Слайд 1

Слайд 2

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задани я С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств. Введение

Слайд 3

Часто , при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем: Теоретическое о боснование метода

Слайд 4

Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F ( x ) на более простое выражение G ( x ), при котором неравенство G ( x ) 0 равносильно неравенству F ( x ) 0 в области определения выражения F ( x ).

Слайд 5

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1 ) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств : ( 2) Сведение логарифмического неравенства к системе р ациональных неравенств

Слайд 6

Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство . Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана. Доказательство

Слайд 7

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям . В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме. Сведение показательных н еравенств к системе р ациональных неравенств

Слайд 8

Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств : (4)

Слайд 9

Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Доказательство

Слайд 10

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им р ационализирующие выражения G , где f , g , h , p , q – выражения с переменной x ( h > 0, h 1, f > 0, g > 0), 1). а – фиксированное число ( a > 0 , a

Слайд 11

Выражение F Выражение G 1 1а 1б 2 2а 2б 3 4 4а 5 6

Слайд 12

Доказательство Пусть log a f- log a g> 0 , то есть log a f> log a g , причём a > 0, a ≠ 1, f > 0 , g > 0. Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g . Значит, выполняется система неравенств a -1<0 f – g < 0 Откуда следует неравенство ( a – 1 )( f – g ) > 0 верное на области определения выражения F = log a f - log a g . Если a > 1, то f > g . Следовательно, имеет место неравенство ( a – 1 )( f – g )> 0. Обратно, если выполняется неравенство ( a – 1 )( f – g )> 0 на области допустимых значений ( a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1<0 a – 1 > 0 f – g < 0 f – g > 0 Из каждой системы следует неравенство log a f > log a g , т о есть log a f - log a g > 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

Слайд 13

Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или ( h -1)( f - g ) .

Слайд 14

Так как = то , используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения ( f - 1 )( g - 1 )( h - 1 )( g – f ).

Слайд 15

Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда log a > log a или ( h – g ) log a h > 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем ( f – g )( a – 1 )( h – 1) > 0, ( f – g )( h – 1) > 0. Аналогично , доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0 . Доказательство проводится аналогично доказательству 4 . Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p 2 > q 2 ( | p | < | q | и p 2 < q 2 ).

Слайд 16

Решить неравенство: Решение: Пример 1.

Слайд 17

- - + + -2 2 1 ОТВЕТ:

Слайд 18

Решить неравенство: Решение: Пример 2.

Слайд 19

- + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +

Слайд 20

Решить неравенство: Решение: Пример 3.

Слайд 22

Пример 4. Решить неравенство: Решение:

Слайд 24

Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры

Слайд 25

Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ

Слайд 26

- + 1/2 3 2 ОТВЕТ: + - 0 -1 Пример 5 НАЗАД

Слайд 27

- + 6 2 ОТВЕТ: 1 3 9 + - + Пример 6 НАЗАД

Слайд 28

+ - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + - + (2;3) Пример 7 НАЗАД

Слайд 29

- + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД

Слайд 30

- + -3 1 0 ОТВЕТ: -1 -1/2 4 + + - Пример 9 НАЗАД

Слайд 31

- + 3 ОТВЕТ: 1 1 2 + + - Пример 10 НАЗАД

Слайд 32

3/2 ОТВЕТ: 0 5/4 Пример 11

Слайд 33

Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008. С П И С О К и спользованной литературы