Методическая разработка по математике "Решение тестовых задач Единого Государственного Экзамена по математике: задачи на движение"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Администрация Щелковского муниципального района Московской области

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 6

Щелковского муниципального района Московской области

141100, Московская область, г. Щелково, 1 – й Советский пер., д. 32

Тел. (факс): (56)2-78-00    

Методическая разработка по математике  « Решение тестовых задач единого государственного экзамена по математике: задачи на движение»

                                                Учитель математики:

                                                Калашникова Любовь  Михайловна

                                                 E-mail : 89104646279@mail.ru

                                        2014 год

Решение задач на движение.

Подготовка к решению задач.

Учащимся предлагаются алгоритмы  решения задач.

1. Движение на встречу:

Если расстояние между телами S, а их скорости V 1 и V 2, то время Т, через которое они встретятся, находятся в формуле:

T=

V1                                 V2

|                                    |

А                   s                    В

2. Движение вдогонку:

Если расстояние между телами равно S они движутся по прямой в одну сторону со скоростями V 1 и  V 2 соответственно (V1  V2) так что первое тело следует за вторым , то время Т, через которое первое догонит второе, находится по формуле : Т=

V1                                 V2

|                                    |

А                  s                     В

Устная работа.

Используя данный алгоритм, решите задачи по готовым чертежам.

1. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км , навстречу друг другу одновременно выехали два джипа, через сколько часов они встретятся, если скорость одного из них 160 км/ч. а  другого 120  км/ч.
2. С  двух станций, расстояние между которыми 640  км, вышли одновременно на встречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше? Через сколько часов произойдет встреча.
3.  По дороге движутся на встречу друг другу пешеход  и велосипедист. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость пешехода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 9 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час, 2 часа, 4 часа. Через сколько часов пешеход и велосипедист встретятся?
4. Два пешехода отправляются из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между ними станет равным 200 м?
5. Расстояние между двумя черепахами 180 см. Одна черепаха догоняет другую. Скорость первой черепахи 70 см/мин, а второй 130 см/мин. Через сколько минут вторая черепаха догонит первую?

Письменное выполнение тренировочных задач с использованием ИКТ.

1. Из городов  А и В, расстояние между которыми равно 440 км, навстречу друг другу одновременно выехали 2 автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 260 км от города В. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из город А? ответ дайте в км/ ч.

Решение:

1)440:4=110 ( км/ч)- скорость сближения автомобилей

2) 260:4=65 ( км/ч)- скорость второго автомобиля

3)110-65=45 ( км/ч)- скорость первого автомобиля

Ответ: 45 км/ч

2. Расстояние между городами А и В равно 580 км. Из города А в город В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через 2 ч после этого на встречу ему из город В выехал со скорость 60 км/ч второй автомобиль. Через сколько часов после выезда второго автомобиля они встретятся?

Решение:

1)80×2=160 ( км) проехал первый автомобиль за 2 часа

2)580-160=420 ( км) осталось проехать двум автомобилям

3)80+60=140 ( км/ч)- скорость сближения автомобилей

4)420:140=3 ( ч)- произойдет встреча.

Ответ : 3 часа

3) Расстояние между городами А и В равно 380 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал автомобиль, а через 2 ч после этого навстречу ему из город В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от город  А автомобили встретятся? Ответ дать в километрах.

Решение:

1) Можно ли найти расстояние, когда автомобили одновременно будут двигаться навстречу друг другу? 380-50х1= 330 км.

2) Какова скорость движения автомобилей?50+60=110 км/ч

3) Через сколько часов произойдет встреча? 330:110= 3 ч

4)Как найти на каком расстоянии от город А они встретятся? 50+50х3=200 км

Ответ : 200 км

4. Расстояние между городами А и В равно 440 км. Из город А в город В со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, а через 3 часа после этого на встречу ему из город В выехал второй автомобиль. Найдите скорость второго автомобиля, если автомобили встретились через 2 часа после его выезжал  из город В. Ответ дайте в км/ч

Решение:

1. На какое расстояние до встречи проехал первый автомобиль? 60х4=300 км
2. Какое расстояние до встречи проехал второй автомобиль? 440-300=140 км
3. Какова скорость его движения? 140:2=70 км/ч

Ответ: 70 км/ч

5. Из города А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в  В  на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение:

Часто в задачах на движение всё расстояние принимается за 1, тогда:

1. Условие встречи =1
2. Условия различия времени проезда =2

4/3       

Решая данную систему, получаем Vb=2 км/ч не удовлетворяет

Vb =1\3 км/ч

1: 1/3= 3

Ответ: 3 часа.

6. Из города А и  В навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в 2 раза больше скорости второго, и он прибыл в В на 1 час быстрее, чем второй прибыл в А. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?

Можно решать задачу в буквенном выражении . Все расстояния обозначить на S, тогда:

  -= 1     S=2x

Тогда  t===   ч

Если V1 =V2то  t=1/2 часа

   - =

Задачи на движение можно решать графически.

1)Расстояние между А и В равно 450 км. Два автомобиля, двигаясь навстречу друг другу, проезжают данное расстояние один за 9 часов, второй  вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся.

По графику видно, что встреча произойдет через 3 часа. Так как S=50t ( зеленая линия), а S=100t ( красная линия)

2)Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пункта А и В соответственно. После встречи первый шел 25 минут до пункта В, а второй 36 мин до пункта А. Сколько минут они шли до встречи?

Если решать задачу алгебраически, то                                                            пусть х мин. время до встречи, тогда первый затратил от А до В (х+25 ) мин, а второй от В до А ( х+36) мин, если 1- все расстояние, то получаем уравнение:

  +=    

Данную задачу проще решить графически.  ( сделать чертеж самостоятельно).

Решение тренировочных задач на « Движение вдогонку»

   Задачи 1 и 2 решаем устно по готовым чертежам

1. Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причем город В расположен между городами А и С. Из города  А в сторону города С выехал легковой автомобиль и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через несколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкого автомобиля на 25 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние t = = 5 ч
2. Два пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 м.?

= =  =  м/мин ( что обозначает эта величина? Скорость  сближения или на сколько метров в минуту приближается один пешеход к другому)

 =200х  =12 минут

Для самостоятельного решения учащимся можно предложить следующие задачи.

1. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам? 720
2.  Один грибник идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой грибник — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? 1,2

3.Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

 4. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист? 4

5. Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч. 70

6. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. 240

7. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч. 50

8. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 80

Для приобретения навыка решения задач следует провести не менее 3 уроков по данной теме, а затем провести диагностическую работу следующего содержания.

1.Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч? 4

2. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

3.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. 10

4.Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 52

5.Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 32

Список используемой  литературы.

Дорофеев Г.В., Потапов М.К. Математика для поступающих в Вузы М. Дрофа, 1976 г и др.издания

Сергеев И.Н. ЕГЭ Математика. Задания типа С,  Москва. Экзамен 2009 г.

Сканави М.И.М.: Высшая школа, 1998 и др. издания. Сборник задач по математике

Шарыгин И.Ф решение задач. М.Просвещение, 1994

Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный конкурс по математике. Решение задач.

Шестаков С.А. Гущин Д.Д. ЕГЭ- 2012- 2014 гг. В14,