ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.
статья по алгебре (11 класс) на тему

ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.

При изучении данной темы широко используется материал в курсе алгебры 8 класса.

       Понятие параметра является важным математическим понятием, которое систематически используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах. Задания с параметрами включены в ЕГЭ.

       С понятием параметра ( без употребления этого термина ) учащиеся встречаются уже в курсе алгебры 7 класса при изучении линейных уравнений ах = в, ах + ву = с с одной и двумя переменными, при изучении линейной функции у = кх + в; в курсе алгебры 8 класса при изучении квадратных уравнений.

       Главная мысль, которую должны усвоить учащиеся,  что уравнения с параметром – это семейство уравнений. Определяемых параметром. Отсюда вытекает способ решения уравнения с параметром: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Этот смысл доводится до сознания учащихся путем рассмотрения конкретных примеров уравнений с параметрами.

       При решении уравнений с параметрами важно обратить внимание на запись ответа как составную часть решения уравнения. В ответе должно быть указано для каждого значения параметра ( или множество его значений ), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.

      Упражнения, направленные на разъяснение смысла, что значит решить уравнение с параметром,  и  на выработку умений решать линейные и квадратные уравнения, содержащие один параметр.

      Занятие 1.Что значит решить уравнение с параметром.

Решим задачу: «В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся на n больше, чем в седьмом, а в девятом на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек.» Обозначим через х число учащихся в седьмом классе. Тогда учащихся в восьмом классе было х + п, а в девятом классе х – 3. Имеем уравнение х + х + п + х – 3 =105

которое после упрощения примет вид: 3х = 108 – п. В этом уравнении буквой х обозначено неизвестное число, а буква   п выполняет роль известного числа ( хотя об п мы можем сказать лишь то, что п- натуральное число). Букву п в полученном уравнении называют параметром, а само уравнение – уравнением с параметром. Выразим х  через п. Получим х = (108 – п)\3, или х = 36 – п\3. Отсюда заключаем. Что в седьмом классе было 36 – п\3, в восьмом 36 + 2п\3, в девятом  33 – п\3 учащихся. Но это не окончательный ответ. Из условия задачи следует, что в каждом классе было не менее 30 человек. Так как меньшее  число учащихся может быть в седьмом  или девятом классе, то должны выполняться неравенства 36 – п\3 больше 30 и 33 – п\3 больше или равно 30. Отсюда получаем, что п меньше или равно 9. Из этого, и так как числа 36 – п\3, 36 + 2п\3. 33- п\3

- должны быть натуральными, следует, что п кратно 3. Учитывая эти два условия ( п меньше или равно 9 и п кратно 3), заключаем, что п равно 3, 6 или 9. Таким образом, окончательный ответ на вопрос задачи мы можем записать в виде: в седьмом классе было 36 – п\3 учащихся, в восьмом 36 + 2п\3, в девятом 33 – п\3, при п = 3; 6;9.. иначе говоря, возможны три варианта: в седьмом . в восьмом и в девятом классах могло быть соответственно 35, 38, 32, или 34, 40, 31, или 33, 42, 30 учащихся.

       С понятием параметра мы встречаемся при изучении линейных и квадратных уравнений, линейных и дробно линейных функций. Хотя термин «параметр» не вводится. Так в квадратном уравнении у = а + ву +с, коэффициенты  а, в, с  являются параметрами,  в уравнении у = кх + в коэффициенты к  и в так же являются параметрами.

         Рассмотрим уравнение в(в – 1)х = +в – 2, в котором буквой х обозначено неизвестное число. А буква в  выполняет роль известного фиксированного числа. Это уравнение является линейным уравнением с параметром в. Придавая в различные значения, мы будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами.

Например: при в = 2 получаем уравнение 2х = 4, при в = - 0,5 – уравнение 0,75х = -2,25,

при в = 0 – уравнение 0х = -2.

       При различных значениях в мы будем получать различные уравнения из данного семейства уравнений, определяемых параметром в.

       Уравнение 2х = 4 имеет единственный корень, уравнение 0,75х = -2,25 так же имеет единственный корень, уравнение 0х = -2 не имеет корней, уравнение 0х = 0 имеет бесконечное множество корней.

       Мы видим, что в зависимости от значения параметра в могут представиться разные случаи: уравнение может иметь единственный корень, может иметь бесконечное множество корней, может вообще не иметь корней.

       Итак, решая уравнение    в(в – 1)х =  + в – 2, мы должны рассмотреть случаи:

1. Когда в(в – 1) ;
2. Когда в(в – 1) = 0 и + в – 2  ;
3. Когда в(в – 1) = 0 и + в – 2 =0.

