помощи  CD, с последующей записью в тетрадь)

V).Решение задач на построение графиков способом преобразования.

   Построить график функции: .

Построение графика этой функции проведём в несколько приёмов.

1. y = x

 график – прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к положительному направлению оси абсцисс.

2)

график - два луча с началом в начале отсчёта, которые являются биссектрисами I и II координатных углов.

3)

график искомой функции может быть получен при помощи сдвига графика  функции  вдоль оси абсцисс на 1 единичный отрезок вправо.

4) -2

график искомой функции может быть получен при помощи сдвига графика  функции   вдоль оси ординат на 2 единичных отрезка вниз.

5)

график искомой функции может быть получен из графика функции

у=|x+1|-2, при этом часть исходного графика, находящаяся в нижней полуплоскости относительно оси абсцисс, отображается на симметричную ей относительно оси абсцисс.

6)

график искомой функции может быть получен из графика функции

у=||x+1|-2| при помощи сдвига вниз относительно оси ординат на три единичных отрезка.

7)

график искомой функции может быть получен из графика функции

у=||x+1|-2|-3, при этом часть исходного графика, находящаяся в нижней полуплоскости относительно оси абсцисс отображается на симметричную ей относительно оси абсцисс.

8)

график искомой функции может быть получен из графика функции у=|||х+1|-2|-3| (на рисунке этот график показан черной сплошной линией) при помощи деформации

(точки, находящиеся на оси абсцисс остаются на своём месте, а все остальные точки исходного графика перемещаются вверх, их ордината увеличивается в три раза).

VI). Обсуждение графика функции y=2∙|||x+1|-2|-3|.

1. Назовите область определения данной функции.

Областью определения данной функции являются все действительные числа.

2. Назовите область значений данной функции.

Областью значений данной функции являются все положительные числа.

3. Назовите наибольшее значение функции на промежутке [-6;6].

      Наибольшее значение функции на промежутке [-6;6] равно 6.

4. Можно ли указать наибольшее значение функции?

Нет.

5. Укажите наименьшее значение функции, при каких значениях аргумента  функция принимает эти значения?

Наименьшее значение функции равно 0, при х=-6 и х=6.

6. Укажите значение y, при котором значение х=1; х=-1; х=-6; х=-3.

Если х=1, то у=6.

Если х=-1, то у=2.

Если х=-6, то у=0.

Если х=-3, то у=6.

7. Укажите значение х, при котором значение у=6; у=2; у=1.

      При у=6, х=-9;-3; 1; 7.

      При у=2, х=-7;-5;-1; 3; 5.

      При у=1, х=-6,5;-5,5; 3,5; 4,5.

8. Укажите область определения функции у=-2|||х+1|-2|-3|.

Областью определения являются все действительные числа.

9. Укажите область значений функции у=-2|||х+1|-2|-3|.

Областью значений данной функции являются все неотрицательные числа.

10. Как получить график функции у=-2|||х+1|-2|-3| из графика функции

       у=2|||х+1|-2|-3|.

             Чтобы получить график функции у=-2|||х+1|-2|-3| из графика функции

       у=2|||х+1|-2|-3| необходимо построить график, симметричный данному

       относительно оси ординат.

VII). Обсуждение графиков функций, которые могут быть получены из графика  функции у=2|||х+1|-2|-3| при помощи преобразований

(отображение относительно оси абсцисс, ординат, деформации, сдвига).

1. у=-2|||х+1|-2|-3|

График искомой функции может быть получен из графика  функции у=2|||х+1|-2|-3| (на рисунке этот график показан черной сплошной линией) при помощи симметрии относительно прямой абсцисс.

2. у =3|||х+1|-2|-3|

График искомой функции может быть получен из графика  функции у=|||х+1|-2|-3| (на рисунке этот график показан черной сплошной линией) при помощи деформации

(точки, находящиеся на оси абсцисс остаются на своём месте, а все остальные точки исходного графика сдвигаются вверх, их ордината увеличивается в три раза).

3. у=2|||-х +1|-2|-3|  

График искомой функции может быть получен из графика  функции у=2||| х +1|-2|-3|  (на рисунке этот график показан черной сплошной линией) при помощи симметрии относительно оси ординат.

4. у=-2|||-х+1|-2|-3|

График искомой функции может быть получен из графика  функции у=2|||-х +1|-2|-3|  (на рисунке этот график показан черной сплошной линией) при помощи симметрии относительно оси абсцисс.

График искомой функции может быть получен и из графика функции у=-2|||х +1|-2|-

-3|  (на рисунке этот график показан сплошной коричневой линией) при помощи симметрии относительно оси ординат.

VIII). Движение осей координат относительно графика.

Достаточно часто удобно производить не передвижение графиков, а передвижение системы координат относительно графика функции (особенно тогда когда график функции имеет сложный вид).

Рассмотрим пример: построим график функции у=.

I способ преобразования графика – сдвиг.

            График данной функции может быть получен при помощи: сдвига влево вдоль оси абсцисс на 2 ед., а затем вниз на 4 ед. вдоль оси ординат графика функции у=.  

II способ - движение осей координатных осей.

            График данной функции может быть получен при помощи сдвига осей координат сначала вправо на 2 ед., а затем вверх на 4 ед., при этом сам график функции у =остаётся на месте.

IX).Возможные  варианты домашнего задания.

1). Постройте графики функций:

      Укажите область определения и область значения каждой функции.

2). Постройте графики функций:

      Укажите область определения и область значения каждой функции.

3). Постройте графики функций:

       1).

      Укажите область определения и область значений каждой функции.

4). Постройте графики функций:

     Укажите область определения и область значений каждой функции.

5). Постройте графики функций:

       1)

       Укажите область определения и область значений каждой функции.

6). Постройте графики функций:

      1)

       Укажите область определения и область значений каждой функции.

7). Постройте график функции:

Укажите область определения и область значений каждой функции.

8).Постройте график функции:    

Укажите область определения и область значений каждой функции

Литература:

1). Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. Учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,

К.И. Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. - 6-е изд.-М.: Просвещение, 1998.-240 с.

2). Алгебра 8:Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений  / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. - 6-е изд.-М.: Просвещение, 1998.-240 с.

3). Сборник задач по алгебре: Учеб. Пособие для 8-9 кл. с углубл. Изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М.Гольфман, Л.И.Званич.-9-е изд.-М.: Просвещение, 2003.-271 с.

4). CD, Алгебра, КОРДИС & МЕДИА, 2001, КУДИУ.

5). Master Graph (компьютерная программа).