В результате получим следующие возможные решения:

при в  и в  уравнение имеет единственный корень х = (в + 2)/в;

при в = 0 уравнение корней не имеет;

при в = 1 уравнение имеет бесконечное множество корней, любое число является его корнем.

       Таким образом, для уравнения в( в – 1) = + в – 2  мы выявили различные значения параметра в  для каждого из которых определено соответствующее множество корней.

        Вообще, решить уравнение с параметром в – это значит установить соответствие. С помощью которого для каждого значения параметра в указывается множество корней соответствующего уравнения.

       Заметим, что если уравнение содержит параметр а, то допустимыми значениями параметра а считаются все те значения а, при которых выражения, входящие в уравнение имеют смысл. Например, допустимыми значениями параметра а в уравнении 5ах + 9 = 2а являются любые действительные числа, а в уравнении 8/(а – 2) + 15/ (х – 1) = 7 – все действительные числа отличные от 2. Если же уравнение с параметром составлено по условию задачи, то допустимыми значениями параметра считаются те, которые отвечают реальному смыслу задачи. Например, если параметром а обозначено число людей, то а может быть лишь натуральным числом.

       Занятие 2.  Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

Рассмотрим примеры решения уравнений с одним параметром.

Пример 1. Решим относительно х уравнение  х( – 1) = (а + 1)(1 – х).

Раскроем скобки и перенесем слагаемые, содержащие неизвестные, в одну часть уравнения, а слагаемые, содержащие известные. В другую часть уравнения. Получим уравнение, линейное относительно х:  а(а + 1)х = а + 1 .

Если а не равно нулю и а не равно -1, то х = 1/а. если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 1.

Это уравнение не имеет корней. Если а = -1, то имеем уравнение 0х = 0, корнем которого может служить любое число.

Ответ: при а  и а -1 уравнение имеет единственный корень х = 1/а; при а = 0 корней нет; при а = - 1 уравнение имеет бесконечное число корней, его корнем является любое число.

Пример 2.   Решим квадратное уравнение:   - вх + 4 = 0.

Найдем дискриминант уравнения: Д = - 16. Если в по модулю больше 4, т.е. если  в  меньше  -4 или в больше 4, то Д больше нуля. В этом случае уравнение имеет два корня:

.

Если  в = -4 или в = 4, то уравнение имеет единственный корень х = в/2. Если в больше -4 и меньше 4, то Д меньше нуля и уравнение корней не имеет.

Ответ: при в -4 или в4 уравнение  имеет два корня : = ;

             при  в = -4 и в = 4 уравнение имеет единственный корень х = ;

             при  -4  в  уравнение корней не имеет.

Пример 3.     Решим относительно х уравнение:   -  = .

Приведем уравнение к целому виду:   с- 6сх + 3х = 15 -5с.

Рассмотрим два случая, когда с = 0 и с.

 Если   с = 0, то имеем линейное уравнение 3х = 15. Отсюда х = 5.

Если с то имеем квадратное уравнение :  с- 3(2с – 1)х – (15 – 5с) = 0.

Найдем дискриминант уравнения  Д = 9 + 4с(15 – 5с) = 16  + 24с + 9 = .

При 4с + 3, уравнение имеет два корня:

 =  =  = ,         = =  = 5.

При 4с + 3 = 0, т.е. с = -    уравнение имеет единственный корень:    х = = 5.

Ответ:  при с  и с  -  уравнение имеет два корня:  =    и   = 5 ;

              при с = -     уравнение имеет единственный корень х = 5.

Пример 4.   Решим относительно х уравнение: х- ху + 5у = 7  в целых числах.

Решим это уравнение относительно х, т.е. букву у будем считать параметром. Имеем:

  х – ху = 7 – 5у,

х(1 – у) = 7 – 5у,

х =  .

Выделим из дроби       целую часть:   = =  - = 5 - .

Итак, х = 5 - .   Дробь     обращается в целое число лишь при тех значениях у, при которых  у – 1 является делителем числа 2, т.е. при у,  равном  -1; 0; 2 или 3.  Вычислим соответствующие значения х:

= 5 -  = 6;    = 7;     = 4.   Для каждого значения х найдем соответствующее ему  значение  у.  Для этого выразим из данного уравнения у через х :    ху – 5у  =  х  -7,

 у(х – 5) = х – 7,  у =   .   Подставляя  в эту формулу последовательно      найдем соответствующие значения у:     1 ;  = 0 ;  = 2  ;  

Ответ:   = 6,       = - 1,              

               = 7 ,    = 0 ,

                = 3 ,   = 2 ,

               = 4 ,    = 3.